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Description sommaire des méthodes moindres carrés pour les EDPs
Les méthodes des éléments finis moindres carrés [10]−[35]−[39] appartiennent à une classe des méthodes numériques hybrides qui combinent des propriétés issues de deux types de méthodes classiques : les méthodes des éléments finis et les méthodes moindres carrés. Un type de ces méthodes est la méthode d’éléments finis collocaux qui s’appuie sur une approximation pseudo-spectrale dont les points de collocation sont définis sur tout le domaine. Dans ce chapitre, nous présentons quelques résultats sur la méthode des moindres carrés avant d’aborder les aspects théoriques des méthodes d’éléments finis moindres carrés et ceux des méthodes collocaux moindres carrés.
Le problème modèle abstrait
Soit Ω un domaine borné de Rn , (n = 2 ou 3), de bord Γ. Soient X et Y deux espaces de Hilbert de fonctions réelles définies sur Ω et Z un espace de Hilbert de fonctions réelles définies sur Γ ⊆ ∂Ω. On considère le problème
Lu = f sur Ω et Ru = g sur Γ, (1.1)
où L : X → Y est un opérateur différentiel linéaire, R : X → Z un opérateur de bord, f ∈ Y et g ∈ Z. On a :
Théorème 1.1 [7] Pour tout w ∈ Y, il existe un unique v ∈ X tel que
Lv = w
Rv = 0
De même, pour tout gΓ ∈ Z, il existe un unique v ∈ X tel que
Lv = 0
Rv = gΓ
Formulation en éléments finis moindres carrés
Les méthodes d’éléments finis moindres carrés reposent sur une minimisation de fonctionnelles. Pour un problème donné, deux types de formulation sont possibles. La première consiste à définir l’opérateur moindres carrés par le calcul des résidus du système continu puis à discrétiser le problème de minimisation correspondant. La seconde consiste à construire un opérateur basé sur le calcul des résidus du système discret et à le minimiser. Dans la suite, nous expliciterons les deux formulations.
Quelques considérations plus générales
Considérons la version non linéaire de (1.1)
Lu + Gu = f sur Ω et Ru = g sur Γ (1.26)
où Gu est le terme non linéaire. Formellement, le principe moindres carrés de (1.1) peut s’appliquer au problème (1.26). La fonctionnelle moindres carrés devient ainsi :
J(u; f, g) = ||Lu + Gu − f||2 Y + ||Ru − g||2 Z . (1.27)
La méthode des éléments finis moindres carrés du problème (1.26) consiste à résoudre le problème
J(u∗ ; f, g) = min u∈Xh J(u; f, g). (1.28)
La formulation (1.28) est simple mais son analyse demeure un problème ouvert. Une analyse des MEFMC pour les problèmes non linéaires est faite dans [8] et [11] notamment avec les problèmes de Navier-Stokes. Soit X et Y des espaces de Banach et soit Λ ∈ R un ensemble fermé. Nous considérons le problème non linéaire abstrait avec la structure canonique suivante : pour λ ∈ Λ, trouver u ∈ X tel que
F(λ, u) ≡ u + T ◦ G(λ, u) = 0, (1.29)
où T ∈ L(Y, X) est indépendant de λ et G : Λ × X 7→ Y une application de classe C2. L’ensemble {(λ, u(λ)), λ ∈ Λ; u(λ ∈ X} est appelé une branche de solutions de (1.29) si F(λ, u(λ)) = 0 pour λ ∈ Λ et λ → u(λ). Si, en somme la dérivée de Frechet de F par rapport à u est un isomorphisme de X pour tout λ ∈ Λ, alors la branche {(λ, u(λ)), λ ∈ Λ; u(λ) ∈ X} est appelée non singulière ou régulière. En vue de la structure canonique de (1.29), les approximations de ce problème peuvent être obtenues de la manière suivante : nous choisissons un sous espace Xh ⊂ X de dimension finie. On définit le problème non linéaire discret en remplacant T par un opérateur linéaire Th ∈ L(Y, Xh ) qui approche T et qui est indépendant de λ pour obtenir le problème discret
Fh (λ, uh) ≡ uh + Th◦ G(λ, uh) = 0. (1.30)
Les estimations de l’erreur en approchant u par uh sont obtenues sous les hypothèses suivantes. – On suppose d’abord qu’il existe un espace de Banach V continuement inclus dans Y tel que
DuG(λ, u) ∈ L(X, Y ) ∀λ ∈ Λ et u ∈ X (1.31) .
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Table des matières
INTRODUCTION
1 Description sommaire des méthodes moindres carrés pour les EDPs
1.1 Le problème modèle abstrait
1.2 Résultats sur la méthode des moindres carrés
1.2.1 Cas linéaire
1.2.2 Cas non linéaire
1.3 Formulation en éléments finis moindres carrés
1.3.1 Formulation directe
1.3.2 Formulation indirecte
1.4 Méthodes de collocation moindres carrés
1.4.1 Principe de la méthode
1.5 Quelques considérations plus générales
1.6 Conclusion
2 Différentiation pseudo-spectrale sur des domaines tensoriels et application aux EDPs : Etat de l’art
2.1 Brève présentation des polynômes orthogonaux
2.1.1 Relation de récurrence
2.1.2 Polynômes de Jacobi
2.1.3 Polynômes de Legendre
2.1.4 Polynômes de Chebyshev
2.2 Principe de différentiation pseudo-spectrale
2.3 Matrice de différentiation de Chebyshev
2.3.1 Calcul de la matrice de différentiation de Chebyshev pour N = 1, 2
2.3.2 Détermination des éléments de la matrice de Chebyshev
2.3.3 Passage de la différentiation de Chebyshev de l’intervalle à un intervalle
2.4 A propos de l’ordre de convergence de la différentiation pseudo-spectrale
2.5 Différentiation pseudo-spectrale sur un domaine tensoriel
2.5.1 Notions de produit tensoriel
2.5.2 Différentiation sur une grille tensorielle 2D
2.6 Tests numériques
2.7 Quelques problèmes ouverts dans l’application des méthodes de collocation
3 Approche globale de différentiation pseudo-spectrale d’ordre supérieur sur des domaines à contours irréguliers
3.1 Interpolation et points de Fekete
3.2 Approximation pseudo-spectrale et matrice de Vandermonde
3.3 Matrice de différentiation d’ordre supérieur sur un domaine non tensoriel
3.4 Tests numériques
3.5 Conclusion
4 Approche hybride par des schémas moindres carrés collocaux de quelques EDPs non linéaires
4.1 Le problème modèle
4.2 Semi discrétisation du système
4.3 Existence et unicité du schéma semi-discret
4.4 Discrétisation temporelle
4.5 Schéma moindres carrés
4.6 Conclusion
5 Expérimentations numériques
5.1 Un problème de réaction diffusion
5.1.1 Présentation du problème
5.1.2 Le schéma d’approximation
5.1.3 Présentation des résultats d’expérimentation numérique
5.1.4 Remarques et discussion
5.2 Un modèle de convection réaction diffusion
5.2.1 Description du schéma
5.2.2 Résultats numériques
5.3 Remarques et discussion
5.4 Conclusion
CONCLUSION
