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Les modèles de plaques stratifiées dans la littérature
Bien que le modèle de Kirchhoff-Love soit bien plus ancien, les modèles de plaques ont connu un développement important entre les années 1950 et 1970. En effet dès le début du calcul des structures, ils sont apparus comme un moyen d’accéder à un résultat avec un faible coût de calcul, analytique au début puis numérique, le calcul du modèle 3D étant inaccessible avec les moyens de l’époque. De nos jours, la puissance de calcul a augmenté, mais la complexité et la taille des problèmes que l’on cherche à résoudre également. Aussi les modèles de plaques ou de coques sont encore très largement utilisés en industrie, excepté dans les zones où le calcul des non-linéarités exige un calcul tridimensionnel. Le principal enjeu des modélisations plaques reste donc d’avoir une bonne estimation des quantités d’intérêt 3D tout en minimisant les coûts de modélisation et de calcul. Si la théorie des plaques isotropes est relativement bien comprise, la modélisation des plaques stratifiées peut être réalisée par différentes approches. Pour cela [Carrera, 2003, Auricchio et al., 2010] proposent une classification générale des différents modèles. Ainsi trois grandes approches conduisant au développement d’un modèle plaque sont distinguées :
– L’approche continue : cette approche consiste à se baser sur une formulation 3D et à travailler soit avec des éléments 3D dégénérés [Wung, 1997], soit sur des surfaces de Cosserat [Neff, 2004].
– L’approche asymptotique : on effectue un développement limité dans l’épaisseur et on néglige les termes de plus haut degré [Ciarlet et Destuynder, 1979]. Cette théorie fonctionnant bien pour des plaques minces [Sutyrin et Hodges, 1996].
– L’approche axiomatique : la méthode la plus courante, il s’agit de postuler une allure des déplacements ou les contraintes afin de résoudre le problème.
De plus, chacune de ces grandes approches, peut être résolue par une formulation en déplacement, en contrainte ou mixte [Destuynder et Salaun, 1995, Daghia et al., 2008, Carrera et Demasi, 2002, Touratier, 1991, Lure, 1964] ; et pour le cas des plaques stratifiées, il est possible soit de ne considérer qu’une seule couche équivalente (ESL « Equivalent Single Layer »), soit d’élaborer une théorie considérant chaque couche séparément (LW « Layer-wise » ). Tous ces ingrédients peuvent donc donner lieu à des théories nombreuses et variées. On s’intéresse en particulier ici aux approches axiomatiques, car ce sont les plus développées et les moins coûteuses à mettre en œuvre dans le cadre des plaques stratifiées. Dans un premier temps, les modèles dits « classique » sont rappelés, ainsi que leurs limitations. La partie suivante expose quelques modèles d’ordre supérieur permettant d’améliorer les solutions de plaques isotropes ou de plaques stratifiées.
Estimation de la qualité de la solution plaque
Le lien entre modèle plaque et modèle 3D a toujours été une question sous-jacente à la théorie des plaques. Les premières quantifications pouvant se trouver dans les travaux sur l’estimation de l’erreur dans les années 70 [Koiter, 1970, Simmonds, 1972]. Koiter a été le premier à avoir proposé une estimation en h 2/L2 de cette erreur pour la solution de Kirchhoff-Love en isotrope et en considérant uniquement la solution intérieure. Par la suite, ces travaux ont été étendus aux cas des coques et des coques nonlinéaires [Ladevèze, 1976a, Ladevèze, 1976b]. Les premiers travaux concernant la validité des cas de plaques avec effets de bord sont proposé par [Ladevèze, 1987, Ladevèze et Pecastaings, 1988]. Ladevèze et Pecastaing ont alors proposé une version optimale de la théorie de Reissner-Mindlin avec correction des effets de bord, conduisant dans le cas des plaques isotropes à une erreur en h2/L2. On peut noter que le point de vue développé dans ces travaux est différent du point de vue classique. En effet dans cette théorie, le coefficient de correction de cisaillement est optimisé de façon à ce que la correction des effets de bord puisse être calculée à l’ordre deux. Une difficulté supplémentaire est que pour obtenir une solution à l’ordre 2, il faut au préalable « nettoyer » la solution plaque de Reissner-Mindlin de son effet de bord artificiel. Dans le cas isotrope, le coefficient de correction trouvé est très proche de 5/6 [Ladevèze et Pecastaings, 1988]. La généralisation à des plaques orthotropes conduit à des coefficients de cisaillements différents, que l’on peut trouver dans [Ladevèze, 1987].
Raccord non-intrusif par algorithme itératif
On a pu voir que, les méthodes sans recouvrement sont plus nombreuses et variées que les méthodes par raccord en volume. Cependant, même si elles peuvent sembler plus simples, elles ne sont pas toutes aisées à mettre en œuvre dans le cadre d’une résolution monolithique. Par ailleurs, les approches purement descendantes, qui sont très pratiquées par les industriels, peuvent être mises en défaut lorsque les non-linéarités ou les raffinements locaux sont importants. Il a été observé dans [Gendre et al., 2009] que bien que le raccord en déplacement produise une faible erreur sur les contraintes, des quantités non-linéaires comme la déformation plastique cumulée peuvent être très sensibles à la qualité du couplage. De même, dans le cas du flambage localisé [Cresta, 2008], des erreurs pouvant aller jusqu’à 30% sur le déplacement entre le modèle local et le modèle de référence ont été observées. Ce problème provient principalement du fait que la structure globale ne tient aucun compte du modèle local. C’est pourquoi une amélioration directe consiste à trouver une correction à appliquer au modèle global, de façon à prendre en compte l’effet des altérations du modèle local en présence de non-linéarité ou de fortes modifications dans la structure. Un exemple de cette démarche est proposé par [Mao et Sun, 1991] dans une méthode appelée « Refined Global/Local ». Dans le cadre d’un raffinement du maillage, elle consiste à enrichir la cinématique globale par la solution locale par une étape de « remontée ». La particularité de cette approche est qu’elle définit un nouveau problème global utilisant le même maillage mais avec une prédéformation imposée provenant du calcul local.
Placement et validité du raccord
On a vu lors du développement du raccord, que celui-ci ne comporte pas de « paramètre de réglage ». On a cependant la liberté du choix de placement ainsi que de la taille de la « zone tampon ». Si l’on doit choisir a priori un placement de la zone de raccord, deux sources de perturbations sont à prendre en compte :
– les effets provenant du modèle global : effets de bord libre, chargements imposés,
– les effets provenant du modèle local : concentration de contraintes, phénomènes non-linéaires.
Pour la première catégorie, dans une plaque isotrope, les effets locaux sont en général de l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la plaque, on peut alors se servir de règles métier ou géométriques pour déterminer les endroits où appliquer un modèle réduit [Robinson et al., 2011]. Cependant pour une plaque stratifiée, la pénétration des effets de bord dépend en plus de l’empilement et du chargement. Une certaine estimation pourrait être envisagée en observant la propagation des effets de bord dans les problèmes-types de relèvement nécessaires à la création du raccord (représentés figures FIG. 3.1).La plaque considérée a des côtés de 40 mm et une épaisseur de 2 mm. Les effets de bord libres sont plus importants et se propagent plus loin dans le cas d’une plaque stratifiée (zone grise claire), par rapport au cas isotrope (zone grise foncée). Dans cet exemple, il est nécessaire de s’éloigner deux fois plus des bords pour retrouver une solution de Saint-Venant, information qu’il est intéressant de prendre en compte dans le raccord lors de son placement. En dehors de ces considérations a priori, il semble important de posséder un indicateur au cours des itérations permettant de déterminer si le raccord est toujours bien placé visà-vis de l’évolution des non-linéarités locales par exemple. Cependant la détermination de cet indicateur semble délicate. En effet, le mauvais placement de l’interface n’est pas toujours visible en observant la convergence de l’algorithme. Une illustration peut être donnée en reprenant le cas du couplage Code_Aster/COFAST3D (dont le schéma est représenté FIG. 6.12) pour différentes tailles de la zone locale, en construisant différents problèmes locaux avec une interface de raccord plus ou moins éloignée de la zone de contact. Les courbes de convergence obtenue pour les différents modèles locaux ne montrent pas de différence significative FIG. 6.24a, alors que la comparaison entre les contraintes locales à convergence et la solution de référence montre clairement que les solutions locales sont différentes FIG. 6.23. Plus l’interface de raccord est proche et plus la solution à convergence, autrement dit le résultat du modèle « hybride », est éloignée de la solution de référence. Si l’on observe les contraintes transverses par l’indicateur max(σzz) sur le bord du domaine local, on obtient le graphe de la figure FIG. 6.24b. En l’absence d’efforts surfaciques sur les faces supérieure et inférieure la contrainte transverse de référence est nulle. Les itérations permettent de diminuer cette composante, et l’éloignement de l’interface également. Il est cependant difficile de généraliser cet indicateur à partir de ce simple cas. Par exemple, si l’on observe les contraintes transverses dans le problème avec bords libres FIG. 6.20a. On sait que la solution au bord est fausse, mais l’allure des contraintes transverses au bord et au centre de la plaque varie peu, et est de même amplitude. Dans le cas où le raccord plaque/3D débouche sur un bord libre, on sait que la solution au bord est fausse et que des effets de bord viennent perturber la solution. Cependant, lorsque l’on regarde les contraintes transverses σzz à proximité du bord libre et au centre de la plaque FIG. 6.20a, on ne remarque pas de différence sur le maximum de cette contrainte, et assez peu dans son allure dans la section. Le même constat peut être fait lors de l’application d’un chargement surfacique FIG. 6.21a, la solution au raccord est fausse, mais le maximum des contraintes transverses est identique entre l’extraction de la solution à l’interface, et l’extraction à l’intérieur du modèle 3D. Ainsi, établir un indicateur basé sur la contrainte transverse n’est pas une tâche simple, car le maximum n’est pas toujours la quantité la plus représentative. Une autre approche pour évaluer la qualité de l’interface, est d’effectuer une reconstruction 3D de la solution plaque et de la comparer aux efforts locaux. Pour cela, on peut utiliser le relèvement numérique en effort construit lors de la préparation du couplage4.1.1. Une application de cette méthode est représentée sur la figure FIG. 6.25, pour le cas du raccord débouchant sur un bord libre dans le cas d’un stratifié orthotrope. On observe effectivement un écart important au bord, mais cet écart est rapidement atténué à l’intérieur de la plaque. On ne distingue pas clairement la zone de pénétration des effets de bord, ce qui rend cet indicateur difficilement exploitable. Pour conclure, le résidu est un bon indicateur de convergence de la stratégie global/- local, en revanche les outils développés pour nous renseigner sur la qualité du raccord et la qualité du modèle couplé vis-à-vis du calcul de référence ne sont pas concluants. Le développement d’un indicateur fiable permettant de déterminer le placement du raccord, ainsi qu’une estimation de la largeur nécessaire à la « zone tampon », permettrait de simplifier et guider la création de modèles locaux. Cela donnerait également une certaine assurance sur la qualité du modèle couplé ainsi formé.
Conclusion
Les techniques non-intrusives pour le couplage de codes commerciaux généralistes avec des codes dédiés connaissent actuellement un grand essor. Leur objectif est d’étendre les possibilités de calcul des industriels en terme de complexité et de qualité sans altérer leurs pratiques de travail. Cette thèse a visé à apporter des réponses à une problématique importante en vue de l’adoption de ces méthodes pour des cas de l’industrie, notamment aéronautique : la possibilité de traiter des modèles globaux à base de plaques, coques, connecteurs, et de les enrichir à l’aide de modèles 3D aux endroits où ceux-ci s’avèrent indispensables : près des bords, des zones endommagées, des liaisons. Afin de s’appuyer sur les travaux précédents, le choix retenu a été de mettre en place des techniques de relèvement 3D des champs plaques. Pour conserver la généricité et la simplicité de la méthode, une démarche purement numérique a été retenue qui s’adapte aux empilements et éléments finis utilisés. Un calcul préalable permet d’associer des distributions dans l’épaisseur de déplacement et contrainte 3D à des chargements de SaintVenant. Plusieurs approches ont été proposées pour exploiter ces relèvements et définir des conditions limites 3D aux problèmes locaux. Si l’approche par travail équivalent est séduisante, elle se heurte à de nombreuses difficultés pratiques : dépendance à l’orientation de l’interface, problème du choix de l’espace des multiplicateurs de Lagrange, et finalement performance en deçà de celles des conditions limites de Dirichlet construites à partir du déplacement plaque et des gauchissements pré-calculés. Cette thèse a également été l’occasion d’étudier la technique de couplage non-intrusif, d’enrichir sa compréhension et d’améliorer ses performances. Fondamentalement la méthode, initialement interprétée comme un algorithme de point fixe ou un Newton modifié, a été comprise comme une méthode de Schwarz optimisée alternée sans recouvrement. On en déduit la possibilité d’introduire un recouvrement dans les modèles. Cette option s’avère utile pour atténuer les effets de bords artificiels générés par les conditions limites imposées sur le modèle 3D ; elle permet également de proposer un traitement relativement simple et généraliste des maillages incompatibles. On en déduit également la possibilité, dans le cas de problèmes linéaires, d’utiliser une accélération Krylov, ici un gradient conjugué dont la convergence inconditionnelle est bien plus rapide que celle de l’algorithme de base. Plus mécaniquement, la méthode s’interprète comme la recherche d’une discontinuité de contrainte dans le modèle global (appliquée via un chargement sur l’interface) représentatif de l’écart entre le modèle local fin et sa représentation grossière. Cette analyse conduit à comprendre la méthode comme le préconditionnement à droite du problème de référence (qui n’est jamais créé et encore moins résolu). Elle montre également l’importance d’appuyer l’étape de remontée sur des bords d’éléments du maillage grossier. Dans cette thèse, le problème cible est celui des assemblages boulonnés de plaques composites. La technique de couplage est utilisée pour virtuellement substituer les connecteurs grossiers définis au niveau global par des calculs locaux non-linéaires représentatifs de la liaison. Lorsqu’on introduit les phénomènes de contact dans le modèles 3D, les problèmes deviennent rapidement très lourds et la méthode non-intrusive montre alors l’avantage d’être indépendante vis-à-vis des solveurs utilisés. Un couplage Code_Aster/COFAST3D a ainsi pu être mis rapidement en place pour traiter des cas un peu plus complexes d’assemblage avec prise en compte de contact. Si la méthode s’est avérée efficace sur de nombreux cas, y compris à plusieurs patchs, des limitations sont apparues au cours de cette étude : le raccord basé sur les solutions de Saint-Venant ne permet pas de traiter précisément les bords ou les chargements de pression sur les faces de la plaque. Dans ce cas là la méthode peut converger (au sens de la décroissance du résidu) vers une solution physiquement non-acceptable. Un premier indicateur de qualité du modèle convergé a été proposé à partir de l’analyse de la contrainte hors-plan, sa pertinence n’est pas encore totalement établie. On dégage donc de nombreuses perspectives à cette thèse dans l’objectif d’aller encore plus vers les problématiques des industriels. Tout d’abord il est nécessaire d’accroître le domaine de validité de la méthode en étant capable de mieux prendre en compte les bords et les chargements sur les faces des plaques. S’il est relativement facile d’augmenter le nombre de problèmes préalables à résoudre et d’enrichir la base des relèvements de SaintVenant, la question de la détermination précise des contributions de chaque terme à partir de la solution plaque ne semble pas évidente à traiter. En tout état de cause, la méthode gagnerait à intégrer un indicateur fiable de la qualité de la modélisation hybride plaque/3D. Par ailleurs, des éléments mis en œuvre dans cette thèse et dans des travaux précédents méritent d’être plus poussés avant, comme le traitement des maillages incompatibles, la mise en œuvre parallèle des calculs avec en vue des applications avec de très nombreux patchs, l’utilisation de conditions limites de Robin bien choisies sur le problèmes locaux, le traitement des comportements non-linéaires globaux et des phénomènes adoucissants.
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Table des matières
Introduction
1 État de l’art sur les méthodes de couplage et les modèles plaques
1.1 Les plaques : modélisations et propriétés
1.1.1 Les modèles de plaques stratifiées dans la littérature
1.1.2 Les relèvements 3D
1.1.3 Les effets de bords et solution de St Venant
1.2 Méthodes de raccord et de couplage global/local
1.2.1 Méthodes d’homogénéisation et d’enrichissement
1.2.2 Méthodes descendantes
1.2.3 Méthodes de couplage fort
1.3 Conclusion
2 Pré-étude sur un raccord 1D/2D
2.1 Problème et solution de référence, modélisation hybride
2.1.1 Problème de référence
2.1.2 Définition du modèle hybride
2.2 Étude des relèvements proposés
2.2.1 Présentation des trois raccords
2.2.2 Comparaison des différents raccords dans le cas isotrope
2.2.3 Effets de la stratification pour le raccord plateau uniforme
2.2.4 Etude de l’influence de la position du raccord
2.3 Première application du couplage non-intrusif
2.4 Conclusion
3 Relèvement numérique de la solution plaque
3.1 Mise en place du problème de relèvement
3.1.1 Reconstruction des efforts de section
3.1.2 Reconstruction du gauchissement de section
3.2 Vérification des champs obtenus
3.2.1 Conditions aux limites imposées
3.2.2 Indépendance de la position et l’orientation
3.3 Implémentation et post-traitement numérique
3.4 Conclusion
4 Mise en place d’un raccord plaque/3D
4.1 Application des conditions limites 3D associées aux relèvements
4.1.1 Raccord en effort
4.1.2 Raccord en travail équivalent
4.1.3 Raccord en déplacement
4.1.4 Résumé de ces approches
4.2 Illustration de ces approches sur un exemple simple
4.3 Conclusion
5 Mise en œuvre de la stratégie itérative Globale/Locale non-intrusive
5.1 Mise en place de la stratégie
5.1.1 Reformulation de la méthode
5.1.2 Accélération par solveur de Krylov
5.1.3 Une méthode de Schwarz optimisée
5.2 Application au raccord plaque/3D
5.2.1 Adaptation des étapes du couplage
5.2.2 Introduction d’une « zone tampon »
5.2.3 Mise en œuvre de la méthode
5.3 Exemple sur un cas de plaque trouée stratifiée
5.3.1 Convergence vers le modèle hybride
5.3.2 Validation du modèle hybride
5.4 Conclusion
6 Application et développement de la méthode
6.1 Cas d’assemblage de plaques
6.1.1 Premier exemple, sans contact
6.2 Traitement de plusieurs zones locales
6.3 Limites et perspectives d’évolution de la stratégie non-intrusive
6.3.1 Cas de chargements mal pris en compte
6.3.2 Placement et validité du raccord
6.3.3 Traitement de maillages incompatibles
6.4 Conclusion
Conclusion
A Calcul de la rigidité apparente pour le modèle réduit
B Calcul des forces nodales entre le modèle plaque et le modèle 3D
B.1 Lien chargements/forces nodales
B.1.1 Cas linéaire
B.1.2 Cas quadratique
Bibliographie
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