Détermination de la condition mixte à l’aide des schémas aux différences finies

DÉVELOPPEMENT DE LA CONDITION AUX LIMITES

Nous avons vu dans la partie précédente que l’un des problèmes liés à l’utilisation du code Incompact3d pour simuler l’écoulement d’une bulle de décollement est le fait que l’on ne peut pas séparer le type de conditions aux limites employées sur une même frontière. En effet pour pouvoir reproduire le travail de Na & Moin (1998) il faut imposer, à la paroi supérieure, à la fois une condition de Dirichlet sur la vitesse verticale et une condition de Neumann sur la dérivée de la vitesse longitudinale. Or Incompact3d ne permet pas de séparer le type de conditions aux limites sur la même frontière. Ainsi on ne peut pas utiliser directement la condition aux limites proposée par Na & Moin (1998). Par conséquent, il a fallu trouver une formulation équivalente à celle de Na & Moin (1998), qui est pour rappel un profil d’aspiration-soufflage pour la vitesse verticale, couplé à une condition sur la dérivée de la vitesse longitudinale qui permet d’obtenir un écoulement irrotationnel, mais compatible avec Incompact3d.

C’est-à-dire transformer la condition de type Neumann sur la dérivée de la vitesse longitudinale en une condition de type Dirichlet sur la valeur de la vitesse longitudinale, tout en conservant la condition de Dirichlet sous la forme d’un polynôme sur la vitesse verticale. Nous allons voir dans cette partie que nous avons utilisé une formulation potentielle de l’écoulement sur la paroi supérieure pour obtenir une condition aux limites incompressible et irrotationnelle. Elle permet une implémentation rapide de la solution dans le code au dépend d’une recherche analytique de la solution potentielle. Puis, nous verrons aussi que nous avons essayé une deuxième approche. Celle-ci se base sur une condition mixte c’est-à-dire que l’on transforme la condition de Neumann en une condition de Dirichlet pour pouvoir respecter la contrainte imposée par Incompact3d. Cette solution semble plus naturelle quand on étudie la physique de l’écoulement, mais impose plus de modifications dans le code lors de son implémentation.

Utilisation du concept d’écoulement potentiel pour définir le champ de vitesse à la paroi : condition de Dirichlet Un écoulement potentiel est une forme d’écoulement dont les équations le caractérisant sont relativement simples à résoudre. Il existe une solution analytique pour la plupart de ces écoulements. Ainsi si l’on peut démontrer qu’un écoulement potentiel peut être équivalent à l’écoulement de la bulle de décollement dans sa partie supérieure, on pourra alors obtenir le champ de vitesse analytique à la paroi supérieure de notre domaine et ainsi notre condition aux limites. Pour déterminer le champ de vitesse d’un écoulement potentiel, nous devons d’abord en déduire le potentiel de vitesse dont il découle. En effet, on dit d’un écoulement qu’il est potentiel lorsqu’il existe un champ scalaire φ dont le gradient est le champ de vitesse de l’écoulement qui vérifie que u = ∇φ. (2.1) De plus, l’analyse vectorielle permet de montrer que le rotationnel d’un gradient est une fonction nulle. Or, la vorticité d’un écoulement est donnée par le rotationnel de son champ de vitesse. Par conséquent un écoulement potentiel est toujours à vorticité nulle. Il s’agit ici de la caractéristique principale qui nous intéresse, car on souhaite une condition aux limites à vorticité nulle. De plus dans notre cas l’écoulement est incompressible, c’est-à-dire ∇·u = 0. (2.2) Ainsi, si l’on injecte l’équation (2.2) dans l’équation (2.1), alors on remarque que notre potentiel des vitesses φ doit être une solution de l’équation de Laplace ∇2φ = ∂ 2φ(x, y) ∂ x2 + ∂ 2φ(x, y) ∂ y2 = 0. (2.3) Cette équation est une équation différentielle à dérivées partielles linéaires facilement solvables par différentes techniques. Zhang (2012) a montré, que résoudre cette équation par la méthode de séparation des variables, pour simuler l’écoulement supérieur de la bulle était faisable. Cependant la solution obtenue étant une solution à base d’exponentielles complexes qui posait un problème. En effet, les exponentielles complexes permettent de faciliter le calcul des écoulements potentiels, mais on doit lors de simulations numériques les approcher par d’autres fonctions. Ceci s’est traduit dans le cas du travail de Zhang (2012) par la persistance d’une fine couche de vorticité sur la paroi supérieure.

Ainsi nous avons utilisé une autre méthode pour déterminer le potentiel de vitesse dans le cadre de cette étude en nous basant sur des polynômes pour obtenir un champ de vitesse polynomial que l’on peut directement utiliser dans notre simulation numérique sans approximation. Par conséquent, nous pouvons définir le problème global que l’on souhaite résoudre de la manière suivante (la figure 2.1 servira de référence dans la suite de cette explication). Tout d’abord, on se place dans un domaine de dimension quelconque ( le rectangle noir), ce domaine sera le domaine dans lequel est défini notre écoulement potentiel. À l’intérieur de ce domaine quelconque est inclus notre domaine de simulation, le rectangle bleu, dont les dimensions sont celles utilisées dans Incompact3d. On définit les valeurs ycl et y1 comme étant la hauteur de la paroi supérieure et inférieure respectivement de notre domaine de simulation. De même, on définit par xI , le début de notre domaine de simulation et par xI +Lx la longueur totale de notre domaine de simulation. Ainsi, le problème revient à déterminer un champ potentiel tel que le profil de vitesse en y = ycl corresponde à l’écoulement que l’on souhaite obtenir sur la paroi supérieure de notre simulation.

Comme on souhaite utiliser un polynôme pour exprimer le potentiel de vitesse, il faut en déterminer son ordre. Or l’équation (2.1) montre que la vitesse verticale est la dérivée selon la direction verticale du potentiel de vitesse. Par conséquent, on peut déduire l’ordre du polynôme du potentiel de vitesse à partir de l’ordre du polynôme que l’on souhaite pour la vitesse verticale de notre condition aux limites, c’est-à-dire v(x, ycl) =Vtop(x), où Vtop est un polynôme de degrés 6 dont la forme est donnée par la figure 2.2 et les coefficients se trouvent dans l’annexe I qui contient aussi le développement mathématique complet de la solution. Cette forme de polynôme permet de respecter les contraintes suivantes. Une valeur nulle de la vitesse verticale à l’entrée, x = 0, et à la sortie, x = La. Une valeur maximale d’aspiration et de soufflage, Vmax, en x = La 4 et en x = 3La 4 , ainsi qu’une dérivée nulle en ces mêmes points, et un débit aspiré égale au débit soufflé pour satisfaire la conservation du débit global de l’écoulement. La traduction mathématique de ces conditions se trouve dans l’annexe I, et l’équation générale de ce polynôme est Vtop(xi) = a+bxi+cx2 i +dx3 i +ex4 i + f x5 i +gx6 i . (2.4) On en déduit que v(x, y) est un polynôme à double variable d’ordre 6. Soit P(x, y) ce polynôme, alors on a en utilisant l’équation (2.3)

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Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE 1 INTRODUCTION AU PROBLÈME ÉTUDIÉ
1.1 La bulle de décollement
1.2 La simulation numérique directe et Incompact3D
1.3 Objectifs du mémoire
CHAPITRE 2 DÉVELOPPEMENT DE LA CONDITION AUX LIMITES
2.1 Utilisation du concept d’écoulement potentiel pour définir le champ de
vitesse à la paroi : condition de Dirichlet
2.2 Détermination de la condition mixte à l’aide des schémas aux différences finies
CHAPITRE 3 TEST DES CONDITIONS AUX LIMITES ET DU CODE INCOMPACT3D
3.1 Calcul d’une couche limite laminaire
3.1.1 Couche limite laminaire
3.1.2 Couche limite sans gradient de pression
3.2 Bulle de décollement obtenue à l’aide de la condition aux limites dérivée d’un écoulement potentiel
3.3 Bulle de décollement obtenue à l’aide de la condition aux limites liée au schéma d’Incompact3d
CHAPITRE 4 ÉTUDE DE LA BULLE DE DÉCOLLEMENT
4.1 Champ moyen et profil de vitesse de la bulle de décollement
4.2 Étude de la bulle de décollement
4.3 Étude des effets instationnaires de la bulle de décollement ainsi que de la distribution de pression de celle-ci
CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS
5.1 Conclusion
5.2 Recommandation pour travaux futurs
ANNEXE I DÉVELOPPEMENT MATHÉMATIQUE DE LA CONDITION
POTENTIELLE
ANNEXE II COEFFICIENTS DU SCHÉMA COMPACT D’ORDRE 6 ET
MODIFICATION DU CODE INCOMPACT3D POUR LE
CALCUL DE LA CONDITION AUX LIMITES DE LA PARTIE
2.2BIBLIOGRAPHIE