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Expressions des modèles
L’analyse numérique d’un système d’équations aux dérivées partielles comprend plusieurs étapes, de l’établissement d’un modèle initial jusqu’à la résolution numérique d’un modèle simplifié en passant par la question de l’existence et/ou de l’unicité de solutions. Le point de départ est le choix du système utilisé pour décrire le phénomène physique auquel on s’intéresse. Ce choix se porte ici, dans le cadre de la modélisation des bulles dans les cœurs de réacteurs, sur le système des équations de Navier-Stokes, qui est le plus couramment utilisé pour modéliser les écoulements en mécanique des fluides. La complexité du système complet incite toutefois à modifier les équations en négligeant certains termes (par exemple des non-linéarités, des termes d’ordres différentiels plus élevés ou tout simplement des termes physiques dont l’impact est négligeable) pour bâtir progressivement un modèle qui permette de tester des outils théoriques et numériques. Dans ce processus d’analyse, on garde cependant à l’esprit le système initial (et en particulier ses propriétés physiques) auquel, une fois les études sur les systèmes dérivés réalisées, on revient en reprenant le cheminement inverse.
Préliminaires
Modèle initial
On considère initialement un écoulement diphasique compressible soumis à la gravité dans un domaine borné Ω ⊂ Rd , d ∈ {1, 2, 3}, les phénomènes de changement de phase et de tension de surface n’étant pas pris en compte. On peut alors assimiler cet écoulement à un écoulement compressible bi-fluide à caractère non-miscible, hypothèse qui sera faite dans toute la suite. On fera donc le plus souvent référence aux fluides 1 et 2 plutôt qu’aux phases gazeuse et liquide. Le modèle choisi pour cette étude est celui proposé par Navier et par Stokes au XIXeme siècle pour décrire le mouvement de fluides newtoniens. Il prend ici la forme suivante en dimension 3 dans le repère (O, e1, e2, e3) :
∂t(ρY1) + ∇ · (ρY1u) = 0 ,
∂tρ + ∇ · (ρu) = 0 ,
∂t(ρu) + ∇ · (ρu ⊗ u) = −∇P + ∇ · σ + ρg ,
∂t(ρE) + ∇ · (ρEu) = −∇ · (Pu) + ∇ · (κ∇T) + ∇ · (σu) + ρg · u .
La variable u désigne ici le champ de vitesse global de l’écoulement, P la pression thermodynamique, ρ la densité, T le champ de température, g = −ge3 l’intensité de la pesanteur, E = ε + |u|² /2 l’énergie totale, ε l’énergie interne, κ la conductivité thermique (apparaissant dans la loi de Fourier) et σ le tenseur de contraintes de Cauchy (sous l’hypothèse de l’élasticité linéaire) donné par :
σ = 2µD(u) + λ(∇ · u) Id ,
les variables scalaires µ et λ étant les coefficients de Lamé (cf. Chorin et Marsden [15], p.33, par exemple), et D(u) le tenseur de déformation du système :
D(u) = ∇u + t∇u / 2
Les équations (1.1) correspondent donc respectivement à la conservation des masses partielles, de la masse globale, de la quantité de mouvement et de l’énergie totale.
Comme les fluides sont non-miscibles, on pourrait écrire un système pour chaque fluide, ce qui est une approche classique en dynamique multi-fluides.
En revanche, sans l’hypothèse de non-miscibilité, il peut apparaître une zone de mélange, où les fractions massiques varient dans l’intervalle ]0, 1[. La caractérisation (1.3) n’est alors plus valable, car le domaine où le fluide 1 est présent ne correspond plus à l’isovaleur 1 de la variable Y1. Toutefois, même si la finalité est de traiter le cas des écoulements liquide/vapeur où il n’y a donc pas de mélange, il y a deux faits à garder à l’esprit :
• Lors des simulations, la diffusion numérique inhérente aux schémas de résolution introduit une zone de mélange (fictive), qu’il faut savoir traiter.
• D’autre part, d’un point de vue théorique, la présence d’une discontinuité change fondamentalement la nature du problème : en effet, si Y0 est discontinue, la régularité est moindre que s’il existe une zone de transition entre 0 et 1. Dans le premier cas, on parle de solutions faibles, tandis que dans le second, on peut envisager de travailler dans des espaces fonctionnels plus réguliers, de type Sobolev. C’est pourquoi, dans une première approche, on s’intéresse à des données initiales régulières, pour lesquelles on dispose de résultats d’existence et d’unicité. Le but est alors d’appliquer ces résultats à des régularisations de données « bulles», en faisant tendre la taille de la zone de régularisation vers 0.
Concluons ce paragraphe en évoquant les autres variables. En effet, s’il est naturel de définir une vitesse globale, certaines grandeurs sont définies de manière propre à chaque fluide à l’aide de lois d’état ou de comportement, comme les coefficients thermodynamiques ou élastiques. Se reporter au paragraphe 5.2 pour plus de détails. Ces restrictions ne limitent cependant en rien la prise en compte de lois très générales.
Le but est d’obtenir un modèle d’écoulement très faiblement compressible, mais qui conserve des propriétés de la compressibilité, en particulier la présence d’effets thermiques importants. Ce raisonnement reprend les idées de Majda [59] et de Embid (cf. § 2.6) pour l’étude d’un système de combustion à plusieurs espèces. On établit tout d’abord formellement la dépendance des variables par rapport au nombre de Mach. En premier lieu, on suppose que la fonction Y1 se décompose sous la forme :
Y1(t, x) = Y⁽⁰⁾₁ (t, x) + Y⁽¹⁾₁ (t, x,M∗,1) .
De même, on effectue les développements :
ζ(t, x) = ζ ⁽⁰⁾ (t, x) + M∗,1 · ζ⁽¹⁾ (t, x,M∗,1) + M² ₓ₁· ζ ² t, x,M∗,1) + O(M³ ₓ₁) ,
pour ζ ∈ {u, P, T} ∪ {ρ, κ, α, cp, µ, λ}. Toutefois, si l’on considère les variables thermodynamiques comme des fonctions de (Y1, T, P) régulières (cf. § 5.2), les développements asymptotiques de Y1, u, P et T suffisent. L’équation (1.6c) fournit immédiatement les relations suivantes, du fait de la singularité en M²ₓ₁ :
∇P⁽⁰⁾ = 0 et ∇P⁽¹⁾ = 0 ,
ce qui implique : P⁽⁰⁾ = P⁽⁰⁾ (t). Le niveau de référence pour la pression est donc homogène en espace, ce qui est classique dans les approches bas Mach.
En s’interrogeant sur le gain de l’approche bas Mach, on constate que, par rapport à la forme non conservative (1.5) des équations de Navier-Stokes, le développement asymptotique a permis d’éliminer l’influence du tenseur de contraintes dans l’équation sur la température, et que l’on a découplé les différentes contributions de pression, avec une variable thermodynamique P qui n’est plus fonction que du temps, et une variable dynamique π. Un autre aspect fondamental est le filtrage des ondes acoustiques : on ne conserve plus qu’une seule échelle de temps et d’espace. Enfin, on a fait disparaître le tenseur de contraintes, en ne prenant plus en compte que la contribution de µ. Comme nous le verrons dans la suite, ces apports simplifient certains calculs dans la construction d’une solution classique.
Il faut cependant souligner que le système n’est pas complet sous cette forme, puisqu’il manque une équation pour déterminer les inconnues (Y1, T, P, u, ∇π), même si la dernière équation est implicitement contenue dans ce système, via des considérations mathématiques.
Le système Dlmn tel qu’il sera étudié dans la suite correspond aux quatre équations du système (1.11), en plus de l’équation (1.14) sur la pression. Les inconnues sont la fraction massique Y1, la température T, la pression thermodynamique P, la pression dynamique π et la vitesse u. On peut toutefois reformuler le système, en considérant deux variables de vitesse (w, ∇φ) grâce à la décomposition de Leray. Cette nouvelle forme permettra d’introduire par la suite un modèle pour les écoulements potentiels à bas Mach.
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Table des matières
Introduction
I Position du problème
1 Expressions des modèles
1.1 Préliminaires
1.1.1 Modèle initial
1.1.2 Conditions aux limites et initiales
1.2 Établissement du modèle
1.3 Reformulation
1.3.1 Décomposition du système
1.3.2 Cas particulier à µ constant
1.3.3 Le système complet
1.4 Systèmes dérivés
1.5 Bilan
2 Outils mathématiques
2.1 Espaces de Sobolev
2.2 Décomposition de Leray
2.3 Lemmes préliminaires
2.4 Méthode des caractéristiques
2.5 Estimations d’énergie et résultats d’existence
2.5.1 Equations de transport
2.5.2 Équations d’advection-diffusion
2.5.3 Équations elliptiques
2.5.4 Système de Navier-Stokes incompressible linéarisé
2.6 Combustion à bas Mach
2.6.1 Modèle
2.6.2 Théorème d’existence et d’unicité pour le modèle de combustion
2.6.3 Régions invariantes
2.7 Bilan
II Modèle Abstrait de Vibration de Bulles
3 Etude théorique du modèle
3.1 Étude qualitative du modèle ABV
3.1.1 Restrictions sur le potentiel
3.1.2 Donnée initiale
3.1.3 Résultat d’existence et d’unicité en temps fini
3.1.4 Réflexions sur le temps d’existence
3.1.5 Invariances par homothéties et translations
3.1.6 Autres propriétés pour des données moins régulières
3.1.7 Moyenne des solutions bornées
3.2 Modèle abstrait de vibration de bulle en dimension 1
3.2.1 Reformulations du modèle
3.2.2 Évolution d’une bulle dans un domaine borné
3.2.3 Approximations de solutions discontinues
3.3 Extension au cas radial en 2D et 3D
3.4 Conclusion
4 Interfaces et simulations numériques du modèle ABV
4.1 Introduction à la problématique de la simulation d’interfaces
4.1.1 Suivi d’interfaces
4.1.2 Capture d’interfaces
4.2 Transport de fonctions irrégulières : le schéma DL
4.3 Transport de fonctions régulières : le schéma MOC2
4.3.1 Notations
4.3.2 Construction du schéma
4.3.3 Étude séparée des deux schémas
4.3.4 Traitement du phénomène de dispersion : combinaison des deux schémas
4.3.5 Simulations numériques
4.4 Raffinement adaptatif de maillages
4.4.1 Motivations
4.4.2 Rappels sur les algorithmes AMR
4.4.3 Adaptation à la résolution de l’équation de transport
4.4.4 Simulations du modèle ABV
4.5 Un algorithme pour les équations de Navier-Stokes incompressible : le
schéma MAC
4.6 Bilan
III Diphasic Low Mach Number system
5 Étude du système DLMN dans le cas régulier
5.1 Système différentiel
5.2 Domaine d’existence
5.3 Preuve du théorème d’existence
5.3.1 Système itératif
5.3.2 Bornitude
5.3.3 Convergence
5.3.4 Énoncé du théorème
5.3.5 Viscosité non constante
5.4 Commentaires
Conclusion
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