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Décomposition polaire Spectre d’un opérateur borné
Opérateurs linéaires non bornés
On a vu que, dans le cas d’un opérateur borné, on peut toujours supposer que son domaine est l’espace de Hilbert tout entier. Dans le cas d’un opérateur non borné il n’en est pas de même ; le domaine de l’opérateur devra toujours être précisé et, lorsqu’on effectuera des opérations algébriques sur des opérateurs non bornés, les questions de domaine devront être examinées avec soin. Le domaine D(T) d’un opérateur T est dit dense dans l’espace de Hilbert H si et seulement si D(T) = H, oú M représente la fermeture d’un sousensemble M dans H. Dans ce cas on dit que T est densément défini. Si T est borné défini partiellement sur un domaine dense D(T) de H, alors il est prolongeable par continuité en un opérateur borné sur H tout entier. Ceci ne nous empêche pas de dire que les opérateurs non-bornés densément définis ont une grande importance mathématique et surtout lorsqu’ils sont fermés.
Définition (Commutativité forte).
Le théorème suivant nous donne des égalités semblables à la proposition précédente, c’est-à-dire qu’il y a des conditions qui transforme l’inclusion S ⊂ T à une égalité S = T (que nous appelons un état de maximalité) pour quelques classes des opérateurs, et également dans le cas d’un produit de deux opérateurs. Ce type de résultats est un outil puissant pour prouver des résultats sur les opérateurs non bornés. Par exemple, la propriété (3) du prochain théorème es t employé dans la preuve de la version « non borné » du théorème spectral des opérateurs normaux (voir par exemple [31]). Pour d’autres utilisations, voyez par exemple [31] ou [32].
Le théorème de Fuglede-Putnam
Dans cette section on rappelle le théorème célèbre de Fuglede-Putnam qui joue unrôle très important dans la théorie des opérateurs bornés et non bornés avec toutes ses applications. Beaucoup d’auteurs travaillent sur ce théorème. Voici ci-après ce théorème dans le cas borné et dans le cas non-borné et pour la preuve (voir par exemple [4]). Théorème 1.12.1 (la version bornée). Soient T, M, N trois opérateurs bornés sur un Hilbert H, avec N et M sont normaux et T N = MT alors :T N∗ = M∗T Remarque 1.12.1. Si N = M on l’appelle le théorème de Fuglede. Théorème 1.12.2 (La version non borné). Soit H un espace de Hilbert, et soient M, N deux opérateurs normaux non borné et T un opérateur borné sur H. Si T N ⊆ MT, alors
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Table des matières Préliminaires Opérateurs linéaires bornés Opérateurs adjoints Convergence sur B(H) Racine carrée d’un opérateur Décomposition polaire Spectre d’un opérateur borné Opérateurs linéaires non bornés Domaine, graphe . Produits et sommes d’opérateurs fermés Adjoint d’un opérateur non borné Opérateurs symétriques, auto-adjoints et normaux Spectre des opérateurs non-bornés Le théorème de Fuglede-Putnam Commutativité des opérateurs normaux et auto-adjoints et applications Sur la fermeture, l’adjonction et la normalité du produit ou la somme de deux opérateurs non bornés Auto-adjonction et la question de la normalité Maximalité d’opérateurs linéaires Quelques résultats sur la normalité Résultats Principaux sur la Maximalité Conjecture
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