EQUATIONS DE BASE DE LA LUBRIFICATION HYDRODYNAMIQUE ET APPLICATIONS POUR PALIERS LISSES

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SOLUTION DU PROBLEME ELASTO-HYDRODYNAMIQUE (EHD)

Nous examinons dans ce chapitre, l’influence des défauts de forme dus aux déformations élastiques sur les performances statiques d’un palier lisse de longueur finie très chargé radialement. Nous considérons que le coussinet est déformable à cause d’un revêtement élastique mince qui est placé sur la surface interne du coussinet, par contre l’arbre est supposé rigide. Lorsque les pressions engendrées dans le film sont très étendues, nous sommes en présence d’un contact lourdement chargé qui peut lui-même provoquer des modifications non négligeables dans la géométrie ducontact. La détermination du champ de pression existant à l’intérieur du film fluide conduit à la résolution simultanée de :
– L’équation hydrodynamique de Reynolds qui définit le comportement du fluide
– L’équation géométrique qui définit l’épaisseur duilmf lubrifiant.
Nous calculons dans un premier temps, la répartition de la pression hydrodynamique dans le palier pour une géométrie non déformée (palier parfaitement cylindrique), puis nous déterminons par l’utilisation du modèle « couche mince », les déplacements élastiques du revêtement de surface dus aux pressions hydrodynamiques. Ces déplacements permettent de recalculer une nouvelle géométrie puis un nouveau hampc de pression. Ce processus itératif ainsi défini ne converge généralement pas. Pour sureras la convergence, nous ne devons prendre en compte qu’une petite partie de déplacements calculés, ce qui peut être analogue aux méthodes itératives de relaxation.
Pour trouver la solution d’un problème EHD isotherme, il est nécessaire de déterminer, d’une part le champ de pression du film lubrifiant et le champ de déplacements radiaux d’autre part. Afin que nous puissions assurer une convergence rapide, nous devons résoudre au préalable le problème hydrodynamique othermeis sans tenir compte des déformations élastiques et des effets thermiques dans le contact.

Résolution du problème hydrodynamique (HD)

Dans ce paragraphe, la procédure de résolution du roblèmep HD par la méthode des différences finies est présentée. Comme il a étédiquéin dans le chapitre (III), les hypothèses essentielles seront:
– la température ne varie pas suivant l’épaisseur dufilm ;
– la masse volumique et la viscosité ne varient pas suivant l’épaisseur du film et ne sont fonction que de la température et de la pression ;
– la vitesse du fluide est tangente en tout point aux parois en plaçant l’origine des systèmes d’axes sur le coussinet.

Calcul du champ de pression dans le film lubrifiant

On considère que le fluide est iso-visqueux, la viscosité est supposée constante en tout point du film lubrifiant. Bien entendu, l’équation de Reynolds peut être ici résolue avec les conditions aux limites de Reynolds. En tenant compte des hypothèses, géométrie et conditions de service du palier, il vient : 1,1 coscos,2 1(IV-8)

où : étant l’épaisseur du film bidimensionnel incluant le mésalignement et les déformations élastiques.

Conditions aux limites

Les conditions aux limites utilisées pour la résolution de l’équation de Reynolds sont basées sur la séparation des zones actives et inactives. C’est dans la zone active que la pression monte et que l’équilibre avec la charge appliquée se réalise. La zone inactive est caractérisée par une pression nulle. En conséquence, les conditions aux limites sur les valeurs des pressions sont :

– 0 dans la zone inactive ; (IV-9.a)

-0dans la zone active.

La condition de Reynolds sur la dérivée de la pression à la frontière de rupture du film complet s’énonce comme suit : ⁄ 0 (IV-9.b)

où est la normale à la frontière entre les zones active et inactive.

En général, le palier comporte une alimentation enlubrifiant. Cette alimentation peut être réalisée soit par un canal d’arrivée d’huileansd l’arbre, comme dans le cas des paliers de tête de bielle, soit par des trous percés dans l’épaisseur du coussinet, comme dans le cas des paliers de pied de bielle. Ce ne sont pas les seuls types d’alimentation des paliers, il peut y avoir des rainures circonférentielles totales ou partielles (paliers de tourillon), des rainures axiales ou tout simplement, l’alimentation peut s’effectuer pour des paliers courts par les bords du palier [6].

Dans notre analyse, on traite le cas d’une alimentation en lubrifiant par rainure axiale.

Les conditions aux limites d’alimentation sont donc :

, avesétant la pression d’alimentation en lubrifiant.

Il faut bien noter que pour un palier développé, nous écrivons : 0, 2,

Résolution numérique

La résolution de l’équation (IV-8) nous permet d’utiliser comme précédemment, la méthode des différences finies, où le calcul itératif pourra intervenir. Pour ce faire, le maillage choisi pour la direction angulaire correspond à une maille de 9 degrés, ce qui donne 40 mailles, alors que le maillage choisi pour la direction axiale donne 20 mailles. Dans le cas où le palier est aligné, seule la moitié du palierest maillée axialement.

Calcul du champ de déformation élastique

Le champ de la déformation élastique de surface du coussinet dû aux actions hydrodynamiques est calculé à l’aide du modèle « couche mince ». Ce modèle déjà explicité dans le chapitre II, permet un calcul direct et rapide du champ de déplacement radial à l’interface fluide-solide.

Interaction structure-fluide

Le problème d’interaction structure-fluide peut être résumé sous forme d’un algorithme qui résout le cas élasto-hydrodynamiqueen régime isotherme (figure IV.4).

A partir de cet algorithme, nous pouvons dire que pour une géométrie initiale, nous calculons le champ de pression puis le champ de déplacement, ce dernier modifie à son tour le coussinet qui n’est plus cylindrique, puis nous recalculons un nouveau champ de pression et ainsi de suite. Ce procédé de calcul se poursuit usqu’àj stabilisation de la déformation, ce qui peut se traduire par l’obtention de deux champs de déplacement ou de pression consécutifs suffisamment proches.

Influence des déformations élastiques

Dans ce qui suit, nous nous intéressons aux résultats dans les zones critiques se situant dans le mi-plan du palier, là où nous avons : soit une concentration de chargement, soit une épaisseur du film minimale. Les résultats de calcu isotherme HD et EHD sont ainsi comparés. Les résultats pour le cas d’un palier mésaligné sont également présentés. Plusieurs conditions de fonctionnement sont utilisées dans les calculs HD et EHD.
La figure IV.5 présente le champ de déplacements radiaux à la surface interne du coussinet, résultant du calcul EHD. On constate que le coussinet subit sous l’effet de pression HD, une déformation élastique radiale importante etsurtout dans le mi-plan.
La figure IV.6 présente le champ de pression dû à la concentration du chargement statique, obtenu par le calcul EHD. On observe que la pression HD est importante dans la zone la plus critique à cause d’une épaisseur du film plus faible. On remarque ainsi qu’il y a une concordance entre le champ de déplacement et celui de pression. La figure IV.7 montre le champ de pression en tenant compte du mésalignement. Ici, la pression maximale est située à l’une des deux extrémités dans la zone active car l’épaisseur minimale du film n’est plus au mi-plan du palier. La pression maximale atteint une valeur plus importante si on la compare avec celle obtenue dans le cas de palier aligné. Dans les figures IV.8-9, on présente de façon bidimensionnelle, l’épaisseur du film lubrifiant obtenue par le modèle EHD pour les deux types de revêtements. On remarque que dans la zone active, c’est-à-dire celle qui subit u n chargement important avec un champ de déplacements considérable, l’épaisseur du film estmodifiée et connaît une augmentation notable. La comparaison entre les épaisseurs minimales pour les deux figures IV 8-9 qui se trouvent aux extrémités du palier, dégage un écartassez faible de l’ordre de 5 % environ.

Influence des conditions de fonctionnement sur la pression

La figure IV.10 présente la répartition circonférentielle de la pression dans le plan médian du palier. La couche mince utilisée sur la urfaces interne du coussinet est supposée compressible. Différentes valeurs de charges et vitesses sont prises dans le calcul EHD. Dans la figure IV.10.(a), pour une charge statique de 150 kN et en utilisant deux vitesses telles que 1500 et 3000 tr/min, on peut constater que la distribution de la pression maximale est presque la même, que ce soit dans le calcul HD ou EHD c’est-à-dire une diminution de près de 2 % ; par contre si l’on compare les pressions de calcul HD et EHD pour les vitesses 1500 et 3000 tr/min, on constate que l’augmentation de la vitesse sert à diminuer considérablement la pression maximale de près de 26 %. Inversement, on présente dans la figure IV.10.(b) l’influence de la charge appliquée sur la pression maximale à une vitesse de 3000 tr/min. Ici, l’écart entre les pressions maximales pour le calcu HD et EHD est important. On peut également noter que le résultat de calcul EHD n’estsignificatif que lorsque le chargement est plus important. En effet, pour le cas à 100 kN, on a une diminution de presque 16 % de la pression maximale alors que pour le cas 50 kN, elle n’est que de l’ordre de 8 %.
La figure IV.11 présente l’influence de la vitesse et du chargement statique en utilisant un revêtement élastique quasi-incompressible. Commeil a été explicité, on constate dans la figure IV.11.(a) que les écarts entre les pressionsmaximales sont plus importants. Pour une charge de 150 kN, on note un abaissement de près de 56 % de la pression au cas 1500 tr/min, et de près de 50 % au cas 3000 tr/min. D’autre part dans la figure IV.11.(b), pour une vitesse de 3000 tr/min, on remarque que les écarts entre les pressions maximales sont relativement très grands, plus précisément, en appliquant une charge de 50 kN, on obtient une réduction de près de 45 %, alors que pour une charge de 100 kN, la réduction de la pression atteint presque 53 %. Il est à noter que dans le ca s d’un revêtement quasi-incompressible, la prise en considération des déformations élastiquesest beaucoup plus significative surtout quand la charge statique est très élevée.

Influence des conditions de fonctionnement sur le déplacement

Dans cette partie, on cherche à faire une liaison e ntre le champ de déplacement et celui de pression puisque ceux-ci sont obtenus d’un mêmeprocédé de calcul à partir d’un couplage structure-fluide. Les résultats de calcul HD et EHDpour le déplacement et l’épaisseur du film sont ainsi présentés en utilisant les mêmes conditions de service et les deux types de revêtements élastiques. La figure IV.12 présentela distribution circonférentielle du champ de déplacements radiaux pour un matériau compressible. Dans la figure IV.12.(a), on constate que le déplacement maximal au cas de 150 kN est assez faible et lorsqu’on fait varier la vitesse de 1500 à 3000 tr/min, il résulte une diminution de 23 % environ. En revanche, dans la figure IV.12.(b) pour le cas 3000 tr/min, en augmentant la charge de 50 à 100 kN, on obtient un accroissement du déplacement de presque100 % avec des déplacements maximaux relativement faibles.
En ce qui concerne les déplacements pour un revêtement constitué d’un matériau quasi-incompressible, on peut constater dans la figure IV.13.(a) que les déplacements maximaux atteignent pour le cas 150 kN des valeurs élevées et lorsque la vitesse augmente de 1500 à 3000 tr/min, une réduction du déplacementd’environ 13 %, peut être observée.
Dans la figure IV.13.(b), à une vitesse de 3000 tr/ min, les déplacements sont relativement importants. On constate ainsi qu’en faisant croitre la charge de 50 à 100 kN, les déplacements subissent une augmentation de près de 80 %. Aprèsanalyse de ces résultats, il reste à noter que dans le cas de calcul EHD, l’exécution d’une charge importante engendre un champ de pression aussi important, qui lui-même sert à modifier profondément la géométrie du film par déformation élastique, mais ne modifie que peu l’épaisseur minimale du film.

Influence des conditions de fonctionnement sur l’épaisseur du film

Bien entendu, lorsque la géométrie est modifiée par déformation élastique, l’épaisseur du film doit être aussi modifiée. Dans les mêmes nditionsco précédentes, on montre la répartition circonférentielle de l’épaisseur du film au mi-plan du palier pour les deux types de revêtements. Dans la figure IV.14, pour la couche compressible, les modifications de l’épaisseur du film sont situées dans la zone active due à la pression HD. On peut noter que l’épaisseur du film en exécutant une charge importante, s’accroit de façon considérable là où la pression est importante, mais sa valeur minimale ne change pas beaucoup. Cependant, le fonctionnement à faible vitesse implique une épaisseur plus faible.

Angle de calage et portance hydrodynamique

Dans les figures IV.16-17, on présente la variationde l’angle de calage qui donne la position de l’arbre tournant dans le palier et la portance hydrodynamique HD qui est la charge extérieure que peut supporter le contact, en fonction de l’excentricité relative. En faisant augmenter l’excentricité relative de 0.025 à 0.55, il advient que l’angle de calage est réduit de 85° vers 63° pour le calcul EHD (figure IV.16). A insi, l’écart maximal entre le cas HD avec EHD vaut presque 12 %.
Dans la figure IV.17, on constate que la charge portante croit par l’augmentation de l’excentricité relative qui varie entre 0.025 et 0.55 pour les deux cas de calcul HD et EHD. A partir de l’excentricité 0.25, l’écart de diminutio des portances commence à croitre pour atteindre environ 28 %.

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE I ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1. Introduction
2. Lubrification hydrodynamique
3. Problème théorique élasto-hydrodynamique
4. Problème théorique thermo-hydrodynamique
5. Paliers lisses sous chargement statique
6. Paliers lisses hydrodynamiques
7. Conditions aux limites pour la frontière de rupture de film
7.1. Condition de Sommerfeld
7.2. Condition de Gümbel
7.3. Condition de Reynolds
8. Conclusion
CHAPITRE II SOLUTIONS ANALYTIQUES DES PROBLEMES ELASTIQUES POUR LES TUBES CYLINDRIQUES LONGS
1. Introduction
2. Méthode de Kolosov et Muskhelishvili
2.1. Equations du problème élasto-statique plan en coordonnées cartésiennes
2.2. Equations en variables complexes
2.3. Solutions générales des équations du problème plan
2.3.1. Solution en contraintes
2.3.2. Solution en déplacements
3. Solutions analytiques des problèmes élastiques dans les paliers lisses
4. Géométrie et notations
5. Expressions des contraintes et des déplacements : Méthode des séries
7. Contraintes et déplacements sur les frontières de la couronne
8. Expressions des déplacements et des contraintes sur les frontières
9. Calcul des champs de déplacement et de contraintes sur frontières
10. Cas particuliers
11. Modèle de la couche élastique mince
12. Conclusion
CHAPTRE III EQUATIONS DE BASE DE LA LUBRIFICATION HYDRODYNAMIQUE ET APPLICATIONS POUR PALIERS LISSES
1. Introduction
2. Equation des films minces visqueux généralisée
3. Equation de l’énergie
4. Equation de Reynolds
5. Equation de transfert de chaleur
6. Variation de la viscosité avec la température
7. Lois de variation viscosité-pression
8. Applications au cas d’un palier lisse
9. Epaisseur du film lubrifiant
9.1. Palier rigide
9.2. Palier rigide mésaligné
9.3. Palier déformable aligné
9.4. Palier déformable mésaligné
10. Performances statiques
10.1. Composantes de la portance HD
10.2. Angle de calage
11. Conclusion
CHAPITRE IV SOLUTION DU PROBLEME ELASTO-HYDRODYNAMIQUE (EHD)
1. Introduction
2. Résolution du problème hydrodynamique (HD)
2.1. Méthode des différences finies
2.2. Discrétisation numérique
2.3. Procédé de résolution
3. Solution du problème élasto-hydrodynamique pour un palier
3.1. Géométrie et cinématique du palier
3.3. Conditions aux limites
3.4. Résolution numérique
3.4.1. Calcul du champ de déformation élastique
3.4.2. Interaction structure-fluide
4. Résultats et discussions
4.1. Influence des déformations élastiques
4.2. Influence des conditions de fonctionnement sur la pression
4.3. Influence des conditions de fonctionnement sur le déplacement
4.4. Influence des conditions de fonctionnement sur l’épaisseur du film
4.5. Angle de calage et portance HD
5. Conclusion
CHAPITRE V SOLUTION DU PROBLEME THERMO-HYDRODYNAMIQUE (THD)
1. Introduction
2. Résolution du problème thermo-hydrodynamique
2.1. Formulation mathématique
2.2. L’équation de Reynolds généralisée
2.3. Equation de l’énergie
2.4. L’équation de transfert de chaleur
3. Méthode de résolution
3.1. Maillage
3.2. Discrétisation de l’équation de Reynolds généralisée
3.3. Discrétisation de l’équation de l’énergie
3.4. Discrétisation de l’équation de transfert de chaleur
4. Conditions aux limites
4.1. Conditions aux limites pour le champ de pression (de Reynolds)
4.2. Conditions aux limites pour le film fluide
4.3. Conditions aux limites pour le coussinet
5. Procédé de calcul
6. Résultats et discussions
6.1. Influence de la température sur le champ de pression
6.2. Influence des conditions de fonctionnement sur la pression maximale
6.3. Influence des conditions de fonctionnement sur l’épaisseur du film
6.4. Influence des conditions de fonctionnement sur la température maximale
6.5. Angle de calage et portance hydrodynamique
8. Conclusion
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
ANNEXE A
ANNEXE B
ANNEXE C
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
PRINCIPALES NOTATIONS