Développement en série pour les chaînes de Markov

Développement en série pour les chaînes de Markov

Conclusion générale

Dans ce memoire, nous avons applique pour la première fois la méthode du développement en série pour le système de files d’attente M/M/1/N. Nous avons aussi appliqué la méthode de stabilité forte au mˆeme système. Dans un premier temps, nous avons effectué une synthèse sur l’application de la méthode du développement en série aux chaînes de Markov `a espace d’états général [39], puis aux chaînes de Markov `a espace d’états fini [41], et enfin aux processus de Markov [40]. Le principe de la méthode du développement en série est d’écrire la distribution stationnaire du système perturbé sous forme d’une série qui dépend de la distribution stationnaire du système idéal, des matrices de transitions des systèmes idéal et perturbé, et de la matrice de déviation du système idéal. Dans ce travail, la chaîne de Markov considérée est une chaîne de Markov `a espace d’états fini. Le problème de l’existence de la matrice de déviation D ne se pose pas, son calcul a fait l’objet du travail de G. Koole [67]. La principale difficultée de la méthode du développement en série est la convergence de la série de la distribution stationnaire. En se basant sur les résultats de Kartashov [56], nous avons obtenu une estimation de la norme de la matrice de déviation kDkv. A partir ` de cette estimation, nous avons donné une condition suffisante pour la convergence de la série de la distribution stationnaire. En dernier lieu, nous avons illustré l’application des deux méthodes (développement en série et stabilité forte). Sur un exemple numérique, nous avons déterminé le domaine de stabilité et calculé la déviation de la distribution stationnaire dans le cadre de l’application de la méthode stabilité forte, et nous avons calculé la distribution stationnaire du système perturbé considéré, en appliquant la méthode du développement en série. Nous avons constaté que l’erreur calculée par la méthode du développement en série et plus 63 Conclusion générale petite que celle calculée par la méthode de stabilité forte, et qu’elle est négligeable pour les β appartenant au domaine de stabilité. La méthode du développement en série est une méthode récente et il serait intéressant de l’appliquer `a d’autre systèmes de files d’attente (par exemple, le système M/M/1/N après une perturbation de la duré de service), ou encore `a d’autre domaines (gestion de stock, modèle de risque), en se basant sur l’un des travaux [39, 41, 40].

Identification et représentation d’un système de files d’attente

Pour identifier un systeme d’attente, on a besoin des spécifications suivantes. • La nature stochastique du processus des arrivées qui est défini par la distribution des intervalles séparant deux arrivées consécutives. • La distribution du temps aléatoire de service • Le nombre C de stations de service qui sont montées en parallèle. On admet généralement que les temps de service correspondants suivent la mˆeme distribution. • La capacité N du système. Si N < +∞, la file d’attente ne peut pas dépasser une longueur de N-C. Dans ce cas, certains clients qui arrivent vers le système n’ont pas la possibilité d’y entrer Un systèmes de files d’attente est généralement représenté suivant la notation de Kendall qui est définie comme suit : A/S/C/(N/L/Ds) qui décrit une file d’attente par les facteurs suivants : A : Processus d’entrée (distribution de la durée entre deux arrivées consécutives) S : Processus de sortie (distribution de la durée de service) C : Nombre de serveurs N : Capacité maximale du système L : Population des usagers Ds : Discipline de service Les symboles utilisés pour décrire les processus d’entrée et de service sont : M : Loi exponentielle (processus de Markov) Ek : Loi Erlang-k D : Loi constante Hk : Loi hyper exponentielle d’ordre k 8 Théorie des files d’attente GI : Loi générale indépendante G : Loi générale 1.2.2 Discipline de service Une discipline de service est la règle déterminant l’ordre dans lequel les clients vont accéder au service. Les principales disciplines de service utilisées sont les suivantes : FIFO (First In First out) : Premier Arrivé, Premier Sorti LIFO (Last In First out) : Dernier Arrivé, Premier Sorti PS (Processes Sharing) : Procesus Partagé FIRO (First In Random Out) : Aléatoire Lorsque les trois derniers éléments de la notation de Kendall ne sont pas précisés, ils sont pris par défaut comme suit : Ds = FIFO , L = +∞, K

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Table des matières

Introduction générale
1 Théorie des files d’attente
1.1 Introduction et structure des systèmes de files d’attente
1.2 Identification et représentation d’un système de files d’attente
1.2.1 Notations usuelles des systèmes de files d’attente
1.2.2 Discipline de service
1.3 Analyse mathématique
1.4 Caractéristiques d’un système de files d’attente
1.5 Etude de quelques systèmes de files d’attente
1.5.1 Le système de files d’attente M/M/1
1.5.2 Le système de files d’attente M/M/1/N
1.5.3 Le système de files d’attente M/G/1
1.5.4 Le système de files d’attente M/G/1/N
1.5.5 Le système de files d’attente G/M/1
1.5.6 Le système de files d’attente G/M/1/N
1.6 Conclusion
2 Développement en série pour les chaînes de Markov
2.1 Développement en série pour les chaînes de Markov `a espace d’états général
2.1.1 Préliminaire et notations
2.1.2 MVD pour la distribution stationnaire
2.1.3 Le développement en série de Taylor
2.1.4 Exemple .
2.2 Développement en série pour les chaînes de Markov `a espace d’états fini
2.2.1 Préliminaire et notations
2.2.2 Ergodicité géométrique
2.2.3 La matrice de déviation
2.2.4 La représentation en série de ΠQ .
2.2.5 La convergence de la série
2.2.6 L’algorithme
2.3 Développement en série pour les Processus de Markov
2.3.1 Préliminaire et notations
2.3.2 Ergodicité géométrique . .
2.3.3 La représentation en série de Π∗
2.3.4 La convergence de la série .
2.3.5 L’algorithme
2.4 Conclusion .
3 Stabilité forte
3.1 Préliminaires et notations .
3.2 Ergodicité uniforme
3.3 Stabilité forte
3.4 Inégalités de stabilité forte
3.5 Stabilité forte et méthode du développement en série
3.6 Stabilité forte pour le système M/M/1 I
3.6.1 Déviation du noyau de transition
3.6.2 Inégalités de stabilité .
3.6.3 Algorithme d’approximation du système G/M/1
3.7 Conclusion
4 Développement en série et stabilité forte du système M/M/1/N
4.1 Préliminaire et position du problème .
4.2 Application de la méthode de stabilité forte .
4.2.1 Déviation du noyau de transition .
4.2.2 Inégalités de stabilité
4.3 Le développement en série de ΠQ
4.4 Application numérique .
4.4.1 Application de la méthode de stabilité forte .
4.4.2 Application de la méthode du développement en série
4.4.3 Modèle de simulation .
4.4.4 Comparaison des résultats
4.5 Conclusion
Conclusion générale
Bibliographie 65
Annexes
Annexes A
A.1. Processus stochastique .
A.2. Processus et chaînes de Markov
A.2.1 Processus markoviens .
A.2.2 Chaînes de Markov .
A.2.2 Chaînes de Markov discrètes .
Annexes B
B.1. Algorithme de la méthode de stabilité forte .
B.1.1. Algorithme principal
B.1.2. Les fonction appelées par l’algorithme principal
B.2. Algorithme de la méthode du développement en série
B.1.1. Algorithme principal
B.2.2. Les fonction appelées par l’algorithme principal