Etude et développement de modèles statistiques d’un système thermique radar 

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Le transfert thermique

Cette section ne constitue qu’une courte introduction aux phénomènes thermiques, une analyse plus poussée pourra notamment être trouvée dans [Che99].
L’énergie totale d’un système thermodynamique peut être décomposée sous 3 formes :
– l’énergie cinétique macroscopique,
– l’énergie potentielle liée aux forces extérieures,
– l’énergie interne (qui regroupe l’intégralité des énergies microscopiques).
L’énergie interne est à son tour décomposable en énergie cinétique microscopique et en énergie potentielle liée aux forces d’interaction entre les particules. Au niveau macroscopique, l’énergie cinétique moyenne des particules du système est représentée par une valeur appelée température. La chaleur quant à elle définit le transfert de cette énergie thermique entre deux systèmes. Les échanges d’énergie thermique s’effectuent suivant trois modes de transfert :
– la conduction,
– la convection,
– et le rayonnement.
Le transfert d’énergie par chaleur se réalise généralement par une combinaison de ces différents modes. Tou-tefois, dans certains cas, un unique mode peut être présent ou largement dominant vis-à-vis des autres modes, qui sont alors négligés.

Transfert de chaleur par conduction

L’énergie thermique est liée à l’agitation des particules du système. La conduction caractérise le transfert de proche en proche de cette agitation entre les particules. Au sein d’un gaz, toutes les molécules sont animées par un mouvement de translation et par un mouvement de vibration ou de rotation interne pour les molécules. Lors des collisions, les particules voisines interagissent entre elles et s’échangent de l’énergie. D’un point de vue macroscopique, il s’effectue alors un transfert de chaleur. Dans un liquide, le transfert collisionnel s’effectue toujours pour chaque particule mais uniquement autour de sa position d’équilibre. Dans un solide, le phénomène est plus complexe. Pour les métaux, le transfert de chaleur est assuré par l’intermédiaire des électrons. Dans le cas d’un solide cristallin non-métallique, la conduction est essentiellement liée aux vibrations (appelées « phonons ») du réseau d’atomes. Enfin, pour les solides amorphes non métalliques, le transfert reste associé aux collisions entre les atomes.

Transfert de chaleur par convection

Le transfert de chaleur par convection intervient à la séparation entre une paroi et un fluide en mouvement. La convection résulte de la combinaison du transfert de chaleur par conduction (diffusion) et du transport d’énergie par l’écoulement des particules du fluide (advection). C’est ce transfert d’énergie par déplacement qui la distingue clairement de la conduction. On distingue deux types de convection :
– la convection forcée, où le fluide est mis en mouvement par une action externe,
– et la convection naturelle, où le fluide est mis en mouvement uniquement par la différence de densité liée au gradient de température et par la poussée d’Archimède.
La convection est donc fortement liée à la mécanique des fluides. Les équations qui servent à décrire le mouve-ment des fluides, dites équations de Navier-Stokes [Nav22], sont relativement complexes et font intervenir l’équa-tion de bilan de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie au sein de chaque volume élémentaire de l’espace. Ces équations se simplifient si l’on suppose que le fluide est incompressible et newtonien (viscosité constante).
En fonction de la vitesse et de la nature du fluide, des dimensions de l’écoulement et de la rugosité des parois, il existe deux régimes d’écoulement. À faible vitesse, l’écoulement est laminaire et il est possible de déterminer la vitesse et la température du fluide en tout point. Ce régime se caractérise par un coefficient d’échange qui augmente avec la vitesse du fluide. Lorsque la vitesse de l’écoulement dépasse une certaine valeur, l’écoulement adopte un régime dit turbulent et seules les valeurs moyennes de vitesse et de température peuvent être connues. Le coefficient d’échange devient alors très élevé. Toutefois, la pression nécessaire en aval de l’écoulement pour maintenir un débit suffisant augmente aussi et de manière plus importante que le coefficient d’échange. Ce type de régime n’est donc pas employé habituellement dans le cadre d’un système de refroidissement aéraulique.

Transfert de chaleur par rayonnement

Le transfert par rayonnement se traduit par un échange de chaleur entre deux corps sous la forme d’un rayon-nement électromagnétique. Compte tenu de la dualité onde-corpuscule, le rayonnement peut être vu à la fois comme une onde électromagnétique et comme un ensemble de photons.
Pour continuer l’analyse du transfert radiatif, il est nécessaire de faire intervenir un corps théorique idéal, appelé « corps noir », dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. La définition d’un corps noir est donnée par 3 propriétés essentielles de ce corps théorique :
– Le corps noir absorbe toutes les radiations incidentes, quelques soient la longueur d’onde et la direction.
– Pour une température et une longueur d’onde données, aucune surface ne peut émettre plus que le corps noir.
– Bien que la radiation émise par un corps noir soit fonction de la température et de la longueur d’onde, elle
est indépendante de la direction. Le corps noir est un émetteur diffusif.

Résolution numérique

Résoudre parfaitement le système d’équations différentielles et de conditions limites qui découle de l’architec-ture du système modélisé est impossible dans la plupart des cas réels. La seule voie restante est de s’en remettre à des solutions approchées, en essayant de réduire le plus possible l’erreur liée à l’approximation. Les méthodes numériques offrent ainsi une alternative avantageuse lorsque le modèle devient trop complexe. La solution n’est plus alors le champ complet de température en tout point de l’espace et du temps. Elle prend la forme d’un vecteur représentant la température en chaque noeud d’un maillage. Ce vecteur évolue alors itérativement entre chaque pas de temps par l’intermédiaire d’opérations matricielles. Les différentes méthodes de résolution numérique sont présentées dans de nombreux ouvrages et notamment celui de Goncalvès [Gon05]. Les exemples de ce chapitre sont adaptés de ceux de cet ouvrage.

Différences finies

La méthode des différences finies consiste à tronquer le développement de Taylor d’une fonction afin de rem-placer les dérivées partielles de l’équation différentielle. Ainsi, dans le cas de l’équation de la chaleur, on considère toujours la fonction T (x;y;z;t) représentant la température en tout point du système en fonction du temps. Soit Dx un déplacement infinitésimal, si on étudie le développement de cette fonction température au voisinage de x

Éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à résoudre l’équation différentielle dans un sous-espace de fonctions de dimension finie plutôt que dans l’espace des fonctions continues de dimension infinie. Ce sous-espace est défini par un ensemble de fonctions élémentaires linéairement indépendantes, notées fi. Ces fonctions sont elles-mêmes le plus souvent définies comme des fonctions polynomiales sur les noeuds d’un maillage de l’espace. La solution est alors obtenue sous la forme d’une somme pondérée de ces fonctions élémentaires.

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Table des matières

1 Modélisation thermique 
1.1 Introduction
1.2 Le transfert thermique
1.3 Résolution analytique
1.4 Résolution numérique
1.5 Réduction d’ordre des modèles
1.6 Applications
1.7 Conclusion
2 Mesures de température 
2.1 Introduction
2.2 État de l’art sur les méthodes de mesure thermique
2.3 Dispositifs de mesure retenus
2.4 Conclusion
3 Etude et développement de modèles statistiques d’un système thermique radar 
3.1 Introduction
3.2 Cadre théorique général
3.3 Modèles dynamiques
3.4 Modèles linéaires
3.5 Modélisation par réseaux de neurones
3.6 Modélisation par SVM
3.7 Modélisation par réseaux bayésiens
3.8 Conclusion
4 Identification de représentations d’état stables 
4.1 Introduction
4.2 Méthodes d’identification de type sous-espaces
4.3 Stabilité des systèmes linéaires à temps invariant
4.4 Identification par méthodes des sous-espaces et problèmes de stabilité
4.5 Approches existantes
4.6 Approches proposées
4.7 Expériences
4.8 Applications aux données thermiques
4.9 Conclusion et perspectives
5 Conclusion 
A Repositionnement et recalage d’images infrarouges
B Décomposition en valeurs singulières
B.1 Définition
B.2 Propriétés
C Eléments de calcul tensoriel
C.1 Définition
C.2 Tenseurs euclidiens
C.3 Opérations sur les tenseurs
C.4 Gradient
D Algorithme Expectation-Maximisation

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