Soutenance mémoire
Les tsunamis
Le tsunami est une onde océanique due au déplacement brutal d’une grande masse d’eau, qui se propage et provoque un raz de marée, (le terme tsunami signifiant « vague de port » en japonais). Ce phénomène se décompose en trois phases, (i) la génération, (ii) la propagation et (iii) l’amplification et l’inondation (runup en anglais). Un tsunami n’est pas en général créé par le vent comme la houle, mais par d’autres mécanismes naturels de grande ampleur tels les séismes, les glissements de terrain sous-marins ou sub-aériens, les éruptions volcaniques ou encore la chute d’astéroïdes. Il existe cependant des météo tsunamis, phénomènes de seiche dus à de fortes perturbations atmosphériques. Les tsunamis sont généralement engendrés par des tremblements de terre sousmarins puissants (magnitude > 7) et très peu profonds (profondeur < 50 km). L’intensité du tsunami dépendra à la fois de la magnitude du séisme et de la géométrie du fond marin. Quasi imperceptible au large, pas plus haut que les vagues de la houle, le tsunami, qui, là où les eaux sont profondes, voyage à la vitesse d’un avion (sa vitesse est généralement comprise entre 500 et 700 km/h mais peut excéder 800 km/h), peut atteindre plusieurs dizaines de mètres de hauteur à l’approche des côtes. Il peut avoir une longueur d’onde de plusieurs centaines de kilomètres. Si les tsunamis en Métropole et dans les DOM-TOM de l’océan Atlantique ou de l’océan Indien sont assez rares, ils ont eu néanmoins des effets catastrophiques dans le passé. 24 événements sont recensés sur nos côtes depuis 4000 ans. Le tsunami de 2004 (1 mètre de haut). Mais le tsunami du 26 décembre 2004 dans l’océan Indien est sans doute le plus meurtrier de l’Histoire avec plus de 285 000 morts. Il a pour origine un séisme de magnitude 9.3 au large de l’Indonésie. L’onde a traversé l’océan d’Est en Ouest allant jusqu’à inonder les côtes africaines. Le niveau de toutes les mers du monde en a été modifié. Depuis cette évènement catastrophique, les pays situés en bordure d’océans et de mers sont conduits à évaluer les risques d’une telle onde
Boundary Integral Equation Method
Cette section décrit une méthode numérique initialement introduite par LonguetHiggins & Cokelet (1976) pour résoudre le système vu précédemment. Cette méthode a été utilisée par Vinje & Brevig (1981) pour simuler le problème du déferlement. La méthode BIEM est une méthode dite « Mixed Euler-Lagrange », permettant une description lagrangienne de la surface libre. La surface libre, correspondant à une condition aux limites de Dirichlet, sera dénotée ∂ΩD. Les parois solides correspondent à une condition de Neumann et seront dénotées ∂ΩN .
Comparaison de l’expérience avec la simulation numérique
L’objectif de cette section est de tester la capacité du code BIEM à simuler des ondes solitaires dans des cas extrêmes, notamment en cas de déferlement. Le canal à houle de l’Ecole Centrale de Marseille est entièrement modélisé, de la plage inclinée jusqu’à son batteur à géométrie si particulière. En effet il s’agit d’un batteur à volet dont l’axe de rotation se situe sous le niveau du fond. A partir des données expérimentales, nous disposons du signal temporel du batteur, c’est-à-dire de l’angle qu’il prend à chaque instant. Ainsi nous pouvons reproduire intégralement les expériences menées dans ce canal. Nous nous intéressons ici aux cas des ondes solitaires. Le paramètre de non linéarité a/h obtenu expérimentalement est de l’ordre de 0.1. La difficulté se trouvera donc au niveau du déferlement sur la plage de l’onde solitaire. Le cas présenté ici est un soliton ayant une amplitude normalisée a/h = 0.125, la profondeur d’eau utilisée est h = 0.652 m. Les simulations numériques reproduisant l’expérience sont réalisées avec le code BIEM décrit dans le chapitre 1. Nous utilisons 900 mailles pour discrétiser les frontières, dont 500 sur la surface libre, et le pas de temps choisi est dt = 5.10−4. Dans ce cas la condition CFL est satisfaite (condition CFL voir Annexe 3). Nous disposons également des sondes numériques le long du canal telles qu’elles le sont dans l’expérience. La figure 2.2 montre la comparaison entre les sondes expérimentales et les sondes numériques respectivement aux abscisses 1.95 m, 6.35 m, 10.55 m et 12.38 m. Les résultats numériques sont représentés par un trait plein, les résultats expérimentaux par des cercles. Nous constatons un excellent accord du numérique avec l’expérience. En d’autres termes, la génération ainsi que la propagation du soliton sont bien modélisées. Aucun déphasage n’est constaté. La surface libre numérique est représentée par un trait blanc, celle-ci est directement introduite sur l’image PIV issue de l’expérience. Là encore les résultats s’avèrent satisfaisants. La dernière image correspond à l’arrêt du code. En effet, le BIEM ne peut pas simuler un déferlement dans son intégralité, la méthode prenant fin au moment de la reconnexion de la surface libre. La notion de « contour » n’a alors plus de sens. D’autres méthodes sont plus adaptées pour traiter du déferlement telle la méthode VOF (Volume Of Fluid, exemple : Chen et al. (1999)) capable de résoudre les équations de Navier-Stokes en diphasique. Certains cas de déferlement sont moins bien modélisés, notamment au niveau de la crête du jet plongeant, lorsque les courbures deviennent importantes. Il est alors judicieux d’introduire la tension de surface afin de corriger les écarts observés. Nous verrons dans le chapitre 3 l’influence de la tension de surface sur une vague déferlante. Nous avons constaté dans cette section la capacité de la méthode BIEM à modéliser des cas complexes d’ondes solitaires, jusqu’au déferlement. En effet les résultats obtenus sont jugés très satisfaisants.
Collision frontale de deux ondes solitaires
Le problème de la collision de deux ondes solitaires provient initialement de l’étude du runup sur un mur vertical. En effet, en l’absence de viscosité et dans le cas symétrique, les deux problèmes deviennent équivalents. De nombreux travaux ont été effectués sur ce problème, tant analytiquement, numériquement qu’expérimentalement, notamment sur le calcul du maximum de runup, le déphasage des ondes après collision ou encore sur le temps de résidence de la crête à la paroi durant la phase « runup ». Parmi les études théoriques menées sur le sujet, nous pouvons citer Su & Gardner (1969), Byatt-Smith (1971), Oikawa & Yajima (1973), Temperville (1979), Su & Mirie (1980), Power & Chwang (1984), Bona & Chen (1998) ou Pelinovsky et al. (1999). Nous pouvons également citer les études numériques telles celles de Chan & Street (1970), Mirie & Su (1982), Fenton & Rienecker (1982), Cooker et al. (1997) ou Craig et al. (2006). Maxworthy (1976) a, lui, mené des expériences sur le sujet. Byatt-Smith (1971), Su & Mirie (1980), Mirie & Su (1982), Bona & Chen (1998) et Craig et al. (2006) ont étudié le cas asymétrique qui consiste en la collision de deux ondes solitaires d’amplitudes différentes. Maxworthy (1976) a mené des expériences sur la collision frontale de deux ondes solitaires. Il a montré que le maximum de runup atteint une amplitude supérieure à deux fois l’amplitude initiale. Il a mis en évidence le fait que les vagues subissent un retard durant leur interaction, entraînant un déphasage spatial des ondes par rapport au cas où il n’y a pas d’interaction (ou de reflexion à la paroi, voir figure 4 de la section 3.1). Il a obtenu des résultats en accord qualitatif avec les différentes théories, mais non quantitatif. Il a en effet affirmé que ce déphasage est indépendant de l’amplitude initiale des vagues, contrairement à ce qui est prédit dans la théorie. Les résultats sont obtenus pour des amplitudes allant jusqu’à a/h = 0.5 Temperville (1979) via une étude théorique, est venu contredire Maxworthy (1976). Il a en effet obtenu une formulation asymptotique pour le déphasage à partir d’une formulation lagrangienne des équations. Il a montré qu’il est difficile de conclure à l’existence d’un déphasage constant. Ceci a été confirmé par Fenton & Rienecker (1982) qui ont souligné la sensibilité des résultats en fonction de la position des mesures. Su & Mirie (1980) ont considéré la collision entre deux ondes solitaires. Ils ont utilisé une méthode de perturbations pour calculer les effets de la collision. Le principal résultat qui ressort de leur étude est que les ondes issues de la collision conservent leurs identités initiales (formes et vitesses) au troisième ordre (ordre de leur précision). Cependant, ils ont montré que la collision engendre un déphasage des ondes (i.e. une onde est en retard par rapport à sa position quand l’interaction est ignorée), mais également l’apparition d’un train d’ondes secondaires, chaque train d’ondes secondaires se propageant derrière l’onde solitaire. L’amplitude de ce train d’ondes diminue au cours du temps à cause de la dispersion. Ils ont également calculé l’amplitude du maximum de runup durant la collision. Leurs résultats sont en accord avec les résultats expérimentaux existants. Leur étude théorique a été menée pour des amplitudes allant jusqu’à a/h = 0.6. Power & Chwang (1984) ont étudié la réflexion d’une onde solitaire sur un mur vertical en résolvant les équations de Boussinesq tant sur le plan analytique que sur le plan numérique. La solution analytique est obtenue par le biais d’une technique de raccordement asymptotique, tandis que la solution numérique est basée sur un schéma aux différences finies. Ils ont calculé l’amplitude du maximum de runup ainsi que le temps auquel il est atteint. Ils ont trouvé également que l’onde incidente ne se réfléchit pas immédiatement comme le prédit la théorie linéaire. De plus ils ont montré à leur tour que l’onde subit un retard de phase durant la collision. Ce déphasage s’est trouvé être inversement proportionnel à la racine carrée de l’amplitude initiale de l’onde. Leurs résultats analytiques et numériques sont en accord, et ils ont trouvé également un bon accord avec les résultats expérimentaux disponibles dans la littérature. Tous les résultats correspondent à des amplitudes allant jusqu’à a/h = 0.5. Cooker et al. (1997) ont également étudié la réflexion d’une onde solitaire sur un mur vertical. Pour calculer l’écoulement du fluide potentiel décrit par les équations d’Euler, leur approche numérique est basée sur une méthode d’intégrales de frontière. Ils ont calculé le temps de résidence, c’est-à-dire le temps où la crête reste en contact avec le mur, notion introduite pour la première fois par Temperville (1979). Ils ont montré que le temps de résidence fournit une caractérisation sans équivoque du déphasage de l’onde. Ils ont comparé leurs résultats sur le temps d’attachement et de détachement de la crête avec les formules asymptotiques de Su & Mirie (1980). D’autres résultats sur cet écoulement ont été obtenus, notamment sur le maximum de runup ou encore les forces instantanées s’exerçant sur le mur. Leurs résultats numériques sur le temps de résidence sont en accord avec les mesures prises à partir d’un film sur la réflexion d’une onde solitaire sur un mur issu des expériences de Maxworthy (1976). Les résultats sont obtenus ici pour des amplitudes a/h = 0.6. Toutes les études présentées ci-dessus n’ont concerné que la collision d’ondes solitaires d’amplitudes a/h inférieures ou égales à 0.6. Nous proposons ici de compléter ces travaux aux cas d’amplitudes a/h couvrant toute la gamme admissible [0, 0.8332].
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Table des matières
Introduction
1 Equations générales et méthodes numériques
1 Equations générales
2 Ecoulements potentiels
2.1 Hypothèses et équations
2.2 Conditions aux limites
Condition de surface libre
Condition de fond
Conditions latérales
2.3 Problème à résoudre
3 Boundary Integral Equation Method
Formulation en intégrale de frontière
Modèle numérique
2 Dynamique des ondes solitaires : « Runup »
1 Runup d’une onde solitaire sur une plage inclinée
1.1 Dispositif expérimental
1.2 Comparaison de l’expérience avec la simulation numérique
2 Génération d’une onde solitaire dans un canal numérique
3 Collision frontale de deux ondes solitaires
3.1 Chambarel J., Kharif C., Touboul J., Head-on collision of two solitary waves and residual falling jet formation, Nonlin. Processes Geophys., 16, p. 111-122, 2009
3.2 Dynamique de la formation du jet résiduel
Calcul de la pression dans le fluide
Calcul de la vitesse verticale dans le fluide
3.3 Instabilité au voisinage du maximum de « runup »
Gravité apparente
Relation de dispersion des perturbations
Perturbation numérique : ensemencement
4 Conclusion
3 Dynamique des vagues extrêmes générées par focalisation dispersive en eau peu profonde avec et sans vent
1 Mécanismes de génération d’une vague scélérate
1.1 Interaction vagues-courant
1.2 Focalisation dispersive
1.3 Focalisation géométrique
1.4 Instabilité modulationnelle
1.5 Collision de solitons
2 Focalisation spatio-temporelle
2.1 Focalisation à partir d’un batteur numérique de type piston
2.2 Equation de Korteweg de Vries et méthode inverse
3 L’effet du vent sur la dynamique des vagues
3.1 Etat de l’art
3.2 Mécanisme d’abri de Jeffreys modifié
4 Vagues extrêmes avec et sans vent
4.1 Chambarel J., Kharif C., Kimmoun O., Focusing wave group in shallow water in the presence of wind, Discrete and Continuous Dynamical System series S, In Press
4.2 Chambarel J., Kharif C., Kimmoun O., Generation of twodimensional steep water waves on finite depth with and without wind, Eur. J. Mech. B/ Fluids, submitted
5 Conclusion
Conclusions et perspectives
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