SAN-OM-29
Enseigner le calcul mental
Cadre théorique mathématique
Quelques définitions – Calcul mental, résultats mémorisés & calcul réfléchi:
Tout au long de cette recherche, un nombre de notions autour du calcul mental ont été abordées, il est important de les définir afin d’être clair sur le vocabulaire utilisé et donc sur les nuances apportées par celui-ci. Pour ce faire, je vais reprendre les définitions du Livre du maître, (Sauthier et al., 2009) les propositions du Plan d’étude romand (Conférence intercantonale de l’instruction publique de la Suisse romande et du Tessin, 2014) ainsi que d’autres ressources qui me permettront d’expliciter au mieux ces termes comme celles du ministère de l’Éducation nationale française. (Ministère de l’Éducation nationale, 2003).
Tout d’abord, le calcul mental est le mot générique qui englobe les autres concepts : calcul réfléchi, résultats mémorisés et rapidement reconstruits. Calcul mental signifie donc qu’entre l’énoncé du problème et la production du résultat il n’y a pas d’opérations écrites et que l’on n’utilise donc pas les algorithmes. Seuls, les supports pour l’énoncé du problème et l’écriture du résultat peuvent être écrits.
Les résultats mémorisés (nommés aussi calcul automatisé ou répertoire mémorisé) sont des résultats immédiatement disponibles. C’est quelque chose de mémorisé, automatique, il n’y a pas besoin de réfléchir. Ce sont par exemple les livrets, certains répertoires additifs ou soustractifs, certains compléments ou multiples donnés.
D’après le Livre du maître (Sauthier et al., 2009), de la troisième à la huitième, les élèves doivent connaître les résultats mémorisés suivants : le répertoire additif jusqu’à 9 + 9, le répertoire soustractif jusqu’à 18 – 9, le répertoire multiplicatif jusqu’à 9 × 9, les compléments à 10, 20, 50 et 100, et quelques multiples de 15 et 20.
Les résultats mémorisés permettent de réduire le « coût cognitif » lors de la réalisation d’un calcul. Avec l’entrainement, un calcul mémorisé doit être résolu en maximum 3 secondes. Il est au service d’opérations de calcul plus difficiles comme les résultats rapidement reconstruits, le calcul réfléchi et même les algorithmes d’opération en colonnes.
La mémorisation de ces calculs n’est pas aisée et la répétition ou récitation des réponses ne suffisent pas, même si l’intégrer à un jeu ou concours peut être motivant pour les élèves. Pour aider l’élève dans l’apprentissage des résultats mémorisés, (Charnay, Mante, Douaire et Valentin, 2003) l’enseignant doit mettre du sens à l’apprentissage, faire attention aux conditions d’apprentissage qui retentissent ensuite sur les conditions de mémorisation, poser des bases solides (certains résultats sont plus faciles à mémoriser que d’autres) pour la suite de la mémorisation, montrer aux élèves les réactions entre les résultats à mémoriser, ce qui réduit le coût cognitif (ex. 8 × 6 = 6 × 8). Les résultats rapidement reconstruits correspondent « à des calculs pour lesquels il n’est pas nécessaire de trouver une procédure de résolution, car ils s’appuient sur les résultats mémorisés et sur les connaissances liées aux nombres eux-mêmes et à la numération. » En voici la liste exhaustive se trouvant dans le Livre du maître (Sauthier et al., 2009) de Mon cahier de calcul
∗ l’extension aux dizaines, aux centaines et aux unités de mille des tables d’addition, de soustraction et de multiplication
∗ l’ajout ou le retranchement d’un nombre d’un chiffre à un multiple de 10, 100 ou 1000 ∗ le retranchement d’un multiple de 1000 à un nombre de 4 chiffres
∗ la décomposition des résultats du répertoire en produits de 2 facteurs
∗ le double, la moitié de certains nombres
∗ les compléments à 1000 pour les multiples de 10 et les compléments à 10’000 pour les multiples de 500.
Les résultats rapidement reconstruits qui utilisent les répertoires mémorisés sont au service du calcul réfléchi et des algorithmes d’opérations en colonnes. Ce sont des résultats rapidement disponibles. Le résultat doit être trouvé en maximum 5 à 7 secondes. (Sauthier et al., 2009)
Au contraire des résultats mémorisés ou rapidement reconstruits, le calcul réfléchi n’est pas automatisé, c’est une construction mentale et personnelle où l’élève cherche à trouver une procédure adaptée au calcul et efficace pour trouver le résultat. L’élève utilise principalement la mémoire à court terme. Cette manière de calculer demande donc raisonnements et stratégies. L’élève s’appuie sur des notions, pour la plupart fixées dans la mémoire à long terme, de résultats mémorisés et rapidement reconstruits, des bonnes connaissances du nombre et des principes de fonctionnement liés et la maîtrise de la priorité des opérations.
Lors de calcul réfléchi, plusieurs procédures sont envisageables, certaines plus rapides ou économiques que d’autres. Comme déjà mentionné lorsqu’on travaille le calcul réfléchi, il est important de ne pas imposer une procédure, éventuellement de discuter de celle qui existe pour que l’élève puisse choisir la plus adaptée pour lui. De plus, le calcul réfléchi peut se faire uniquement mentalement ce qui engendre une grosse charge cognitive, il peut aussi être accompagné par l’écrit (résultats intermédiaires par exemple).
Quelques définitions – Propriétés des opérations & procédés de calcul:
Que cela soit le calcul automatisé, rapidement reconstruit ou le calcul réfléchi, les calculs se basent sur les propriétés des opérations. Ces propriétés permettent de définir le sens d’un calcul et de choisir un chemin vers le résultat plutôt qu’un autre, elles permettent des économies au niveau des moyens cognitifs et d’éviter des erreurs. De plus, ce sont des définitions fondamentales en mathématiques.
Roegiers (2000) les définit ainsi.
∗ La commutativité d’une opération est la propriété qui permet d’intervertir deux termes sans changer le résultat de l’opération. Ainsi pour l’addition a + b = b + a et pour la multiplication a × b = b × a pour tout a et b. Notons que la soustraction et la division ne sont pas commutatives.
∗ L’associativité d’une opération est la propriété qui permet, dans une expression à plus de deux termes, de regrouper indifféremment deux termes et deux autres. Là, aussi, l’addition et la multiplication sont associatives, car a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) et a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
∗ La distributivité est la propriété qui permet de répartir les termes d’une opération sur ceux d’une autre. La multiplication se distribue toujours sur l’addition et sur la soustraction. La division n’est, quant à elle, pas distributive par rapport à l’addition ou la soustraction. Elle ne se distribue qu’à gauche, au niveau du dividende, car a (b + c) = (a × b) + (a × c) ou a (b – c) = (a × b) – (a × c) pour tout a et b.
∗ La priorité des opérations, qui est un choix arbitraire, signifie simplement que dans les opérations mathématiques certaines opérations sont effectuées avant d’autres : l’ordre de priorité est défini par 1) effectuer les parenthèses 2) effectuer les puissances et les racines 3) effectuer les multiplications et les divisions 4) additionner et soustraire 5) la lecture se fait toujours de gauche à droite (ceci est particulièrement important pour les soustractions et les divisions). Les crochets et les racines ne concernent pas le niveau étudié.
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Table des matières
1. Introduction
1.1 Avant-propos
1.2 Intérêts de la recherche
2. Problématique
2.1 Question de recherche
2.2 Hypothèses
3. Ancrage et apports théoriques
3.1 Les enjeux actuels en Suisse romande à travers le Plan d’étude romand
3.2 L’évolution de l’enseignement du calcul mental dès les révolutions didactiques de la fin du XIXème siècle à nos jours
3.3 Enseigner le calcul mental – Objectifs et fonctionnements mnésiques
3.4 Enseigner le calcul mental – Quelques pratiques favorables
4. Présentation du manuel Mon cahier de calcul
4.1 Choix didactiques faits dans Mon cahier de calcul
4.2 Postures et pratiques de l’enseignant proposées par le Livre du maître
4.3 Choix et évolution des procédures proposées dans le Livre du maître
5. Cadre théorique mathématique
5.1 Quelques définitions – Calcul mental, résultats mémorisés & calcul réfléchi
5.2 Quelques définitions – Propriétés des opérations & procédés de calcul
6. Recherche et analyse
6.1 Premier regard sur le Livre du maître et Mon cahier de calcul
6.2 Regard quantitatif – Consignes dans les exercices
6.3 Regard qualitatif – Lien avec le Plan d’étude romand
6.4 Regard qualitatif – Le calcul réfléchi dans l’addition et la soustraction
6.5 Proposition de progression pour les chapitres portant sur l’addition et la soustraction
6.6 Regard qualitatif – Le calcul réfléchi dans la multiplication et la division
6.7 Proposition de progression pour les chapitres portant sur la multiplication et la division
7. Discussion des résultats
7.1 Retour sur les hypothèses et réponse à la question de recherche
8. Conclusion personnelle
9. Bibliographie
10. Annexes
10.1 Tableaux récapitulatifs du Plan d’étude romand
10.2 Grilles d’analyse des résultats
10.3 Extraits du Livre du maître
10.4 Extrait de Mon cahier de calcul
10.5 Exemple de procédures de calcul
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