Elastodynamique et interaction sol-structure

Elastodynamique et interaction sol-structure

Modélisation de la réponse sismique de la structure et du sol

Equations du mouvement pour la structure

Les équations d’équilibre en termes de champ de déplacement continu u d’une structure flexible, tel qu’un barrage poids, à comportement élastique soumise à un mouvement d’accélération u, s’écrivent comme suit :

σij ,j +fi − ρui = 0 dans ΩS

Les indices i et j font référence à la direction spatiale et ( ,j ) désigne la dérivation par rapport à la coordonnées xj . fi est la composante des forces de volume agissant dans la direction i. ρ est la masse volumique du matériau constituant la structure. σ, de composantes σij désigne le tenseur d’ordre 2 des contraintes de Cauchy.

Conditions aux limites

En général, en dynamique des structures, on rencontre deux types de conditions aux limites qui s’appliquent sur la frontière de la structure. Les conditions de type Dirichlet, qui correspondent au cas de déplacements imposés tel que le blocage au niveau des appuis et les encastrements, et les conditions de type Neumann, qui correspondent aux cas de contraintes imposées tel que le chargement surfacique. De ce fait, dans les modèles de calcul, les contours de domaines solides sont divisés en trois parties, une pour chacune des deux conditions et une troisième correspondant au cas de surface libre (qui correspond aussi au cas de chargement nul). Dans le cas des structures en contact avec un fluide comme les barrages, tel qu’illustré sur la figure 1.1, les contraintes agissant sur l’interface fluide-structure sont provoquées par les pressions du fluide. Les trois types de conditions s’écrivent, en respectant les notations de la figure, comme suit :

σijnj = pni sur ΓI (1.12a)

σijnj = 0 sur ΓS (1.12b)

ui = 0 sur ΓU (1.12c)

où n est le vecteur unitaire normal à la frontière et p est la pression agissant sur l’interface fluide-structure notée ΓI .

Equations de mouvement du sol – Equations d’ondes

Le mouvement à la surface libre d’un dépôt de sol provient dans de nombreuses situations de la propagation d’ondes de cisaillement (ondes S) à partir du rocher. En général, le dépôt se compose de plusieurs couches ayant des propriétés mécaniques distinctes. Le concept de propagation d’onde est fondamental en élastodynamique des sols, il permet de décrire convenablement, avec des modèles mathématiques, la transmission d’énergie à travers des couches de caractéristiques géologiques différentes, ainsi que l’atténuation par absorption ou radiation du mouvement induit.

Dans les modèles numériques simplifiés, les couches sont considérées comme horizontales et gardent un comportement linéaire et élastique (voire viscoélastique) durant le calcul de la réponse. Comme approximation du comportement inélastique du sol, certains modèles se basent sur la méthode dite « linéaire équivalente ». Selon cette méthode, le module de cisaillement G diminue et le coefficient d’amortissement critique ξ augmente en fonction de la déformation maximale observée lors d’un calcul linéaire de la réponse sismique. Un calcul par approximations successives permet d’obtenir de façon simple la réponse du sol en prenant en compte de façon simplifiée le comportement inélastique du sol[57]. Ce genre de modèles est très efficace pour l’évaluation de l’amplification dynamique du mouvement sismique par les dépôts de sol. En interaction sol-structure, il faut noter, comme déjà mentionné dans l’introduction, que c’est le mouvement en champ libre à la surface du sol qui est généralement imposé et que le mouvement en profondeur doit être obtenu par « déconvolution ». Souvent, un modèle unidimensionnel de propagation d’onde de cisaillement (SH) est suffisant pour mettre en oeuvre ce processus de déconvolution.

L’équation de mouvement (1.11) qui régit les déplacements de la structure dans le cadre de la théorie d’élasticité linéaire isotrope s’applique aussi au cas du sol. La masse volumique, étant dans ce cas celle du sol, est désignée par ρs et le déplacement dû à la propagation des ondes sismiques est appelé déplacement de champ libre. En décomposant le Laplacien comme suit

∆U = ∇(∇ · U) − ∇ ∧ ∇ ∧ U (1.29)

où les symboles · et ∧ désignent, respectivement, le produit scalaire et le produit vectoriel, l’équation du mouvement peut être écrite sous la forme suivante

(λ + 2µ)∇(∇ · U) − µ∇ ∧ ∇ ∧ U + F − ρs U = 0

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Table des matières

Introduction générale
I : Elastodynamique et interaction sol-structure
1 Modélisation de la réponse sismique de la structure et du sol
1.1 Introduction
1.2 Equations du mouvement pour la structure
1.3 Conditions aux limites
1.4 Forme variationnelle des équations du mouvement
1.5 Discrétisation des équations du mouvement en éléments finis
1.6 Equations de mouvement du sol – Equations d’ondes
1.7 Equation de propagation d’onde unidimensionnelle dans un matériau viscoélastique
1.7.1 Résolution dans le domaine fréquentiel
1.8 Taille des éléments finis et pas d’intégration temporelle
1.9 Amortissement du mouvement dynamique
1.9.1 Amortissement matériel
1.9.2 Amortissement radiatif – Frontières absorbantes
1.10 Conclusion
2 Interaction sol-structure
2.1 Introduction
2.2 Modélisation à l’aide de l’impédance de fondation
2.3 Méthode globale
2.3.1 Méthode à déconvolution du mouvement sismique
2.3.2 Méthode de déplacement uniforme ajouté
2.3.3 Méthode de réduction de domaine
2.4 Méthode de sous structuration
2.5 Application
2.6 Conclusion
II : Pressions hydrodynamiques
3 Modélisation du fluide en éléments finis
3.1 Introduction
3.2 Equations du mouvement
3.2.1 Formulation en pression
3.2.2 Formulation mixte en pression – potentiel des déplacements
3.3 Conditions aux limites
3.3.1 Contour complet
3.3.2 Condition à l’interface fluide – structure
3.3.3 Condition à la surface libre
3.3.4 Condition sur la surface en fond de réservoir
3.3.5 Condition à la limite sur la surface de troncature
3.4 Solutions analytiques simplifiées pour le cas des réservoirs de barrages
3.5 Condition de radiation
3.6 Discrétisation en éléments finis
3.6.1 Discrétisation de la formulation en pression
3.6.2 Discrétisation de la formulation mixte
3.7 Traitement de la troncature géométrique avec les éléments infinis
3.8 Validation
3.9 Conclusion
4 Nouvelle formulation du fluide en éléments de frontières
4.1 Formulation en équations intégrales de frontière
4.1.1 Solutions fondamentales et dérivées
4.2 Nouvelle formulation symétrique des équations intégrales de frontière
4.2.1 Potentiel de simple couche
4.2.2 Fonction d’énergie potentielle de frontière
4.2.3 Symétrie de l’opérateur d’énergie
4.2.4 Discrétisation en éléments de frontière de la formulation symétrique
4.2.5 Calcul des intégrales élémentaires
4.3 Validation de la formulation symétrique
4.4 Conclusion
III : Couplage hydroélastique
Conclusion générale