Soutenance mémoire
Définition des Semi-conducteurs III V
DESCRIPTION DE LA METHODE DECALCUL
Problématique
L’étude à l’échelle atomique des propriétés structurales, électroniques et optiques d’un cristal périodique est un des sujets traditionnels de la physique de l’état solide [36]. Plusieurs modèles théoriques ont été proposés dans le but d’interpréter des mesures expérimentales et récemment, de prédire de nouveaux effets ainsi que de concevoir de nouveaux matériaux. D’un point de vue microscopique le problème peut être établi d’une manière simple. Ceci consiste à résoudre l’équation de Schrödinger décrivant un système cristallin périodique, composé de noyaux atomiques (n) en interaction mutuelle et d’électrons de spin positionnés à et à respectivement. (2.1)
où dans le cas simple, l’Hamiltonien se compose de cinq termes : l’énergie cinétique des noyaux et celle des électrons, ainsi que les différentes interactions entre eux. (2.2) La solution d’un tel problème ainsi que son éventuelle représentation analytique s’annonce une tâche difficile compte tenu de la mémoire limitée des outils informatiques. Cependant, il est possible de reformuler le problème en employant les théorèmes et les approximations adaptés.
Résolution de l’équation aux valeurs propres
Approximation adiabatique
Les problèmes auxquels nous nous intéressons ici ne font pas intervenir les degrés de liberté internes des noyaux. En outre, ces derniers s’étendent sur une échelle plusieurs ordres de grandeurs plus petites que celle des électrons et concentrent l’essentiel de la masse, ce qui les rend beaucoup plus lents que les électrons. Par conséquent il est possible de les considérer comme ponctuels et de les traiter de manière classique. Il est donc possible de découpler le déplacement ionique (dynamique cristalline) de celui des électrons et ainsi présumer que la mobilité électronique ne dépend pas de la vitesse des noyaux mais seulement de leurs positions.
La justification détaillée de cette approximation n’est pas aisée. D’un point de vue physique elle signifie que le mouvement des électrons se fait à donnée, c’est-à-dire que le mouvement (lent, quasi-statique) des noyaux intervient de fait dans les états électroniques comme une simple variation paramétrique de chacun d’entre eux. On néglige par conséquent les transitions induites d’un état à un autre ; autrement dit, les électrons s’adaptent instantanément à la configuration lentement variable des noyaux, d’où la notion adiabatique. Cette hypothèse est connue sous le nom de l’approximation adiabatique de Born Oppenheimer [37]. La dynamique du système (électrons et noyaux) est décrite par deux étapes successives: Les électrons sont supposés réagir instantanément au déplacement ionique. De ce fait, dans l’équation des coordonnées électroniques, les positions des ions sont considérées comme des paramètres externes immobiles. Où le dernier terme de l’Hamiltonien est constant et a été introduit dans le but de préserver la neutralité du système et d’éviter la divergence des valeurs propres. L’énergie totale propre à l’état fondamental du système pour des positions nucléaires fixes Décrit une surface dans l’espace des coordonnées ioniques dite surface de Born Oppenheimer. Les ions se déplacent selon une énergie potentielle effective incluant leur répulsion coulombienne, ainsi que l’effet d’encrage des électrons. La séparation des degrés de liberté des électrons de ceux des nucléons, obtenue grâce à l’approximation adiabatique s’avère très importante, du fait que si les électrons doivent être impérativement traités par la mécanique quantique, les degrés de liberté ionique quand à eux dans la plupart des cas, sont traités d’une manière classique.
Principe de la théorie de la fonctionnelle de densité
La résolution de l’équation stationnaire reste une tache très difficile compte tenu de sa complexité, lors de son application à des systèmes réels incluant plusieurs atomes et électrons. Cependant dans la plupart des cas, des traitements simplifiés basés sur la théorie du champ moyen (les électrons se déplacent tels des particules indépendantes dans un potentiel effectif généré par les ions et les autres électrons) sont adéquats pour donner réponse au problème. Une preuve formelle de telles approches est établie en particulier dans la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT1), cette dernière a pour principe fondamental, que n’importe quelle propriété d’un système de particules interagissant entre elles, peut être considérée comme une fonctionnelle de la densité à l’état fondamental du système . Ceci dit une fonction scalaire de la position , principalement, détermine toute l’information relative aux fonctions d’onde du système dans l’état fondamental ainsi que dans les états excités. Les preuves d’existence de telles fonctionnelles, disponibles dans les premiers travaux de Hohenberg et Kohn [38] ainsi que Mermin [39], sont relativement simples.
auteurs ne fournissent aucun conseil sur la construction de ces fonctionnelles et nulle fonctionnelle exacte n’est connue pour un système de plus d’un électron. La théorie de la fonctionnelle de la densité aurait suscité peu de curiosité de nos jours, si ce n’est dans le cadre du théorème établi par Kohn et Sham [40], qui l’a rendue utile par des approximations sur les fonctionnelles de l’état fondamental afin de décrire les systèmes réels à plusieurs électrons. L’idée originale de cette théorie a vu le jour dans les travaux de Thomas [41] et Fermi [42] en 1927. Bien que leur approximation ne soit pas suffisamment appropriée pour des calculs de structure électronique, cette approche élucide la manière dont la DFT fonctionne. Dans leur premiers travaux, Thomas et Fermi ont écarté les interactions entre les électrons, considérant ainsi le système comme un gaz homogène et son énergie cinétique comme fonctionnelle de la densité (locale). Les deux auteurs ont négligé les effets d’échange corrélation qui surgissent entre les électrons, cependant cette défaut fut corrigé par Dirac [43] en 1930, qui a introduit l’approximation d’échange locale.
L’importance considérable de la DFT fut évidente compte tenu de la simplicité de l’équation de la densité comparée à l’équation de Schrödinger complexe. L’approche de Thomas Fermi a été appliquée, à titre d’exemple, aux équations d’état des éléments. Cependant elle manque de l’essentiel des principes de chimie et de physique, ce qui la rend inappropriée dans sa description des électrons dans la matière.
Le théorème de Hohenberg et Kohn
L’approche de Hohenberg et Kohn, vise à faire de la DFT une théorie exacte pour les systèmes à plusieurs corps. Cette formulation s’applique à tout système de particules interagissant mutuellement dans un potentiel externe où l’Hamiltonien s’écrit : Le principe fondateur de la DFT se résume en deux théorèmes, introduit en premier temps par Hohenberg et Kohn [38] qui affirment qu’il y a bijection entre l’ensemble des potentiels et celui des densités minimisant l’équation (1.8), se basant sur les points suivants : · L’énergie totale de l’état fondamental d’un système à électrons interagissant, est une fonctionnelle (inconnue) unique de la densité électronique. · En conséquence obtenir la densité minimisant l’énergie associée à l’Hamiltonien (1.8) permet d’évaluer l’énergie de l’état fondamental du système. Principe établi dans le deuxième théorème de Hohenberg et Kohn qui précise que la densité qui minimise l’énergie est celle de l’état fondamental.
Cependant, comme l’état fondamental est concerné, il est possible de remplacer la fonction d’onde du système (3 dimensions dans l’espace de Hilbert) par la densité de charge électronique (3 dimensions dans l’espace réel), qui par conséquent devient la quantité fondamentale du problème. En principe, le problème se résume à minimiser l’énergie totale du système en respectant les variations de la densité régie par la contrainte sur le nombre de particules . A ce stade la DFT permet de reformuler le problème, pas de le résoudre compte tenu de la méconnaissance de la forme de la fonctionnelle .
Approche de Kohn et Sham
De nos jours, la théorie de la fonctionnelle de la densité demeure la méthode la plus utilisée dans les calculs de la structure électronique, elle doit son succès à l’approche proposée par Kohn et Sham (KS) [40] en 1965. Cette approche a pour but de déterminer les propriétés exactes d’un système à plusieurs particules en utilisant des méthodes à particules indépendantes. En pratique, cette révolution en la matière a permis d’effectuer certaines approximations qui se sont révélées très satisfaisantes.
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Table des matières
Remerciement
Résumé
Table des matiéres
Listes des figures
Liste des tableaux
Introduction générale
I.1 Introduction
I.2 L’intérêt des S/C de type III-V
I.3 Définition des Semi-conducteurs III V
I.4 Les Types Composés Des S/C III-V
I.4.1 Les Composés Binaires
I.4.2 Les Les Composés Ternaires et Quaternaires
I.5 Propriétés physiques des semi-conducteurs III-V
I.5.1 Propriétés Structurales∶ La structure Zinc Blende et Wurzite
I.5.2 Propriétés Electroniques
I.5.2.1. Structure des bandes d’énergie des semi-conducteurs III – V
a. Structure de bande de GaAs
b. Structure de bande de In P
c. La saturation de vitesse
I.5.2.2. Bandes interdites des composés III-V
a. Bandes interdites des principaux composés III-V
CHAPITRE I : Propriétés physiques et intérêt optoélectronique des semi-conducteur
b. Les hétéros structures des matériaux
I.5.3 Les propriétés optiques
I.6 Les avantages des semi-conducteurs III-V
I.7 Applications industrielles et défis technologiques
I.8 Conclusion II.1 Problématique
II.2 Résolution de l’équation aux valeurs propres
II.2.1 Approximation adiabatique
II.2.2 Principe de la théorie de la fonctionnelle de densité
II.2.3 Le théorème de Hohenberg et Kohn
II.2.4 Approche de Kohn et Sham
II.2.5 Fonctionnelle d’échange-corrélation
II.3 Remarques
II.4 Techniques de résolution
I.4.1 Théorème de Bloch
I.4.2 La zone de Brillouin
II.5 La base [L] APW
I.5.1 Introduction
I.5.2 Définition
II.6 La base LAPW avec les orbitales locales (LAPW+LO)
II.7 La méthode APW+lo
II.8 La base mixte LAPW/APW+lo
CHAPITRE II : DESCRIPTION DE LA METHODE DE CALCUL
III.1 Introduction
III.2 Equations d’état
III.3 Détails techniques
III.3.1 Considérations techniques
III.3.2 Méthode utilisée pour la résolution de l’équation d’état
III.4 Propriétés structurales du AlP et InP
III.5 Propriétés électroniques des semi-conducteurs AlP et InP
Conclusion générale
Bibliographies & Références ..
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