Décompositions tensorielles et factorisations de calculs intensifs appliquées à l’identification de modèles de comportement non linéaire

Les hélicoptéristes réclament selon leurs applications des moteurs toujours plus puissants, légers et économiques en termes de consommation. Par ailleurs, les contraintes de sécurité imposées par la réglementation de l’Agence Européenne de la Sécurité Aérienne tendent à s’intensifier. Pour répondre à ces exigences, un des leviers majeurs mis en œuvre par les équipementiers aéronautiques comme le groupe Safran, consiste à concevoir des matériaux technologiquement performants (légers, résistants, isolants, etc.).

À titre d’illustration, la conception et le dimensionnement des moteurs d’hélicoptère nécessitent de garantir leur bon fonctionnement lors de scénarios types de vol. En particulier, ils doivent être opérationnels en dehors de leur plage nominale d’utilisation sur de courtes durées. Par exemple pour des hélicoptères bimoteurs, lors d’incident de One Engine Inoperative où l’un des moteurs cesse de fonctionner, le second doit être capable de supporter une montée en puissance pour maintenir l’appareil en vol.

Pour supporter de telles sollicitations l’utilisation de matériaux performants tels que les monocristaux de superalliage base nickel, est fondamentale. En parallèle, la modélisation et la simulation numérique sont essentielles pour comprendre les phénomènes physiques qui interviennent. Dans l’exemple proposé, la prédiction du comportement anisotherme et de l’endommagement des aubes nécessite l’utilisation de lois matériaux viscoplastiques complexes. Les modèles physiques en science des matériaux sont généralement formulés à partir d’équations différentielles et peuvent faire apparaitre un grand nombre de coefficients matériaux. Ces coefficients a priori inconnus doivent être identifiés au cours d’une étape dite de calibration. Cette étape est capitale pour garantir la fidélité des modèles vis-à-vis des observations physiques.

Le processus de calibration d’un modèle physique consiste à identifier les valeurs des paramètres pour lesquelles les simulations numériques du modèle coïncident autant que possible avec les résultats des essais expérimentaux disponibles. L’identification des coefficients matériaux est donc réalisée sur une implémentation spécifique de la résolution du modèle physique qu’on appelle modèle numérique. Trois facteurs influencent de manière décisive l’exécution d’une identification pertinente :
— L’importance de l’implication des experts. Selon la complexité des modèles physiques, l’implication d’un ou plusieurs experts peut être fondamentale pour conduire une identification de manière correcte ;
— La capacité à quantifier de manière objective l’écart entre les résultats expérimentaux  et numériques. La définition d’une mesure adaptée est complexe, car les données à comparer sont multiples et entachées d’incertitudes ;
— La possibilité d’explorer de manière efficace l’espace paramétrique. Lorsque le nombre de paramètres est grand et que la résolution du modèle physique est chère, les coûts de calcul associés à l’exploration du domaine paramétrique peuvent fortement nuire à la recherche d’un paramétrage optimal. C’est essentiellement la combinaison de ces trois aspects qui peut rendre les procédures de calibration particulièrement délicates.

Calibration des lois matériaux 

La simulation numérique, visant à prédire les comportements thermomécaniques des matériaux, nécessite la mise en place de modèles adaptés. La modélisation physique s’attache à formaliser mathématiquement des observations expérimentales dans le but d’être capable de les reproduire numériquement. Les modèles sont élaborés pour reproduire les observations spécifiques qui intéressent le modélisateur dans le cadre d’applications données. La modélisation implique donc des choix. Par exemple, la modélisation du comportement des aubes de turbine d’un moteur d’hélicoptère doit représenter le plus fidèlement possible les déformations relatives à des mécanismes de fluage, de plasticité, d’endommagement et de transformations métallurgiques, pour des températures variant dans un intervalle extrêmement large. La précision des prévisions de durée de vie dépend au premier ordre de la prévision de ces déformations et des contraintes de Cauchy associées. Dans les modèles physiques en mécanique, on distingue deux types d’équations particulières. Les premières sont liées aux lois de la physique. Elles rassemblent, les équations d’équilibre, les équations de compatibilité et les conditions limites. Ces équations sont générales au sens où elles sont valides, quel que soit le matériau. Le second type d’équations permet de caractériser spécifiquement les matériaux. Elles constituent ce qu’on appelle les lois matériaux ou de lois de comportement. Elles sont généralement formulées localement en espace et l’histoire des transformations irréversibles est décrite à l’aide de variables internes.

Les étapes principales de mise en place d’un modèle de comportement mécanique sont les suivantes :
— Caractérisation expérimentale du phénomène étudié ;
— Définition du modèle le mieux adapté pour reproduire les comportements que l’on cherche à comprendre ;
— Définition des essais et des mesures expérimentales qui permettront d’ajuster et de valider le modèle ;
— Calibration effective du modèle à partir des résultats expérimentaux et des simulations numériques. Ces étapes qui se succèdent chronologiquement peuvent être particulièrement couteuses en temps. Compte tenu de la nature très exploratoire des procédures et questions posées, ces étapes impliquent nécessairement l’intervention d’experts du domaine .

Modélisation des lois matériaux

Les lois matériaux sont usuellement formulées sous la forme d’équations différentielles algébriques faisant intervenir les variables mécaniques classiques (tenseur des contraintes et tenseur des déformations) et dans le cas de lois de comportement plus élaborées des variables mécaniques internes (telles que des variables d’écrouissage, d’endommagement …). Les lois de comportement se divisent en deux catégories. La première catégorie est constituée de lois formalisées à partir de considérations microscopiques. Plus précisément, elles visent à prédire des comportements par la modélisation de phénomènes qui se déroulent à l’échelle microscopique. Cette approche fournit des résultats précis, mais n’est pas applicable à tous les comportements. D’autre part, le passage à l’échelle peut introduire des effets difficilement prévisibles. La seconde catégorie rassemble les lois dites phénoménologiques. Ces lois sont formulées empiriquement pour reproduire des observations expérimentales sans faire appel à des équations de bilan formulées à l’échelle microscopique. L’approche phénoménologique est la plus ancienne et toujours la plus utilisée actuellement. Lorsque les phénomènes mis en jeu sont complexes, il peut être nécessaire de construire des lois par assemblage de modèles plus élémentaires. Dans le cadre de la mécanique des matériaux, on renvoie le lecteur aux références [13, 76] pour des descriptions plus précises sur les méthodes d’élaboration de lois de comportement. Ces modèles font généralement apparaitre un certain nombre de paramètres appelés coefficients matériaux. Lors de l’élaboration théorique des modèles, ces coefficients n’ont pas de valeur numérique. L’un des enjeux principaux de la mise en place d’un modèle de lois de comportement pour un matériau donné consiste à déterminer la valeur de ces paramètres. C’est ce qu’on appelle l’étape d’identification ou de calibration du modèle. En tant que modèle, les lois de comportement sont par définition imparfaites. La validation d’une loi consiste à certifier qu’elle soit capable de reproduire les observations physiques avec un niveau d’erreur jugé acceptable par les experts du domaine. Les étapes de validation et calibration sont donc intimement liées puisqu’un modèle ne pourra pas être qualifié de valide tant qu’un vecteur de paramètres admissible n’aura pas été trouvé.

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Table des matières

I Introduction
I.1 Contexte général
I.2 Objectifs
I.3 Contexte scientifique
I.4 Contributions
I.5 Organisation du mémoire
I.6 Communications scientifiques
II Contexte scientifique et technique
II.1 Calibration des lois matériaux
II.1.a Modélisation des lois matériaux
II.1.b Expérimentation
II.1.b.1 Définition des essais
II.1.b.2 Réalisation des essais
II.1.c Identification
II.1.c.1 Difficulté à définir une mesure d’écart
II.1.c.2 Espace paramétrique
II.1.c.3 Travail collaboratif
II.1.c.4 Illustration sur la loi Polystar
II.1.d Bilan
II.2 Modèles de substitution
III État de l’art
III.1 Méthodes de réduction de modèle par projection
III.1.a Décomposition orthogonale aux valeurs propres
III.1.b Méthode des bases réduites
III.2 Méthodes de réduction de la complexité
III.2.a Méthodes d’interpolation empirique
III.2.a.1 Squelette fonctionnel
III.2.a.2 Méthode d’interpolation empirique généralisée
III.2.a.3 Méthode d’interpolation empirique discrète
III.2.a.4 Best Points Interpolation Method
III.2.b Méthodes de projection lacunaire
III.2.b.1 Gappy POD
III.2.b.2 Hyper-réduction
III.2.b.3 Missing Point Estimation
III.3 Décompositions matricielles approchées
III.3.a Notations matricielles
III.3.b Décomposition en valeurs singulières
III.3.c Sélection de colonnes/lignes
III.3.c.1 Maxvol
III.3.c.2 Décomposition QR avec pivotage de colonnes
III.3.c.3 Q-DEIM
III.3.d Décomposition skeleton et pseudo-skeleton
III.3.d.1 Méthode de construction
III.3.e Approximation gappy
III.4 Décompositions tensorielles
III.4.a Notations tensorielles
III.4.b Décomposition canonique
III.4.c Décomposition de Tucker
III.4.d Décomposition de Tucker hiérarchique
III.4.e Décomposition en train de tenseurs
III.4.e.1 Définition
III.4.e.2 Propriétés
III.5 Méthodes d’approximations tensorielles de faible rang
III.5.a Alternating least square
III.5.b High Order Singular Value Decomposition
III.5.c TT-SVD
III.5.d TT-cross
III.5.e DMRG
III.5.f Autres algorithmes associés au format TT
III.5.g Proper Generalized Decomposition
IV Cadre générique d’approximation par décomposition en train de tenseurs
IV.1 Approximation de fonctions multivariées
IV.1.a Représentation tensorielle
IV.1.b Représentation discrète
IV.1.c Représentation en train de tenseurs
IV.1.d Interpolation multilinéaire par morceaux
IV.2 Algorithme générique de décomposition TT par approximations matricielles successives
IV.2.a Description de l’algorithme
IV.2.b Erreur d’approximation
IV.2.c Algorithme de refactorisation
IV.3 Particularisation de l’algorithme de décomposition TT par
approximations matricielles successives
V Conclusion

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