Discrétisation en maillage non structuré général et applications LES

Étude de la stabilité et précision du schéma MUSCL

   L’expérience avec Cedre montre que la relation entre robustesse et précision des méthodes de type Muscl est particulièrement délicate en maillage non structuré. Deux exemples sont le calcul d’un écoulement subsonique au-dessus d’une cavité profonde, cf. [17], et le calcul d’un jet supersonique chaud, cf. [81]. Tous les deux sont des calculs instationnaires avec une modélisation de la turbulence par le modèle de Smagorinski, cf. [92]. Le cas de la cavité montre que le schéma numérique s’avère moins robuste sur un maillage de tétraèdres que sur un maillage structuré. Plus précisément, le calcul sur les tétraèdres nécessite une limitation plus forte des gradients reconstruits pour se dérouler correctement. Le même calcul, effectué sur un maillage structuré, peut se contenter d’une limitation moins restrictive, voir [17, p. 144] pour les détails. On constate alors que la précision du calcul est moins bonne en maillage non structuré. Cela permet de tirer deux conclusions :
(1) La reconstruction du gradient en maillage non structuré rend le calcul moins robuste.
(2) Les limiteurs ont une influence forte sur la précision en maillage non structuré.
Le cas du jet montre que l’écoulement ne devient pas turbulent sur un maillage de tétraèdres. Il faut insérer un maillage structuré dans la zone de mélange pour que la turbulence se développe, voir [81] pour les détails. Cela laisse présumer que la limitation de gradient génère trop de dissipation numérique en maillage non structuré. Ces constats suggèrent d’étudier deux questions particulières :
(1) La relation entre la reconstruction du gradient et la stabilité du schéma numérique.
(2) L’impact des limiteurs de gradient sur la précision en maillage non structuré.
La littérature recense plusieurs résultats de stabilité sur des maillages non structurés généraux. Même si la plupart des preuves sont valables pour des lois de conservation scalaires, elles restent intéressantes pour le cas des systèmes. Le respect du principe du maximum, prouvé dans [10], assure que la solution d’un schéma de type volumes finis reste confinée entre les minima et maxima locaux au voisinage d’une cellule. Une méthode qui respecte le principe du maximum garantit donc non seulement que la solution reste bornée mais aussi qu’elle reste positive si la condition initiale était positive. D’autres résultats de stabilité font partie de théorèmes de convergence, comme, par exemple [73, 27, 18, 88], et sont donc importants pour les bases théoriques des méthodes des volumes finis en maillage non structuré.Il faut cependant noter qu’une grande partie des résultats recourent de façon explicite à la limitation de gradient. Les expériences avec Cedre citées plus haut montrent que la dissipation numérique apportée par les limiteurs est souvent difficile à contrôler. Pour des calculs industriels, l’objectif est donc plutôt de relâcher le plus possible les contraintes de limitation. Cette approche exige par contre de contrôler l’influence de la reconstruction du gradient sur la stabilité du schéma numérique afin de ne pas compromettre la robustesse. Pour cette raison, la présente étude se concentre sur la stabilité de la méthode Muscl sans limiteurs. Cela permet d’explorer l’impact de la méthode de reconstruction du gradient, de la taille du voisinage de reconstruction et du type de maillage sur la stabilité. L’objectif suivant est alors d’améliorer les limiteurs qui servent à supprimer des oscillations artificielles et qui assurent la stabilité au voisinage de chocs et dans des zones avec de forts gradients. Ces algorithmes de limitation ne doivent pas trop dégrader la précision des calculs. Les expériences avec Cedre citées ci-dessus montrent cependant que les méthodes actuelles de limitation dans Cedre sont à cet égard insuffisantes. Dans la littérature, il existe un certain nombre de résultats sur les limiteurs en maillage non structuré. Un exemple est le principe du maximum déjà mentionné ci-dessus, cf. [8, 10]. Ce résultat spécifie des intervalles admissibles pour les valeurs reconstruites aux interfaces entre les cellules. Si ces intervalles sont respectés, la solution ne peut pas dépasser les minima et maxima locaux au prochain pas de temps. D’autres travaux comme [68, 86] couvrent plutôt l’aspect géométrique de la limitation en maillage non structuré. Il s’agit là du problème de trouver le gradient qui est le plus proche du gradient reconstruit mais qui respecte les intervalles prescrits aux faces. Il faut examiner si ces méthodes sont assez efficaces pour trouver leur place dans un code industriel et scientifique comme Cedre. Il est également nécessaire de tenter de les améliorer. Les méthodes de type ENO/WENO évitent l’utilisation de limiteurs par une sélection dynamique des voisinages de reconstruction. Un algorithme de type ENO reconstruit plusieurs solutions sur différents voisinages et sélectionne celle qui provoque le moins d’oscillations. Néanmoins, ces reconstructions multiples nécessitent un effort de calcul qui semble encore trop élevé pour permettre l’utilisation dans un code tel que Cedre. Pour cette raison, la présente étude ne poursuit pas cette piste.

L’approche de Godounov

   Le problème général auquel on s’intéresse dans ce travail est la simulation numérique de la dynamique des fluides compressibles avec une attention particulière à la simulation des grandes échelles. Depuis plus de soixante ans, cette question a donné lieu à des développements importants dans les mathématiques pures et appliquées ainsi que dans la physique. Sur le plan théorique, les questions mathématiques de l’existence et de l’unicité des solutions des équations de la mécanique des fluides compressibles sont restées essentiellement ouvertes. Sur le plan physique, très peu de solutions analytiques ont un intérêt réel. Cependant, il est important de disposer de simulations précises dans de très nombreux secteurs scientifiques : aéronautique, astronautique, énergétique, cosmologie, climatologie, etc. L’une des difficultés numériques consiste à calculer des solutions pouvant comporter des discontinuités de différents types. Ces discontinuités, essentiellement les ondes de choc et les discontinuités de contact, sont caractéristiques des systèmes de lois de conservation. Un moment important a été la prise de conscience que la discrétisation des équations de la mécanique des fluides compressibles devait préserver au plus près la structure conservative des équations. Ceci a mis en évidence le besoin de schémas conservatifs, c’est-à-dire de schémas numériques avec une propriété de conservativité locale, afin d’assurer une vitesse correcte de propagation des discontinuités, cf. [85]. Une étape importante a été franchie par S.K. Godounov dans les années 50, cf. [53]. Les schémas classiques aux différences utilisent des développements de Taylor locaux, valables dans les zones de régularité de la solution. Ces schémas ont donc besoin de réglages particuliers pour se comporter correctement aux voisinages de discontinuités. Godounov, au contraire, choisit de représenter partout le fluide par des moyennes de cellule, même dans les zones où la solution est régulière. Il profite ensuite de cette représentation discontinue pour définir l’évolution en temps des moyennes de cellule.

Les schémas TVD

   À la suite de ces premiers travaux, décrits dans la section 2.3, il est rapidement devenu indispensable de clarifier les bases de la méthode Muscl. Les différentes étapes du schéma Muscl soulèvent plusieurs questions :
(1) Est-il possible de remplacer la résolution exacte du problème de Riemann par une formule de flux numérique plus simple ?
(2) Comment peut-on généraliser la notion de monotonie, qui s’applique aux lois de conservation scalaires, à la dynamique des gaz ?
(3) Quels critères faut-il imposer à la limitation du gradient ?
À la suite des travaux de Van Leer, différents chercheurs ont fourni un effort important pour axiomatiser le schéma Muscl dans un contexte plus simple que celui de la dynamique des gaz. Cette démarche a été initiée par Harten et par Roe. Ces travaux partent du principe qu’une méthode de discrétisation des lois de conservation scalaires a besoin de trois ingrédients essentiels :
(1) Un flux numérique sous la forme d’un solveur approché du problème de Riemann.
(2) Une formule d’interpolation de gradient.
(3) Une formule de limitation de gradient.
Ce point de vue a donné lieu à des études variées qui ont toutefois conduit à une analyse fragmentée de ces différentes questions. Ainsi, beaucoup d’articles ont été consacrés à la conception de limiteurs de pente optimaux parmi certaines classes de formules paramétrées. Parmi les travaux les plus importants, on peut citer ceux de Harten [59] qui a proposé la notion de variation totale décroissante (TVD). Harten définit, pour la solution exacte d’une loi de conservation, une propriété de monotonie qui s’exprime par deux conditions :
(1) La solution ne fait apparaître aucun nouvel extremum local.
(2) Les minima locaux ne peuvent pas diminuer et les maxima locaux ne peuvent pas augmenter.
Harten prouve que les schémas monotones possèdent la propriété TVD et que les schémas TVD préservent la propriété de monotonie définie ci-dessus. Les schémas TVD forment donc une classe plus large que les schémas monotones et possèdent la propriété de monotonie qui empêche a priori des oscillations artificielles d’apparaître. Les schémas TVD peuvent être du second ordre. Il est possible de spécifier des conditions explicites pour qu’un schéma soit TVD, cf. par exemple Sweby [102], ce qui a contribué à leur succès. La situation autour de 1987 se trouve, par exemple, dans le rapport de H.C. Yee [125] qui mène une comparaison extensive d’un ensemble de variantes des schémas TVD. Pour une présentation de la notion de schéma TVD, voir [84, 103, 83]. L’une des questions les plus importantes reste cependant ouverte : il n’est pas clair comment généraliser, de façon univoque, les schémas obtenus pour une équation scalaire au cas des systèmes d’équations de la mécanique des fluides compressibles. Naturellement, l’extension au cas multidimensionnel est encore plus compliquée. Elle se fait sur maillage structuré, avec un splitting directionnel, cf. [124] et [123]. Il est important de rappeler le résultat de Goodman et Leveque [55] qui prouvent que l’ordre des schémas TVD en dimension d > 1 ne peut excéder un. La notion TVD est donc, dans un sens strict, une notion unidimensionnelle. Cela a motivé le développement de conditions plus faibles pour la monotonie, comme le principe du maximum de Barth [8, 10] qui est utilisé dans cette étude pour définir des limiteurs en maillage non structuré. L’avantage de ces critères plus récents réside également dans le fait qu’ils s’adaptent aux maillages non structurés généraux, ce qui n’est pas le cas du critère TVD en dimension d > 1. D’autres critères de limitation de pente spécifiques à la dynamique des gaz (domaines de variables physiques invariants, consistance avec la condition d’entropie) ont également été explorés [37, 39, 14, 16, 15, 19]. Les travaux cités ci-dessus ont permis de clarifier l’algorithme du schéma Muscl mais n’ont pas touché au fait que le schéma se compose de trois éléments fondamentaux :
(1) Évaluation des flux numériques aux valeurs interpolées aux interfaces.
(2) Interpolation de gradient.
(3) Limitation de gradient.
Par la suite, de nombreuses recherches expérimentales ont été menées pour l’extension du principe des limiteurs en dimensions deux et trois sur maillage structuré. Cela a donné lieu à une littérature très importante, que ce soit sur des exemples académiques, comme l’équation de transport scalaire, e.g. [101], ou dans le contexte des équations de la mécanique des fluides.

Méthodes apparentées : DG, SVM, RD et GRP

   Les schémas volumes finis présentés dans les sections précédentes ne sont pas les seules méthodes utilisées pour les lois de conservation hyperboliques. Outre la méthode GRP [12], citée à la fin de la section 2.3, il faut mentionner de façon non exhaustive d’autres méthodes importantes qui suscitent un intérêt grandissant :
(1) La méthode Discontinuous Galerkin (DG) date du début des années 70 lorsque Reed et Hill l’ont proposée pour la simulation de problèmes de transport de neutrons [89]. La méthode DG a ensuite été adaptée à la mécanique des fluides dans les années 80 et 90, par Cockburn, Shu et al. Des références pour cette méthode sont par exemple [30, 32, 31, 28, 33, 29, 21].
(2) À partir de 2002, Wang et al. ont introduit l’approche de la Spectral Volume Method (SVM). Des références sont par exemple [115, 116, 117, 118, 80, 100, 45, 58].
(3) L’approche des Residual Distribution (RD) Schemes constitue une alternative à la méthode classique des volumes finis pour obtenir des  schémas d’ordre élevé. Des références récentes sont [90, 3, 4, 5, 7, 6].
Une description détaillée de ces méthodes dépasserait le cadre de cette thèse car elles ont donné lieu à un volume important de travaux dans la littérature. On note seulement que l’implémentation des méthodes DG, SVM et RD dans Cedre nécessiterait d’importantes modifications dans l’architecture logicielle. C’est une des raisons principales pour laquelle la présente étude tente d’améliorer la méthode des volumes finis dans le contexte du schéma Muscl classique

Étude de méthodes de reconstruction itératives

   Une partie importante  de cette étude est l’analyse des méthodes itératives de reconstruction dans le chapitre 8. Le but de ces méthodes est de reconstruire des polynômes de degré élevé par des algorithmes qui n’échangent des données qu’entre cellules voisines, ce qui simplifie énormément l’implémentation des algorithmes sur ordinateur. L’étude du chapitre 8 a porté sur deux méthodes particulières, la méthode des moindres carrés couplés (MCC), introduite dans la section 8.2, et la méthode des correction successives (CS), introduite dans la section 8.3. Bien que ces méthodes permettent a priori de reconstruire les polynômes de degré k, l’implémentation et les tests se restreignent à la reconstruction de degré deux dans le cadre de la présente étude. Cela donne les algorithmes suivants :
(1) La méthode des moindres carrés couplés par itération MCCI, définie par l’algorithme 8.2.2, et la méthode des moindres carrés couplés par itération sur un voisinage élargi MCCIE, définie par l’algorithme 8.4.3.
(2) La méthode des corrections successives CS, définie par l’algorithme 8.3.8, et la méthode des corrections successives sur un voisinage élargi CSE, définie par l’algorithme 8.4.4. L’étude numérique de la section 8.5 confirme que l’erreur d’approximation de ces méthodes de reconstruction est d’ordre trois sur des maillages de triangles et des maillages hybrides en dimension deux.

Étude de la stabilité des schémas volumes finis

   L’étape suivante de l’étude a consisté à analyser la stabilité des schémas numériques reposant sur les méthodes de reconstruction développées dans les chapitres 7 et 8. L’objectif était de déterminer les méthodes consistantes de reconstruction qui améliorent la stabilité des schémas. Pour pouvoir évaluer l’influence de la reconstruction sur la stabilité, il était nécessaire d’étudier les schémas de discrétisation sans limiteurs et dans le contexte semi-discret sur l’exemple de l’équation de convection linéaire. L’étude a permis de déterminer un nouveau critère local de stabilité, l’opérateur de reconstruction locale introduit par la définition 10.5.3. Il s’agit d’un opérateur linéaire qui permet d’exprimer les fluctuations entre les valeurs reconstruites aux faces et la valeur moyenne de la cellule en fonction des fluctuations entre les moyennes de cellule au voisinage. Cet opérateur est nul dans le cas du schéma basé sur une reconstruction constante par cellule. Puisque le théorème 10.4.2 démontre que ce schéma est toujours stable indépendamment du maillage, il est naturel de choisir des reconstructions consistantes qui minimisent l’opérateur de reconstruction locale dans une ou plusieurs normes. L’étude de la section 10.6 permet alors de tirer deux conclusions importantes pour le choix et la conception des méthodes de reconstruction :
(1) Le théorème 10.6.7 montre que la reconstruction des moindres carrés minimise le critère de la définition 10.6.1 pour une large famille de normes. Ce résultat suggère que si la méthode des moindres carrés donne un schéma instable, alors toute autre méthode de reconstruction consistante est également susceptible de produire un schéma instable. Ce résultat permet de voir la méthode des moindres carrés comme une méthode de stabilité optimale mais cette interprétation n’est évidemment pas totalement rigoureuse.
(2) Le résultat du théorème 10.6.9 suggère que des voisinages de reconstruction plus grands conduisent à des schémas plus robustes, au moins dans le cas de la reconstruction des moindres carrés.
Ces conclusions se généralisent aux reconstructions de degré k > 1. L’étude numérique de la section 10.9 confirme ces résultats pour les degrés k = 1, 2, 3 : les instabilités disparaissent si le voisinage de reconstruction est élargi. De plus, l’étude numérique montre que les algorithmes 8.2.2 (MCCI) et 8.3.8 (CS) conduisent à des schémas instables et doivent être remplacés par les algorithmes 8.4.3 (MCCIE) et 8.4.4 (CSE) qui s’avèrent stables sur tous les maillages. Un autre résultat important concerne la reconstruction des polynômes de degré trois : sur des maillages de triangles en dimension deux, ces schémas présentent des modes instables avec une partie réelle faiblement positive. Ces modes s’appellent modes instables « lents » car leur croissance est plus lente. La variation spatiale de ces modes est lisse, ce qui laisse penser que les limiteurs agiront d’une manière moins efficace sur ces modes que sur les modes instables observés avec les reconstructions de degré un et deux. L’analyse de ce phénomène nécessite en tout cas une étude plus approfondie.

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Table des matières

Chapitre 1. Introduction 
1.1. Contexte et objectif 
1.2. Étude de la stabilité et précision du schéma MUSCL 
1.3. Étude de la montée en ordre du schéma 
1.4. Plan de l’étude 
Chapitre 2. Bilan bibliographique du schéma MUSCL 
2.1. Objectif du chapitre 
2.2. L’approche de Godounov 
2.3. L’approche de Van Leer 
2.4. Les schémas TVD 
2.5. Les schémas ENO 
2.6. Extension aux maillages non structurés 
2.7. Méthodes apparentées : DG, SVM, RD et GRP 
2.8. Positionnement de la présente étude 
Chapitre 3. Introduction à la simulation des grandes échelles des équations de Navier-Stokes compressibles 
3.1. Objectif du chapitre 
3.2. Introduction aux équations de Navier-Stokes compressibles 
3.3. Éléments de la simulation des grandes échelles 
Chapitre 4. La chaîne de calculs CEDRE 
4.1. Domaines d’application et modèles physiques 
4.2. Méthodes numériques 
4.3. Aspects logiciels 
Chapitre 5. Introduction à la géométrie des maillages non structurés 
5.1. Objectif du chapitre 
5.2. Notations mathématiques 
5.3. Notion de maillage non structuré général 
5.4. Définition des voisinages 
5.5. Notation géométrique allégée 
5.6. Propriétés du produit tensoriel symétrique 
5.7. Tenseurs géométriques en maillage non structuré 
5.8. Développement de Taylor des moyennes de cellule 
5.9. Identités géométriques en maillage non structuré 
5.10. Calcul avec des tenseurs symétriques 
5.11. Bilan du chapitre 
Chapitre 6. Discrétisation spatiale par la méthode des volumes finis
6.1. Objectif du chapitre 
6.2. Formulation générale de la méthode des volumes finis 
6.3. Amélioration de la précision des méthodes des volumes finis 
6.4. Bilan du chapitre 
Chapitre 7. Étude de la reconstruction locale en maillage non structuré
7.1. Objectif du chapitre 
7.2. Définition de reconstructions précises par une reproduction de polynômes 
7.3. Formulation explicite des conditions de consistance 
7.4. Interprétation de la consistance comme approximation des dérivées
7.5. Définition des reconstructions conservatives 
7.6. Formulation matricielle des conditions de consistance 
7.7. Minimisation de la norme de la reconstruction 
7.8. Interprétation algébrique des reconstructions consistantes 
7.9. Analyse de deux méthodes particulières pour la reconstruction linéaire par morceaux 
7.10. Étude numérique 
7.11. Bilan du chapitre 
Chapitre 8. Étude de méthodes de reconstruction compactes 
8.1. Objectif du chapitre 
8.2. Analyse de la méthode des moindres carrés couplés 
8.3. Analyse de la méthode des corrections successives 
8.4. Élargissement des voisinages de reconstruction par des méthodes itératives 
8.5. Étude numérique 
8.6. Bilan du chapitre 
Chapitre 9. Étude des intégrales de surface des flux 
9.1. Objectif du chapitre 
9.2. Intégration par des fonctions de base 
9.3. Intégration par formule de quadrature 
9.4. Bilan du chapitre 
Chapitre 10. Étude de la stabilité en maillage non structuré général
10.1. Objectif du chapitre 
10.2. Construction des schémas semi-discrets 
10.3. Notions de stabilité asymptotique 
10.4. Analyse de la stabilité du schéma d’ordre un 
10.5. Analyse de la stabilité du schéma d’ordre deux : le cadre général
10.6. Propriété minimisante de la méthode des moindres carrés 
10.7. Conclusions pratiques de l’étude théorique pour le schéma d’ordre deux 
10.8. Généralisation de l’étude aux schémas d’ordre trois et quatre 
10.9. Étude numérique 
10.10. Bilan du chapitre 
Chapitre 11. Caractérisation et évaluation des erreurs numériques en maillage non structuré général 
11.1. Objectif du chapitre 
11.2. Définition de l’équation modifiée d’un schéma MUSCL semi-discret
11.3. Étude numérique en dimension deux 
11.4. Bilan du chapitre 
Chapitre 12. Reconstruction monotone en maillage non structuré 
12.1. Objectif du chapitre 
12.2. Présentation d’un critère de monotonie : le principe du maximum
12.3. Interprétation géométrique du critère de monotonie 
12.4. Algorithmes approchés pour la limitation directionnelle 
12.5. Étude numérique 
12.6. Résumé des méthodes de limitation existantes dans CEDRE
12.7. Bilan du chapitre 
Chapitre 13. Simulation des grandes échelles d’un écoulement subsonique au-dessus d’une cavité profonde 
13.1. Objectif du chapitre 
13.2. Résumé de l’étude expérimentale 
13.3. Description des calculs 
13.4. Résultats de l’étude numérique 
13.5. Bilan du chapitre 
Chapitre 14. Simulation des grandes échelles d’un jet chaud supersonique 
14.1. Objectif du chapitre 
14.2. Résumé de l’étude expérimentale 
14.3. Description des calculs 
14.4. Résultats de l’étude numérique 
14.5. Bilan du chapitre 
Chapitre 15. Conclusion 
15.1. Synthèse 
15.2. Perspectives

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