Développement asymptotique des sommes harmoniques

La recherche des relations entre ces nombres ou également la détermination de leurs développements asymptotiques sont des problèmes que mathématiciens et physiciens peuvent (et doivent) poursuivre. En effet, les polylogarithmes et les polyzêtas interviennent, de plus en plus aujourd’hui en combinatoire analytique [Reu93 ; Min07b ; Min98], en théorie quantique des champs [Dri89 ; Dri90 ; Le+96] et en théorie des nombres [Zag94]. Pour établir des identités non triviales entre ces fonctions, on pouvait compter sur les approches basées sur le calcul en haute performance sur les super calculateurs proposées par les physiciens comme D. Broadhurst menées avec l’équipe de très grande compétence et capacité au Centre for Experimental and Constructive Mathematics à Vancouver par J. Borwein (approche qui donne uniquement des quasi-certitudes) [Bor+97] et celles basées sur le calcul par les intégrales de contour proposées par P. Flajolet et B. Salvy à (approche exacte mais exigeant des choix convenables des noyaux d’intégration et donnant des relations entre les polyzêtas une par une) [Fla+98]. Notre approche préconisée sur ces objets est très différente et originale par rapport aux approches précédemment citées car elle cherche tout d’abord expliciter les structures algébriques (de Cauchy et de Hadamard) des polylogarithmes qui sont isomorphes aux algèbres de mélange et de quasi-mélange, pour spécialiser ensuite ces fonctions à des valeurs spéciales pour obtenir la double structure mélange des polyzêtas [Iha+06]. Elle est aussi puissamment efficace car elle se base sur les séries génératrices non commutatives de ces sommes et les bases algébriques en dualité en algèbres de Hopf combinatoires pour obtenir des algorithmes performants et insolites établissant des équations fonctionnelles [G92], calculant la monodromie [Min+00b], développant les comportements asymptotiques des polylogarithmes [Min+99]. De même, il est proposé une méthode pour extraire des contre-termes des sommes et des intégrales divergentes [Min13a ; Min13b]. De là, il est établit que la renormalisation des polyzêtas divergentes peut être obtenue d’une part, par la prise des termes constants des développements asymptotiques dans diverses échelles de comparaison, et d’autre part, par l’action du groupe de Galois différentiel des polylogarithmes sur ces développements asymptotiques [Min+00b ; Min+99]. Cette même action permet également de caractériser le groupe des éléments renormalisant des séries de Chen le long des chemins d’intégration pris dans le plan complexe, doublement fendu aux singularités des polylogarithmes.

En ce qui concerne leurs relations, les polylogarithmes, sommes harmoniques et polyzêtas sont toujours les objets de plusieurs travaux de recherche en théorie des nombres et ils apparaissent dans de nombreux problèmes d’analyse combinatoire. La méthode que nous utilisons dans cette thèse est essentiellement combinatoire. Elle utilise les représentations par factorisation des séries génératrices de ces nombres indexées grâce à une structure algébrique construite à partir des mots [Cos+05a ; Min+00c]. La factorisation de Mélançon-Reutenauer-Schützenberger (dit factorisation MRS) a été introduite dans les articles [Sch59 ; Reu93]. Elle joue un rôle central dans la renormalisation des associateurs [Rac00 ; Min13a ; Min13b]. On factorise des séries formelles en variables noncommutatives [Ber+88] dont les coefficients forment des polynômes (indexés par des multi-indices d’entiers positifs) des fonctions zêta de Riemann [Le+96 ; Zag94]. Ces coefficients vérifient des relations quadratiques [Car02] obtenues grâce aux mots de Lyndon [Ber+85 ; Che+58 ; Lot83 ; Rad79]. De cette façon, on a obtenu des relations entre polylogarithmes et, par conséquent, leur structure et leurs développements asymptotiques [Min+99]. Suivant ces représentations, on peut déduire des développements asymptotiques des sommes harmoniques [Cos08].

D’autre part, on obtient une équation que nous appellerons ici “équation du pont” parce qu’elle est un point de passage entre les groupes de Hausdorff du shuffle et du stuffle. Cette équation permet de relier les algèbres de Cauchy et de Hadamard des fonctions polynomiales qui est principalement une conséquence de l’isomorphisme entre les structures algébriques de mélange et de quasi-mélange [Min03 ; Min04 ; Min96 ; Min+00c ; Min+00b ; Cos08]. Ces deux structures admettent les mots de Lyndon comme base de transcendance pure [Rad79].

En représentant les polyzêtas par leurs séries génératrices, on obtient des points d’un groupe de Lie de dimension infinie (groupe de Hausdorff) sur lequel nous pouvons identifier certains systèmes de coordonnées locales [Min13a ; Min13b] et trouver des relations entre polyzêtas indexées à des bases de transcendance d’algèbres de mélange et de quasi-mélange . Après cela, en utilisant les structures algébriques des polyzêtas et le théorème Wei-Norman (adapté au groupe de Hausdorff et factorisation MRS [Mel+89 ; Sch65]) nous obtenons des représentations dans des systèmes de coordonnées locales. Des formules explicites de relations entre polyzêtas et des algorithmes [Bui+15b ; Bui+15a ; Bui+16a] . Le résultat de l’identification, une fois encore, confirme jusqu’à un certain ordre la conjecture des dimensions de Zagier.

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Table des matières

Introduction
1 L’algèbre de Hopf de quasi mélange q-déformée
1.1. Combinatoire des mots
1.1.1. Mot, polynôme, série
1.1.2. Algèbre de produit mélange
1.2. Algèbre de quasi mélange q-déformée
1.3. Bases en dualité dans K⟨Y ⟩
1.3.1. Propriétés des séries primitives
1.3.2. Base(s) du module (libre) des éléments primitifs et de l’algèbre enveloppante
1.3.3. Construction d’une formule pour la base duale
1.3.4. Représentations des polynômes sur les bases
2 Développement asymptotique des sommes harmoniques
2.1. Quelques concepts fondamentaux
2.1.1. Définition des séries génératrices
2.1.2. Formule d’Euler-Maclaurin
2.2. Somme harmonique
2.2.1. Fonctions symétriques
2.2.2. Somme harmonique multiple
2.3. Développement asymptotique des polylogarithmes
2.3.1. Définition des polylogarithmes
2.3.2. Structure des polylogarithmes
2.4. Développement asymptotique des sommes harmoniques
2.4.1. En suivant la série génératrice
2.4.2. En suivant la formule d’Euler-MacLaurin
Conclusion