Estimation d’état et de paramètres pour les systèmes quantiques ouverts

Ce mémoire porte sur l’estimation d’états et de paramètres à partir de mesures en temps discret ou continu pour les systèmes quantiques ouverts. Plus précisément, il s’agit de systèmes physiques régis par les lois de la mécanique quantique, soumis à la fois à la décohérence et à l’action en retour du processus de mesure. Leur dynamiques sont bien décrites par des chaînes de Markov à états cachés combinant l’évolution cohérence selon l’équation de Schrödinger, la réduction du paquet d’ondes attachée à la mesure quantique et la loi de Bayes pour la prise en compte des imperfections et de la décohérence [HR06, WM09]. En temps continu, il s’agit du filtre quantique de Belavkin [Bel92], présenté de façon détaillée dans [BvHJ07] pour des signaux d’entrée quasi-classiques et dans [GJNC12] pour une classe de signaux d’entrée complètement quantiques (pour une version en temps discret voir par exemple [DMB+09, SDSR12], pour le passage du discret au continu voir par exemple [APR14]). Dans ce cadre, l’estimation d’état (resp. de paramètres) correspond en physique et information quantique à la tomographie d’état [PR04] (resp. de processus). Pour la tomographie d’état, il s’agit d’inférer sa valeur initiale connaissant le modèle (la chaîne de Markov à état caché) et un ensemble de mesures, toutes partant de cette valeur initiale à estimer. Pour la tomographie de processus, il s’agit d’inférer la valeur d’un ou de plusieurs paramètres connaissant la dépendance du modèle par rapport à ce ou ces paramètres et un ensemble de mesures partant d’états initiaux bien connus par ailleurs.

Système isolé et mesures parfaites : fonctions d’onde 

Nous parlons d’abord dans cette section d’un système quantique isolé, c’est-à-dire qui n’interagit pas avec l’extérieur  ; puis d’un système sur lequel toute mesure nouvellement appliquée est connue parfaitement par l’expérimentateur. Nous voyons notamment que ces deux types de systèmes peuvent être décrits par des fonctions d’onde.

Propriétés des systèmes physiques classiques

Lorsqu’il s’agit de modéliser des systèmes physiques à une échelle où l’on peut considérer que leur évolution est convenablement décrite par la physique classique, la représentation que nous choisissons pour décrire son état présente quelques caractéristiques générales, que nous détaillons ici pour mieux comprendre, par contraste, certaines spécificités des systèmes quantiques.

Passage aux systèmes quantiques 

Lorsque nous considérons des systèmes où les phénomènes de la mécanique quantique sont sensibles, les propriétés que nous venons d’énoncer ne s’appliquent plus. Les états quantiques ont une interprétation naturellement probabiliste. Ainsi, ils ne sont pas représentés de la même façon que les états de systèmes classiques. Leur évolution n’est pas toujours déterministe, puisque les mesures qu’on peut effectuer sur un système quantique renvoient la réalisation d’une variable aléatoire, et altèrent en retour l’état du système. Dans ce chapitre, nous commençons par détailler la représentation par fonction d’onde permettant de décrire l’état d’un système quantique isolé, ce qui désigne ici un système qui n’interagit avec des systèmes extérieurs que lors de réductions du paquet d’ondes dont le résultat est parfaitement connu. L’étude des caractéristiques des systèmes quantiques ouverts, ou dont le résultat des mesures est imparfaitement connu est l’objet de la section suivante, avec l’opérateur densité comme représentation de l’état qui remplace et étend la notion de fonction d’onde.

Systèmes quantiques isolés

Pour une très bonne introduction à la notion d’état quantique, voir [CTDL77]. La nature d’un état quantique est intimement liée à celle de probabilité. La notion de probabilité est à la base de la représentation d’un état quantique, à cela près que nous nous attachons, dans ce cas, à des amplitudes de probabilité ; celles-ci font apparaître une phase dans le plan complexe qui permet de traduire dans l’état quantique le caractère ondulatoire des particules étudiées au sein des systèmes quantiques. L’état d’un système quantique isolé, appelé fonction d’onde, est donc un vecteur d’un espace de Hilbert complexe noté H, muni du produit scalaire Euclidien. Chaque dimension de cet espace correspond à un état physique possible du système quantique, et la composante qui lui est associée dans la fonction d’onde détermine l’amplitude de probabilité correspondant à cet état possible. L’espace de Hilbert H peut donc être, selon la nature des états physiques considérés comme possibles, de dimension finie ou infinie – nous travaillons ici avec un espace de Hilbert de dimension finie NH. Cette fonction d’onde est souvent notée |ψi, ou |ψ(t)i lorsque la dépendance en temps doit être soulignée :  nous adoptons le point de vue de Schrödinger, et c’est l’état et non les observables qui dépendent du temps. La notation |ψi représente un vecteur colonne, et hψ| le vecteur ligne qui en est l’adjoint. Le produit scalaire entre deux états |ψi et |φi est donc hψ|φi. La norme d’une fonction d’onde est toujours égale à 1.

Systèmes ouverts à mesures parfaites

L’évolution Hamiltonienne n’apporte en elle-même aucune information à l’expérimentateur. Lorsque celui-ci cherche à connaître l’état du système, il doit lui appliquer ce qu’on appelle une mesure quantique. Le système devient alors un système quantique ouvert. La valeur du résultat tiré de cette mesure est la réalisation d’une variable aléatoire dont la loi de probabilité dépend de l’état du système au moment de cette mesure. En retour, puisque l’état d’un système quantique a une nature probabiliste, ce processus de mesure l’altère de façon irréversible, et cette évolution dépend du résultat de la mesure obtenue. Lorsque le résultat de ces mesures est parfaitement connu, le système peut être décrit par une fonction d’onde. C’est ce cas de figure que nous étudions dans cette sous-section, pour introduire ensuite le cadre plus général des mesures quantiques. Nous présentons d’abord le cas où la mesure est un processus discret, puis celui où le phénomène de mesure est continu et accompagné d’un bruit diffusif.

Estimation de paramètres et filtres particulaires 

L’estimation de paramètres au sein des chaînes de Markov à modèle caché est un sujet déjà bien établi (voir, par exemple, [CMR05]). Il y a vingt ans, Mabuchi [Mab96] a présenté des méthodes basées sur le principe du Maximum de Vraisemblance pour l’estimation de paramètres Hamiltoniens. Gambetta et Wiseman [GW01] ont ensuite détaillé une première adaptation de la technique des filtres particulaires, avec pour objectif l’estimation de paramètres dans les systèmes quantiques ouverts. Les formulations qui en découlent ont été analysées dans [CG09], en utilisant le formalisme standard des filtres quantiques. Récemment, Negretti et Mølmer [NM13] ont repris cette idée pour obtenir les équations générales définissant un filtre particulaire quantique pour des systèmes évoluant selon une équation maîtresse stochastique dont le bruit équivaut à des processus de Wiener (on retrouve les systèmes diffusifs étudiés dans cette thèse).

Dans tous ces travaux, des simulations réalistes permettent de comprendre l’intérêt de tels filtres pour l’estimation de paramètres dans un espace continu. Dans [KY13], des filtres similaires sont utilisés pour choisir entre un nombre fini de paramètres : en l’occurrence, différentes structures possibles pour un réseau quantique. L’estimation Bayésienne utilisée dans l’expérience de contrôle en boucle fermée décrite dans [BWT+12] est en fait un cas particulier du cadre général des filtres particulaires quantiques, puisqu’ici aucune cohérence n’apparaîssant entre les différents niveaux d’énergie, les probabilités manipulées restent classiques.

Robustesse des filtres particulaires

L’estimation par filtre particulaire est très liée au processus d’estimation par Maximum de Vraisemblance, bien que, dans ce cas, on n’ait pas affaire à une véritable optimisation. Pourtant, le formalisme particulier des filtres particulaires nous est très utile pour construire des résultats de robustesse de l’estimation par Maximum de Vraisemblance.

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Table des matières

1 Introduction
2 Structure des modèles
2.1 Système isolé et mesures parfaites : fonctions d’onde
2.1.1 Propriétés des systèmes physiques classiques
2.1.2 Systèmes quantiques isolés
2.1.3 Systèmes ouverts à mesures parfaites
2.1.4 Ouverture
2.2 Systèmes ouverts à mesures imparfaites : matrices densité
2.2.1 Motivations
2.2.2 Notion d’opérateur densité
2.2.3 Adaptation des équations d’évolution aux matrices densité
2.2.4 Mesures non lues et mesures imparfaites
2.3 Trajectoire quantique et estimation de paramètres
2.3.1 Cadre général de la thèse
2.3.2 Filtre réel et filtres approchés
3 Tomographie d’état
3.1 Introduction
3.2 Préliminaires mathématiques
3.2.1 Notations utilisées
3.2.2 Probabilité des trajectoires de mesure
3.2.3 États adjoints
3.3 Estimation par Maximum de Vraisemblance
3.3.1 Contexte de l’optimisation
3.3.2 Comportement asymptotique et variance d’estimation
3.4 Passage à l’estimation bayésienne
3.4.1 Principe de l’estimation bayésienne
3.4.2 Comparaison avec le Maximum de Vraisemblance
3.5 Validations expérimentales
3.5.1 Cas d’un champ de photons : mesures discrètes
3.5.2 Cas d’un qubit : mesures diffusives
4 Estimation de paramètres et filtres particulaires
4.1 Introduction
4.2 Robustesse des filtres particulaires
4.2.1 Filtres particulaires
4.2.2 Description du système par filtre étendu
4.2.3 Robustesse de l’estimation par Maximum de Vraisemblance
4.3 Généralisation de la notion de robustesse
4.3.1 Extension à un espace de valeurs de paramètre possibles
4.3.2 Extension aux trajectoires de mesure successives
4.4 Filtre particulaire à temps continu et discrétisation
4.4.1 Filtre particulaire continu
4.4.2 Filtre particulaire discrétisé
4.5 Validations expérimentales
4.5.1 Estimation de l’efficacité de détection
4.5.2 Estimation du temps de relaxation
5 Tomographie de processus quantique
5.1 Introduction
5.1.1 Motivations
5.1.2 Cadre de la maximisation
5.2 Optimisation grâce à l’adjoint
5.2.1 Écriture du Lagrangien et optimalité
5.2.2 Lagrangien et conditions d’optimalité
5.2.3 Calcul du gradient et états adjoints
5.3 Validations expérimentales : champ de photons et mesures discrètes
5.3.1 Configuration
5.3.2 Cadre de l’estimation
5.3.3 Résultats
6 Conclusion 

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