Des équations de contrainte en gravité modifiée

Dès 1905, la théorie de la Relativité Restreinte (RR) apporta avec elle une idée profondément originale : faire du temps une dimension commensurable à l’espace. Auparavant, vers 1865, les lois de Maxwell avaient fait de la lumière une onde se propageant dans l’éther à une vitesse constante c. La mécanique de Newton prédisait que lors d’un changement de référentiel inertiel, cette vitesse se transformait sous l’action du groupe de Galilée ; elle était donc variable. Cependant, les expériences de Michelson et Morley échouèrent à mettre en évidence cette variabilité. Au contraire, la vitesse de la lumière semblait constante quel que fût le référentiel dans lequel elle était observée. Afin de résoudre cette incompatibilité, la solution la plus simple était de modifier les lois de Maxwell, plus récentes et moins éprouvées que celles de Newton ; c’est ce que firent par exemple Lorentz et Poincaré. Le saut conceptuel opéré par Einstein consista à faire l’inverse : conserver Maxwell et modifier Newton. Donner à c un caractère absolu, et en priver du même coup le temps et l’espace qui devenaient interchangeables. Une équation physique correcte ne devait donc plus faire apparaître explicitement de coordonnées spatiales ou temporelles, mais être invariante sous les changements de référentiel spatio temporel inertiels. Ces transformations linéaires forment le groupe de Lorentz, qui joue ainsi pour la RR le rôle du groupe de Galilée pour la mécanique de Newton.

Les théories f(Lovelock) 

Deux raisons suggèrent cette généralisation. La première est géométrique , les produits de Lovelock ont par le théorème de GaussBonnet-Chern un étonnant écho en géométrie, et méritent donc d’être étudiés pour euxmêmes.

La deuxième raison provient de la physique. Même pour n+ 1 = 4, bien que le terme de Gauss-Bonnet soit l’intégrand d’un invariant topologique, ce n’est plus le cas lorsqu’il est couplé avec un champ scalaire : l’application d’une approche tenseur scalaire à la BransDicke aux théories de Gauss-Bonnet donne des résultats physiquement différents (cf. [93]).

De ce fait, les termes de courbure de degré supérieur ainsi que les degrés de liberté supplémentaires venant des champs scalaires d’une théorie de Lovelock-tenseur scalaire donnent d’intéressants résultats lorsqu’elle est prise comme modèle réduit dans le contexte de l’holographie de la théorie conforme des champs, ou conformal field theory (CFT) (cf. [9]). Ceci donne l’idée de généraliser encore davantage les théories de Lovelock, en appliquant la même procédure que pour construire les théories f(R) à partir de la RG : en écrivant les produits de Lovelock comme arguments d’une fonction arbitraire f. La famille de théories obtenue s’appelle f(Lovelock). En réalité, elles sont un cas particulier de ce qui peut être nommé les théories de Lovelock-tenseur-scalaire, de même que les f(R) sont un cas particulier des STT. En effet, comme nous le verrons dans la suite, une transformée de Legendre peut rendre les f(Lovelock) équivalentes au couplage, dans l’action, de chaque produit de Lovelock avec un champ scalaire.

En faisant ainsi, nous gagnons d’un côté en généralité, mais y perdons d’un autre : les équations de champ des théories f(Lovelock) vérifient (i) et (ii), mais sont du quatrième ordre en les dérivées de g. En effet, la remarquable propriété des Rp – être du second ordre en les dérivées de g et avoir une dérivée totale du second ordre – est perdue lorsqu’ils sont couplés à des champs scalaires. La densité lagrangienne obtenue est d’ordre 2 en g, donc sa dérivée totale est d’ordre 4. De même pour les équations de champ qu’elle engendre ; et nous avons déjà expliqué plus haut en quoi des équations de champ du second ordre sont intéressantes. Le tenseur le plus général qui soit concomitant de (g, ∂g, ∂2 g), de champs scalaires et de leurs dérivées (φ, ∂φ, ∂2φ, . . .) est décrit par les théories de Horndeski (cf. l’article fondateur [37]). Elles sont plus complexes et contiennent davantage de termes de couplage entre la courbure et le champ scalaire. Si l’on lève la limite sur l’ordre des dérivées de g, tout en continuant à se prémunir contre l’instabilité d’Ostrograski, on peut trouver une famille plus large encore de théories, appelées beyond Horndeski. L’article [49] présente par exemple une méthode de construction et une classification de certaines de ces théories.

Le problème de Cauch

Comme pour la Relativité Générale (RG), le problème d’évolution des théories f(Lovelock) se divise en deux parties. La détermination d’une donnée initiale, c’est-à dire la résolution des équations de contrainte (4.7, 4.8); puis la propagation de cette donnée initiale selon les équations dynamiques (4.9), c’est-à-dire l’étude du problème de Cauchy. Commençons par quelques mots sur ce problème

Le problème de Cauchy pour les théories de Loveloc

Comme nous l’avons dit au début de ce chapitre, le premier article consacré à la formulation hamiltonienne des théories de Lovelock est écrit en 1987 par C. Teitelboim et J. Zanelli [87]. Mais il n’indique pas si le problème de Cauchy est bien posé ou non. Sur ce point, le travail originel date de 1988, par Y. Choquet-Bruhat [15] (repris en [16], aux pages 692-693). Le théorème de Cauchy-Kowalewski y est utilisé pour montrer que le problème de Cauchy est bien posé pour des données analytiques suffisamment petites, à lapse et shift arbitrairement donnés. Une différence de taille apparaît toutefois par rapport à la RG, en ce qui concerne les surfaces caractéristiques : ce sont des cônes, mais pas de genre lumière, contrairement à ceux de la RG. Ainsi, la gravité peut se propager plus vite ou plus lentement que la lumière .

Dans [22], N. Deruelle et L. Fariña-Busto ont montré que les modèles cosmologiques de gravité de Lovelock peuvent présenter des comportements problématiques, comme un univers provenant de nulle part ou disparaissant en un temps fini sans explosion de la courbure. Ces résultats ont été rassemblés sous un point de vue plus général en [23]. Il y est établi que la quasi-linéarité en ∂ 2 g des équations dynamiques est à l’origine de la pathologie.

Les recherches actuelles sont consacrées, d’une part, à l’hyperbolicité globale des théories de Lovelock. H. S. Reall, N. Tanahashi et B. Way ont étudié dans le détail la nature des hypersurfaces caractéristiques ; ils prouvent dans [76] que chaque horizon de Killing est caractéristique, et se prononcent sur l’hyperbolicité de certains cas de théorie de Lovelock. Dans [77], ils établissent que l’équation de transport le long des hypersurfaces caractéristiques est non linéaire, contrairement à celle de la RG, et que cette non linéarité peut former des chocs. Enfin, la question de la stabilité non linéaire de l’espace-temps de Minkowski semble trouver une réponse positive, mais ceci n’est pas encore prouvé. D’autre part, S. Willison exprime dans [94] et [95] une reformulation quasi-linéaire des théories de Lovelock pour étudier le caractère localement bien posé du problème de Cauchy par rapport à des métriques de trous noirs.

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Table des matières

Introduction
Contenu de la thèse
1 Le formalisme n + 1 de la Relativité Générale
1.1 Les équations de champ de la Relativité Générale
1.1.1 Notations
1.1.2 Action d’Einstein-Hilbert
1.1.3 Matière et énergie
1.1.4 Champ scalaire
1.1.5 Constante cosmologique
1.2 Décomposition n + 1 de la Relativité Générale
1.2.1 Notations
1.2.2 Formalisme AD
1.3 Le problème de Cauchy
1.3.1 Problème bien posé
1.3.2 Problème bien formulé
1.3.3 Dynamique de γij et Kij
1.4 Résolution des équations de contrainte
1.4.1 Formulaire et notations
1.4.2 Méthode conforme dans le vide
1.4.3 Méthode conforme avec matière
1.4.4 Méthode conforme avec un champ de matière scalaire
2 Le formalisme n + 1 des théories f(R), Brans-Dicke, tenseur-scalaire
2.1 Introduction
2.1.1 Les théories f(R)
2.1.2 Transformée de Legendre et champ scalaire
2.1.3 Théories de Brans-Dicke et tenseur-scalaire
2.2 Les équations de champ des théories tenseur-scalaire
2.3 Décomposition n + 1 des théories tenseur-scalaire
2.3.1 Décomposition du tenseur effectif
2.3.2 Formalisme ADM des théories tenseur-scalaire
2.4 Le problème de Cauchy
2.4.1 Équations d’évolution
2.4.2 Problème bien formulé
2.4.3 Problème bien posé
2.5 Résolution des équations de contrainte
2.5.1 Recherche des facteurs conformes
2.5.2 Application de la méthode conforme
2.5.3 Repères d’Einstein et de Jordan
3 Les théories de Lovelock et f(Lovelock)
3.1 Introduction
3.1.1 Notations
3.1.2 Les théorèmes de Lovelock
3.1.3 Le théorème de Gauss-Bonnet-Chern
3.1.4 Les théories de Lovelock
3.2 Sur la forme développée des produits de Lovelock
3.2.1 Diagrammes de Young
3.2.2 Pléthysmes du tenseur de Riemann
3.2.3 Ce que l’on sait et ce qui reste à découvrir
3.3 Les équations de champ des théories f(Lovelock)
3.3.1 Les théories f(Lovelock)
3.3.2 Notations
3.3.3 Dérivation des équations de champ
4 Le formalisme n + 1 des théories f(Lovelock)
4.1 Décomposition n + 1 des théories f(Lovelock)
4.1.1 Notations
4.1.2 Formalisme n + 1 des théories f(Lovelock)
4.1.3 Applications
4.2 Décomposition n + 1 des théories f(Lovelock) : calculs
4.2.1 Contrainte hamiltonienne
4.2.2 Contraintes de moment
4.2.3 Équations dynamiques
4.3 Le problème de Cauchy
4.3.1 Le problème de Cauchy pour les théories de Lovelock
4.3.2 Le problème de Cauchy pour les théories f(Lovelock)
4.4 Résolution des équations de contrainte
4.4.1 L’échec de la méthode conforme
4.4.2 Notations et hypothèses
4.4.3 Interprétation physique des coefficients
4.4.4 Vers un nouveau problème de σk-Yamabe
4.4.5 À la recherche de concavité
Conclusion

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