Développements combinatoires autour des tableaux et des nombres eulériens

Unimodalité et log-concavité de suites combinatoire

Une suite finie de nombres réels est unimodale si elle croît jusqu’à un maximum, appelé le mode, puis décroît. Elle est log concave si le carré de tout terme de la suite est inférieur au produit de ses deux termes adjacents. Il est facile de vérifier qu’une suite log-concave est unimodale [Wil]. Les suites log-concaves et unimodales apparaissent souvent en combinatoire, en algèbre, en informatique et aussi en probabilité et statistique où ces concepts ont été étudiés initialement. La définition de l’unimodalité d’une suite est simple et facile à comprendre, mais prouver qu’une suite est unimodale ou log-concave est une tâche difficile qui demande l’utilisation de constructions combinatoires complexes et d’outils mathématiques fins. On peut trouver un aperçu de plusieurs de ces techniques dans [Sta89, Bre89, Bal90]. Ce sont Tanny et Zuker [TZ74, TZ76, TZ78] qui ont étudié dans les année 70 l’unimodalité des suites se trouvant sur les diagonales du triangle de Pascal. Ils ont démontré que pour tout entier positif α et pour tout entier strictement positif n, la suite n−αkk06k6nα+1 est unimodale. C’était la première fois qu’on s’intéressait à l’unimodalité des suites associées aux triangles arithmétiques. Plusieurs autres papiers ont traité la question de l’unimodalité des suites associées au triangle de Pascal. En 2008, Belbachir et Szalay [BS08] ont prouvé que les suites se trouvant sur n’importe quelle direction finie dans le triangle de Pascal sont unimodales. En 2015, Belbachir et Tebtoub [BT15] ont également étudié la question concernant le triangle de Stirling de première et de deuxième espèce, et ont démontré que les suites associées à quelques directions finies dans ces triangles sont unimodales.

Tableaux de dominos décalés

Nous souhaitons à cours terme, prolonger notre étude sur les algorithmes L et H pour démontrer la conjecture 2.4.26 et développer un algorithme analogue au jeu de taquin pour les tableaux de dominos décalés afin de définir un produit directement sur ces objets. Dans [CL95], Carré et Leclerc ont prouvé que les coefficients de la règle de Littlewood-Richardson peuvent êtres décrit en termes de tableaux de dominos de Yamanouchi. Ils ont aussi démontré que à grâce une statistique appelée spin, les tableaux de dominos décalés interprètent certains pléthysmes de fonctions de Schur. Nous nous sommes posé ces questions dans le cas des tableaux de dominos décalés mais nous n’avons pas réussi jusque là à trouver une interprétation des coefficients de la règle de Littlewood-Richardson décalée en termes de tableaux de dominos décalés particuliers. Nous espérons qu’avec du recul et un nouvel angle d’attaque, on pourrait reconsidérer ces questions. Nous aimerions aussi étendre les tableaux de rubans [LLT97] qui sont une généralisation des tableaux de dominos, aux tableaux de rubans décalés, afin d’étudier leurs propriétés combinatoires et leurs liens avec les fonctions symétriques.

Polynômes eulériens avec succession d’ordre t

L’unimodalité des suites finies associées aux diagonales de plusieurs triangles arithmétiques a été étudiée ces dernières années, nous savons par exemple, que les suites finies se trouvant sur les diagonales du triangle de Pascal [TZ74, TZ76, TZ78, BS08], triangle eulérien, quelques diagonales du triangle de Stirling de deuxième espèce [BT15] sont unimodales. Nous souhaitons prolonger et approfondir nos recherches pour essayer de définir une méthode générique pour traiter ce type de questions concernant les triangles arithmétiques. Nous aimerions aussi trouver une fonction génératrice pour les polynômes eulériens avec succession d’ordre t. Nous voulons aussi définir des polynômes q-eulériens avec succession d’ordre t en considérant à la fois les statistiques inversion et descentes, indexe major et descentes, inversion et excédences ainsi qu’indexe major et exédences. Le fait d’avoir des séries génératrices pour les polynômes q-eulériens avec succession d’ordre t nous permettra peut être de relier ces polynômes aux fonctions symétriques ou quasi-symétriques comme c’est le cas dans la série de travaux [SW07, SW10, SSW11] de Shareshian et Wachs.

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Table des matières

Introduction
1 Préliminaires
1.1 Classes et objets combinatoires
1.1.1 Classes combinatoires
1.1.2 Mots et permutations
1.1.3 Chemins nord-est étiquetés de Gasharov
1.1.4 Partitions d’entiers
1.1.5 2-quotient et 2-cœur d’une partition
1.1.6 Compositions d’entiers
1.2 Fonctions symétriques et tableaux
1.2.1 Fonctions symétriques
1.2.2 Tableaux de Young
1.2.3 Tableaux de Young décalés
1.2.4 Tableaux de dominos
1.3 Unimodalité des lignes du triangle eulérien
1.3.1 Suites unimodales et log-concaves
1.3.2 Nombres et polynômes eulériens
1.3.3 Unimodalité des lignes du triangle eulérien
2 Tableaux de dominos décalés
2.1 Définitions
2.2 Bijection avec les paires de tableaux de Young décalés
2.3 Super monoïde plaxique décalé
2.4 Algorithmes d’insertion
3 Unimodalité dans le triangle eulérien
3.1 Combinatoire des suites associées aux différentes directions
3.1.1 Nombres eulériens avec succession d’ordre 2
3.1.2 Nombres eulériens avec succession d’ordre t + 1
3.2 Unimodalité des suites associées aux différentes directions
3.2.1 Unimodalité des suites de direction (1, 1)
3.2.2 Unimodalité des suites de direction (1, t)
3.2.3 Unimodalité des suites associées à toutes les directions finies
Conclusion et perspectives
Bibliographie