Développer la posture d’élève-chercheur en résolution de problèmes au cycle 2

Ces dernières années, les enquêtes internationales PISA (Programme International pour le suivi des élèves) montrent une dégradation des résultats mathématiques des élèves français. Les évaluations nationales confirment ce constat et de nombreux rapports ministériels tentent de trouver des réponses pour y remédier (rapport Rocard 2007, rapport Villani 2018). Changer la façon d’enseigner les mathématiques est donc une question centrale qui interroge à la fois les professeurs des écoles, les chercheurs en didactique des mathématiques et les institutions responsables des préconisations.

La réforme des mathématiques modernes dans les années 70 a introduit l’idée de «faire« des mathématiques en classe, en favorisant la résolution de problèmes à côté de l’apprentissage d’automatismes. En mathématiques, un problème est défini comme « une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but » (Jean Brun ).Aujourd’hui, les problèmes sont utilisés à la fois pour contrôler les capacités des élèves à utiliser des outils mathématiques et à la fois comme objets d’apprentissage . Il s’agit en effet d’apprendre aux élèves à résoudre des problèmes en s’engageant dans une démarche de recherche, comme les mathématiciens. Du point de vue des élèves, les problèmes peuvent être classés en deux groupes : ceux qu’ils connaissent et savent traiter et ceux qui présentent un caractère inconnu et les amènent à prendre des risques.  Dès lors, il s’agit de leur enseigner à la fois des automatismes, des techniques opératoires et à la fois des attitudes de recherche et d’invention de procédures. Henri Poincaré (1854-1912), célèbre mathématicien, disait « C’est avec la logique que nous prouvons et avec l’intuition que nous trouvons ».

Plutôt que d’enseigner des méthodes, il s’agit donc d’enseigner l’invention de procédures. Dès les années 80, les problèmes « ouverts » font leur apparition dans les classes comme « problèmes pour chercher » .L’activité de « narration de recherche » s’est ensuite développée  . Une narration de recherche est l’analyse de la recherche, l’élève décrit précisément tous ses essais et toutes les pistes, même celles qui n’ont pas abouti.

Actuellement, l’activité de résolution de problèmes reste au cœur des programmes. Et si la variété des problèmes n’est pas restreinte dans ces derniers, l’accent est mis sur les compétences à développer. En effet, il est inscrit que « la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer ». Les problèmes « pour chercher » sont définis par les procédures de résolution : « on veillera à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher (..) nécessitant des recherches avec tâtonnements » .

Qu’est-ce que la résolution de problèmes ?

Les attentes institutionnelles pour les élèves lors de la résolution de problème

Apprendre à chercher: les enseignements de l’enquête PISA
L’enquête PISA est menée tous les 3 ans au sein de 34 pays de l’OCDE : l’objectif est de suivre les acquis des élèves. Suites aux enquêtes PISA et autres évaluations nationales, en 2007, Michel Rocard est chargé de rédiger un rapport pour la commission européenne au sujet des résultats en déclin des élèves français en mathématiques et sciences. Il constate la baisse des effectifs dans les filières scientifiques en France et plus globalement en Europe. Cette baisse reposerait sur la façon dont les sciences et les mathématiques sont enseignés. Les méthodes seraient trop déductives. Une des recommandations de ce rapport est donc le renouvellement des méthodes pédagogiques de l’enseignement des sciences dès le primaire. Ce renouvellement devrait s’appuyer sur la démarche d’investigation en sciences et la résolution de problèmes en mathématiques.

Quelques années plus tard, l’enquête PISA 2015 montre que les résultats des élèves français en résolution collaborative de problème sont moins élevés que ne le laisseraient penser leurs scores en mathématiques, sciences et compréhension de l’écrit . La résolution collaborative de problèmes évalue à la fois des compétences sociales et créatives. Un document officiel de l’enquête PISA précise les attendus pour répondre à ce type d’exercice « les élèves doivent se montrer ouverts, accepter le doute et l’incertitude et oser utiliser leur intuition pour amorcer une solution » . Ce résultat nous invite donc à développer l’enseignement à la fois de compétences pour travailler en groupe et des compétences pour se lancer dans la résolution de problèmes non-familiers : savoir explorer la situation du problème pour trouver des informations pertinentes, s’en servir pour construire une stratégie, planifier des tâches, adapter cette stratégie au cours de leur avancement dans la résolution . L’OCDE, suite aux résultats de l’enquête PISA, met en avant la capacité d’un individu à « s’engager dans un traitement cognitif en l’absence de méthode » pour résoudre un problème non-familier. Cela nous permet donc d’affiner notre recherche en résolution de problème pour chercher : il s’agit de comprendre quels sont les mécanismes cognitifs en jeu.

Les résultats de l’enquête PISA 2015 ont également pointé une corrélation étroite entre de faibles performances en mathématiques et un manque de confiance des élèves dans leur capacité à résoudre des problèmes. Or, on peut supposer que le niveau de confiance des élèves pourrait augmenter avec une pratique régulière de la résolution de problèmes.

Apprendre à chercher : la place de la résolution de problèmes dans les programmes
L’enseignement de la résolution de problème est déterminé par les exigences des programmes. Or l’évolution de la place de la résolution de problème dans ces programmes montre une évolution des problèmes d’application de la vie courante vers des problèmes développant les compétences de recherche. La réforme des mathématiques modernes dans les années 70 introduit de plus en plus de problèmes visant la compréhension des notions mathématiques et leurs relations, plutôt que des problèmes de la vie courante.

A partir des années 70, les chercheurs s’intéressent davantage au fonctionnement cognitif mis en jeu dans la résolution de problèmes. L’idée des programmes est alors d’enseigner sous forme de méthodes la représentation, le schéma ou la planification. La réforme de 1978 introduit une dimension méthodologique à la résolution de problèmes dans les programmes .

Il faut attendre les programmes de 2002 pour que la dimension méthodologique dans la résolution de problèmes disparaisse. L’objectif est différent, il s’agit de développer chez les élèves un comportement de chercheur en exploitant spécifiquement des problèmes. Les compétences visées sont  :
– s’engager dans une procédure personnelle et la mener à son terme
– rendre compte de la démarche oralement en s’appuyant sur sa feuille de recherche
– admettre qu’il existe d’autres procédures et essayer de les comprendre
– rédiger une réponse
– identifier les erreurs dans une solution .

Au cycle 2, les problèmes sont différenciés selon le mode de résolution : en utilisant une procédure experte ou une procédure personnelle .

En 2008, la place de la résolution de problèmes dans les programmes est moins claire.

Dans les derniers programmes de 2018 (et dans ceux de 2015), la résolution de problème est au cœur de l’activité mathématique des élèves développant des capacités à chercher, raisonner et communiquer. Il est intéressant de noter l’influence du rapport Rocard de 2007 sur ce changement dans les programmes. Les compétences nécessaires pour chercher sont détaillées par rapport à celles des programmes de 2002, il s’agit de :

– s’engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en émettant des hypothèses, si besoin avec l’accompagnement du professeur après un temps de recherche autonome
– tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou le professeur .

L’enseignant devrait donc baser sa progression sur l’acquisition de ces différentes capacités (engagement dans un problème, élaboration d’une stratégie, communication, argumentation). Par ailleurs, les programmes soulignent aussi la variété des problèmes enseignés suivant les objectifs d’apprentissage. En effet, différentes fonctions peuvent être associées à la résolution de problèmes : découverte de nouvelles connaissances, application ou réinvestissement de connaissances, et développement de capacité de recherche. Il s’agit alors, pour un enseignant, de déterminer les problèmes proposés aux élèves en fonction de l’objectif visé, suivant les connaissances et capacités des élèves. Un problème pourra être un problème de recherche pour des élèves de cycle 2 et un problème d’application ou de réinvestissement pour les élèves de cycle 3. Ainsi, pour Catherine Houdement les problèmes doivent être proposés selon une intention. Elle expose plusieurs types d’intentions, mathématiques ou sociales et décline plusieurs exemples.

– intentions mathématiques
o 1 : participer à l’apprentissage des savoirs
o 2 : mettre en relation des savoirs, des techniques
o 3 : construire une nouvelle procédure, une nouvelle stratégie, un nouveau raisonnement
o 4 : comprendre le fonctionnement mathématique
– intentions sociales : collaborer, s’organiser, s’écouter, présenter
– intentions sociales mathématiques : argumenter, prouver, distinguer la recherche de la réponse .

Je décide de mettre en lien ces intentions avec les compétences créatives identifiées dans l’enquête PISA 2015 pour construire mes séquences en résolution de problèmes. Par exemple, je propose un problème avec l’intention de développer chez les élèves la construction d’une nouvelle procédure en s’appuyant sur les capacités à explorer le problème et planifier une stratégie.

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Table des matières

1 Introduction
2 Qu’est-ce que la résolution de problèmes ?
2.1 Les attentes institutionnelles pour les élèves lors de la résolution de problème
2.1.1 Apprendre à chercher: les enseignements de l’enquête PISA
2.1.2 Apprendre à chercher : la place de la résolution de problèmes dans les programmes
2.1.3 Apprendre à chercher : comparaison avec la démarche d’investigation en sciences
2.2 Les attitudes et capacités des élèves en résolution de problèmes (les observations terrain des chercheurs)
2.2.1 Chercher c’est accepter l’incertitude et confronter ses idées
2.2.2 « Connaissances cachées « dans la résolution de problèmes
2.3 Les opérations mentales mises en jeu en résolution de problème
2.3.1 Se construire une représentation mentale du problème
2.3.2 Connaitre les relations entre les représentations et le processus d’opération
2.3.3 Comprendre les difficultés des élèves
2.4 Le rôle de l’enseignant dans la résolution de problèmes
2.4.1 Attitude de l’enseignant pendant la résolution de problèmes
2.4.2 Organisation du travail de la classe en résolution de problèmes
3 Objectifs et hypothèses de recherche
3.1 Objectif
3.2 Hypothèses
3.2.1 Changer le contrat didactique avec le problème ouvert et le rallye
3.2.2 Améliorer la compréhension des problèmes avec le brouillon
3.2.3 Développer la diversité des démarches avec le problème ouvert
4 Mise en place
4.1 Sélection des problèmes pour développer l’invention de nouvelles procédures
4.1.1 Caractéristiques des problèmes pour chercher
4.1.2 Critères de choix des problèmes ouverts
4.1.3 Choix du problème test
4.1.4 Choix des problèmes ouverts travaillés en classe
4.2 Des séances proposées selon des intentions précises
4.2.1 Des séances spécifiques pour travailler la représentation
4.2.2 Des séances spécifiques pour travailler l’acquisition de nouvelles procédures
4.2.3 Des séances pour travailler des intentions sociales : collaborer, présenter
4.2.4 Des évènements dans la classe : un rallye mathématique dans le contexte de la médaille Fields
5 Résultats
5.1 Amélioration de l’engagement et la persévérance des élèves dans la recherche
5.1.1 L’engouement des élèves lors de la deuxième manche du rallye
5.1.2 L’utilisation pertinente du brouillon pour se représenter l’histoire
5.2 Difficultés des élèves dans la phase de représentation
5.2.1 Difficultés à construire une représentation mentale
5.2.2 Difficultés à adapter sa démarche
5.3 Difficultés des élèves dans le processus d’opération
6 Discussions
6.1 Fréquence et organisation dans le temps des séances de résolution de problèmes
6.2 Liens avec la posture de chercheur dans d’autres disciplines
7 Conclusion

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