Soutenance mémoire
De l’importance des tourbillons
Les tourbillons sont observés dans l’atmosphère terrestre, dans les océans, les lacs, les rivières mais aussi dans l’atmosphère d’autres planètes comme Saturne et Jupiter… Bref dans tous les fluides (liquides ou gazeux) que l’on trouve à l’état naturel. A titre d’exemple, plus de 80 immenses structures tourbillonnaires ont été identifiées dans l’atmosphère de Jupiter, dont la plus grosse, appelée Point Rouge de Jupiter, dès 1665 (Hook, 1665). On la distingue sur la figure 1.1 comme un très gros tourbillon de couleur rouge situé près de l’équateur de Jupiter. Au sud-ouest du Point Rouge, trois tourbillons blancs appelés Ovales Blanches sont clairement identifiables. Ces structures sont gigantesques : le Point Rouge mesure 30000 km de long, et représentent une énergie considérable : le Point Rouge pourrait engloutir deux ou trois fois la Terre. Dans l’atmosphère terrestre, des structures tourbillonnaires sont observées tous les jours et sont visibles sur les images satellites du bulletin météorologique. Les anticyclones (respectivement les dépressions) sont des courants d’air qui s’enroulent autour des perturbations hautes (respectivement basses) pressions. L’image satellite de la figure 1.2 (a) montre par exemple une dépression polaire, structure tourbillonnaire d’air rendue visible par la présence de la vapeur d’eau contenue dans les nuages, au-dessus de la Mer de Barents dans la région polaire Arctique. On remarque qu’une dépression tourne dans le sens cyclonique, c’est-à-dire anti-horaire dans l’Hémisphère Nord, et donc identique au sens de rotation de la Terre qui se fait d’ouest en est. Bien que leur observation nous soit moins familière, des tourbillons peuvent aussi être identifés dans l’océan comme sur la figure 1.2 (b) où le tourbillon est rendu visible de par la nature de l’eau qui le compose. Cette eau est de couleur plus verte que l’eau environnante, probablement en raison d’une remontée de phytoplancton engendrée par la rotation anticyclonique du tourbillon.
Dynamique des fluides géophysiques
La stratification La dynamique des océans, de l’atmosphère terrestre, des atmosphères de Saturne et de Jupiter, du plasma solaire et des poussières d’étoiles dans les disques d’accrétion est gouvernée par deux caractéristiques essentielles : la rotation planétaire et la stratification du fluide qui les compose, c’est-à-dire une variation de sa densité selon la direction de la gravité : le fluide léger se place en équilibre stable au-dessus du fluide lourd. Sur Terre, la densité varie en général en décroissant avec l’altitude. Cette variation de densité peut être due par exemple à une variation de température ou de pression dans l’atmosphère, à une variation de température ou de salinité dans l’océan. Le rayonnement solaire étant absorbé le long de sa traversée par l’atmosphère puis par l’océan, c’est lui qui induit en particulier les gradients thermiques. Dans les océans, l’eau est par exemple plus froide et donc plus dense avec la profondeur. En présence de stratification stable, lorsqu’une particule est légèrement déplacée sur la verticale, elle se retrouve au sein d’un milieu qui n’a pas la même densité qu’elle, un milieu plus léger si la particule a été déplacée vers le haut, un milieu plus lourd si elle a été déplacée vers le bas. La poussée d’Archimède tend alors à la ramener à sa position d’équilibre et fait osciller la particule autour de sa position initiale à une fréquence N, appelée fréquence de Brunt-Väisälä, qui caractérise la stratification. La fréquence de Brunt-Väisälä est fonction de l’accélération de la gravité g, de la densité du milieu ρ et de son gradient vertical telle que N = p−(g/ρ)dρ/dz. On défini alors le nombre de Froude F, tel que F = U/NLh qui évalue l’importance de la stratification sur la dynamique des structures considérées en fonction de leur échelle horizontale Lh et de leur vitesse caractéristique U. Plus le nombre de Froude est petit, plus la stratification joue un rôle important dans la dynamique. Dans la configuration de stratification stable, les mouvements verticaux sont fortement inhibés. Deux types de mouvements privilégiés apparaissent alors, tous les deux visibles sur la figure 1.9 : les ondes de gravité internes et des structures tourbillonnaires, dont les échelles caractéristiques horizontales sont beaucoup plus étendues que l’échelle verticale, et qui sont donc qualifiées de quasi-bidimensionnelles (Q2D), d’axe vertical parallèle au gradient de densité. Les ondes de gravité se propagent de proche en proche grâce à de petites oscillations de particules à la fréquence N. La période caractéristique de la dynamique de ces ondes est donc 1/N et peut varier de plusieurs minutes à une journée (Staquet & Sommeria, 2002a). Ces ondes sont en général engendrées par l’interaction des écoulements, eau ou air, avec la topographie, comme c’est le cas sur la figure 1.9, ou par le forçage du vent à la surface de l’eau. Ces ondes ont fait l’objet de nombreuses études (voir Staquet & Sommeria 2002a pour une revue). On s’intéresse ici à la dynamique des tourbillons Q2D dont le mouvement est caractérisé par l’échelle de temps a/U, a étant la taille du coeur du tourbillon et U sa vitesse horizontale. Ces tourbillons au rapport d’aspect aplati sont très largement observés dans l’océan et l’atmosphère.
La rotation La rotation planétaire locale est caractérisée par le paramètre de Coriolis f, égal à deux fois la vitesse de rotation de la Terre ΩT projetée sur la verticale locale ; ce qui donne, à la latitude φ, f = 2ΩT sin φ. À nos latitudes, on approxime f à f = 10−4s−1 . On définit alors le nombre de Rossby Ro = U/fLh qui évalue l’importance de la rotation sur la dynamique des structures considérées en fonction de leur échelle horizontale Lh et de leur vitesse caractéristique U. Plus le nombre de Rossby est petit, plus la rotation joue un rôle important dans la dynamique. Bien que la Terre tourne lentement au rythme d’une révolution par jour, l’échelle caractéristique des structures atmosphériques est si grande que le nombre de Rossby devient petit. Il est par exemple typiquement de 0.1 dans le jet stream atmosphérique et dans le Gulf stream océanique. La présence de rotation dans le milieu donne par ailleurs naissance aux ondes inertielles (analogues aux ondes de gravité en présence de stratification) dont la période caractéristique est 1/f. Un très fort taux de rotation allonge les échelles verticales. D’après le théorème de Taylor-Proudman (voir Tritton (1988) pour plus de détails) les dérivées de la vitesse s’annulent dans la direction parallèle à l’axe de rotation et a tendance a rendre la dynamique bidimensionnelle. Bien que ce théorème ne puisse s’appliquer qu’en négligeant les non-linéarités de l’écoulement et son instationnarité,le caractère bidimensionnel des écoulements turbulents fortement tournant a été observé expérimentalement (Baroud, Plapp, She & Swinney 2003) et numériquement (voir Hopfinger, Browand & Gagne 1982 pour une revue). Notons cependant que l’approche de la turbulence d’ondes (Bellet, 2003), qui consisite à considèrer les non linéarités comme un ensemble d’interactions entre ondes, remet en cause la transition complète de la turbulence en rotation vers une dynamique bidimensionnelle.
Le régime quasi-géostrophique Selon l’échelle des structures et l’échelle des temps que l’on considère et selon la nature des fluides, la rotation ou la stratification peuvent dominer la dynamique. Un fort taux de rotation a tendance à allonger les échelles verticales alors qu’une forte stratification a au contraire tendance à les réduire (voir Riley & Lelong 2000 et Cambon 2001 pour une revue). Le paramètre qui mesure l’importance relative de la rotation et de la stratification est le rapport F/Ro = f/N. La stratification moyenne est à peu près uniforme dans la troposphère, portion de l’atmosphère entre 0 et 10-15 km d’altitude où la plupart des phénomènes météorologiques se produisent, grâce à une décroissance approximativement linéaire de la température avec l’altitude comme le montre la figure 1.10. L’atmosphère terrestre ainsi est caractérisée par un rapport f/N = 0.01 aux latitudes moyennes. Si on s’intéresse à la dynamique de structures de taille inférieure à environ 500km, le nombre de Rossby est généralement assez grand pour pouvoir négliger en première approximation la rotation de la Terre. La stratification devient alors le facteur dominant de la dynamique. Dans l’océan il existe un très fort gradient de densité dans la couche de surface d’environ 150m de profondeur appelée thermocline. Celle-ci est caractérisée par une fréquence de flottabilité N environ 10 fois plus élevée que dans les abysses due en particulier à l’action directe du rayonnement solaire. La thermocline est alors typiquement caractérisée par un rapport f/N = 0.01 alors que les océans présentent en moyenne un rapport f/N = 0.1. Le rôle de la rotation par rapport à la stratification est donc relativement plus important dans les océans (sauf dans la thermocline) que dans l’atmosphère et il ne peut être négligé que pour des structures plus petites que 50km environ. Au-delà de 500km dans l’atmosphère et de 50km dans l’océan, la rotation ne peut pas être négligée et le régime est à la fois fortement tournant et fortement stratifié : les nombres de Froude et de Rossby sont tous les deux petits devant l’unité. On défini alors le régime quasi-géostrophique pour lequel le nombre de Froude vertical Fv (c’est-à-dire le nombre de Froude basé sur l’échelle verticale du fluide H : Fv = U/NH) et le nombre de Rossby Ro vérifient F2v < Ro < 1. Notons que le régime quasi-géostrophique peut être valide à n’importe quelle échelle si cette condition est vérifiée. En régime quasi-géostrophique, les tourbillons prennent une forme de « pancake » : leur extension verticale H est faible comparée à leur extension horizontale L tel que leur rapport d’aspect H/L soit proportionnel à f/N (Charney 1948 ; Griffiths & Linden 1981 ; Dritschel & de la Torre Juárez 1996). La figure 1.11 (b) d’un ouragan dans l’Océan Atlantique nous permet d’appréhender son rapport d’aspect très aplati. Un ouragan est un tourbillon cyclonique dont les vents ont une vitesse supérieure à 30ms−1 et situé dans l’Atlantique Nord ou dans le nord-est du Pacifique, le terme ouragan venant du nom du dieu Maya de la tempête “hunraken”.
Structure en couche des fluides géophysiques
Une forte stratification inhibant les mouvements verticaux, le champ de vitesse est quasi-horizontal et la dynamique s’organise en fines couches horizontales. Les fluides géophysiques sont ainsi structurés en couches comme l’ont montré les mesures par ballon de la température de l’atmosphère effectuées pendant les campagnes MUTSI (MU radar, Temperature Sheets and Interferometry ; Dalaudier, Sidi, Crochet & Vernin 1994 ; Luce, Crochet, Dalaudier & Sidi 1995 ; Luce, Crochet & Dalaudier 2001 ; voir figure 1.17 b), les mesures des constituants de l’atmosphère pendant la campagne MOZAIC (Thouret, Cho, Newell, Marenco & Smit 2000, voir figure 1.17 a), les mesures de turbulence in-situ effectuées par hélicoptère (Muschinski & Wode, 1997), les mesures du radar planétaire NASA/GPL Goldstone (Cho et al., 1996), ou encore les mesures effectuées dans l’océan (Gregg 1987 ; Woods 1968 ; Dugan 1984 ; figure 1.18) et dans les lacs (Thorpe 1977 ; Imberger & Ivey 1991).
Dynamique des couches
L’analyse d’échelles de Riley et al. (1981) a introduit une nouvelle approximation des équations de Navier-Stokes dans le cas d’un fluide fortement stratifié qui tient compte du fait que le champ de vitesse est quasi-horizontal. Riley et al. (1981) ont proposé qu’en supposant les échelles verticales et horizontales de l’écoulement très grandes comparées à l’échelle de flottabilité définie comme U/N, alors la dynamique est bidimensionnelle en première approximation. En utilisant cette approximation, Lilly (1983) et Gage & Nastrom (1986) ont interprété le spectre de l’énergie cinétique observé dans l’atmosphère à méso-échelle (Gage, 1979) par des avions de ligne entre 9 et 14km d’altitude, comme une manifestation de dynamique bidimensionnelle. En particulier, ils l’ont interprété comme un transfert d’énergie, appelé cascade inverse d’énergie, des petites (∼ 1 km) vers les grandes échelles (∼500km) en k−5/3h , où kh est le nombre d’onde horizontal (figure 1.21). Ce transfert d’énergie signifie que les petites structures ont tendance à se rassembler pour former des structures plus grandes : les petits tourbillons s’apparient pour devenir plus grands. Notons à titre indicatif que ce spectre n’est observé que pour les méso-échelles car pour des échelles supérieures à 500km, la stratification et la rotation terrestres sont toutes deux importantes et on atteint le régime quasi-géostrophique où Charney (1971) a montré que la dynamiques est analogue à la dynamique 2D. Un spectre en k−3h est alors observé correspondant à un transfert d’énstrophie des grandes vers les petites échelles. Lindborg (1999) a au contraire montré que la cascade d’énergie aux méso-échelles va des grandes vers les petites échelles en calculant des moments statistiques d’ordre élevé à partir de mesures faites dans l’atmosphère. Il a aussi montré que l’épaisseur des couches dépend de N, c’est-à-dire du niveau de la stratification. Cette dépendance en N a aussi été observée dans certaines expériences de laboratoire et simulations numériques (Park et al. 1994 ; Holford & Linden 1999 ; Waite & Bartello 2004 ; Lindborg 2004). Remarquons que des cas contraires où l’échelle verticale est indépendante de N et ne dépend que du nombre de Reynolds ont aussi été observés dans des expériences de décroissance de turbulence de grille par exemple (Fincham, Maxworthy & Spedding 1996 ; Bonnier, Eiff & Bonneton 2000 ; Praud, Fincham & Sommeria 2005).
Présentation du manuscript
Dans le but de savoir si l’instabilité zigzag est un mécanisme générique pouvant mener à la formation des couches en turbulence stratifiée, nous avons cherché à savoir si elle affecte une paire de tourbillons co-rotatifs, écoulement prototype complémentaire du dipôle contrarotatif. Si c’est le cas, nous cherchons en particulier à savoir si l’échelle verticale sélectionnée sera là aussi proportionnelle à l’échelle de flottabilité. Par ailleurs, les tourbillons co-rotatifs étant plus souvent observés dans les fluides géophysiques, il est particulièrement intéressant d’étudier cette configuration afin d’essayer de relier la décorrélation verticale engendrée par l’instabilité zigzag et l’organisation en couches des fluides géophysiques. Enfin, le processus d’appariement de tourbillons de même signe joue un rôle clé en turbulence 2D et est responsable de la cascade d’énergie vers les grandes échelles. Si le processus d’appariement est altéré par la stratification, on pourra alors montrer que la turbulence stratifiée diffère de la turbulence 2D. Le deuxième chapitre est une introduction à la dynamique des tourbillons et à quelques outils d’analyse qui seront utiles dans la suite du manuscript. Le manuscript est ensuite divisé en trois parties. L’ensemble des travaux est présenté sous forme d’articles, soumis ou en préparation, indépendants et pouvant donc être lus séparément.
• La première partie est l’étude linéaire de la stabilité de deux tourbillons co-rotatifs en milieu stratifié. Cette partie est elle-même divisée en deux chapitres. Le premier chapitre présente l’analyse numérique de stabilité linéaire d’une paire de tourbillons co-rotatifs en milieu stratifié. Ce chapitre permet en particulier d’étudier la transition entre fluide homogène et fluide stratifié. Le second chapitre est l’étude asymptotique de l’instabilité zigzag affectant deux tourbillons co-rotatifs découverte au premier chapitre. Ce chapitre permet d’appréhender l’origine physique de cette instabilité.
• La deuxième partie est l’étude non-linéaire de l’instabilité zigzag de deux tourbillons corotatifs. Le premier chapitre présente la mise en évidence expérimentale de cette instabilité et montre en particulier que l’échelle verticale sélectionnée par l’instabilité est proportionnelle à l’échelle de flottabilité. Le deuxième chapitre étudie numériquement le processus d’appariement en milieu stratifié.
• Enfin, la troisième partie ouvre l’étude de l’instabilité vers les fluides géophysiques et conclue.
Le premier chapitre présente une analyse numérique de stabilité linéaire similaire à celle du chapitre 3 d’une paire de tourbillons co-rotatifs en milieu stratifié en présence de rotation planétaire. Cette étude permet de faire le lien entre l’instabilité “tall-column” et l’instabilité zigzag.
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Table des matières
1 Introduction
Les tourbillons dans l’univers
Dynamique des fluides géophysiques
Effet de la stratification : une structure en couches
Présentation du manuscript
2 Introduction à la dynamique de tourbillons
Choix du profil des tourbillons
Dynamique bidimensionnelle de deux tourbillons co-rotatifs
Stabilité tridimensionnelle de tourbillons
I Étude de la stabilité linéaire d’une paire de tourbillons verticaux co-rotatifs en milieu stratifié
3 Analyse numérique de stabilité tridimensionnelle d’une paire de tourbillons co-rotatifs
3.1 Introduction
3.2 Two-dimensional simulation
3.2.1 Numerical method
3.2.2 The two-dimensional evolution
3.3 Numerical method of the three-dimensional stability analysis
3.4 Three-dimensional stability
3.4.1 Unstratified and weakly stratified flow (Fh > 10)
3.4.2 Zigzag instability for Fh < 2.85
3.5 Effects of the Reynolds number and of the ratio αb on the zigzag instability
3.5.1 The effect of the Reynolds number
3.5.2 The effect of the ratio αb = ab/bb
3.6 Summary and conclusions
3.7 Annexe A : Computational accuracy
4 Analyse asymptotique de l’instabilité zigzag
4.1 Introduction
4.2 Stability problem
4.2.1 Governing equations
4.2.2 Basic state
4.2.3 Scaling analysis
4.2.4 Linearized equations
4.3 Asymptotic problem
4.3.1 Formulation of the asymptotic problem
4.3.2 Order F0 v problem
4.3.3 Order F2v problem : determination of u˜20
4.4 Stability analysis
4.5 Comparison between theoretical and numerical results
4.5.1 Growth rate as a function of the wavenumber and Froude number
4.5.2 Maximum growth rate and corresponding wavenumber as a function of 1/Λ
4.5.3 Shape of the eigenmode as a function of kzFh
4.6 Summary and conclusions
4.7 Annexe A : Adjoint
4.8 Annexe B : Determination of ψ20
II Étude de l’appariement de deux tourbillons verticaux en milieu stratifié
5 Mise en évidence expérimentale de l’instabilité zigzag
5.1 Comparaison entre la longueur d’onde observée et les études linéaires
5.2 Dispositif expérimental et protocole utilisé
5.2.1 Stratification
5.2.2 Génération des tourbillons
5.2.3 Visualisation tridimensionnelle des tourbillons
5.2.4 Mesure des champs de vitesse instantanée par PIV
5.2.5 Détermination des caractéristiques des tourbillons
6 Simulations numériques de l’appariement de tourbillons verticaux en milieu stratifié
6.1 Introduction
6.2 Numerical method
6.2.1 DNS code
6.2.2 Basic state
6.3 Qualitative behaviour of the pairing of vortices in a stratified flow
6.4 Description of merging in a strongly stratified fluid
6.5 Analysis of a stratified pairing and comparison with a 2D pairing
6.5.1 Evolution of the separation distance b and of the core size of the vortices a
6.5.2 Shape of the final vortex
6.5.3 Effect of the amplitude perturbation, of the Reynolds number Re and of the Froude number Fh on the stratified merging
6.6 Energy and enstrophy analysis
6.6.1 Space and time evolutions
6.6.2 Comparison with two-dimensional merging
6.7 Conclusion
III Application aux fluides géophysiques et conclusion
7 Effet de la rotation planétaire sur l’instabilité zigzag
7.1 Introduction
7.2 Linear stability analysis
7.3 Discussion
7.4 Conclusion
8 Conclusion et perspectives
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