Contrôle des ondes de flexion dans les plaques

Modèle de Kirchhoff

   Le modèle de Kirchoff est le modèle classique le plus souvent utilisé pour modéliser le premier mode de flexion. Il traduit le passage en deux dimensions de l’équation d’Euler-Bernoulli qui régit le comportement des poutres rigides en flexion pure. Le modèle de Kirchhoff repose sur la série d’hypothèses suivante [4] :
– le matériau est considéré homogène et isotrope
– la plaque est initialement plane
– un segment de la plaque initialement perpendiculaire au plan moyen le reste lors de la déformation (hypothèse de Kirchhoff-Love). La déformation est en flexion pure, il n’y a pas de cisaillement dans le plan.
– les déformations verticales sont faibles et linéaires

Génération d’onde acoustique ou élastique

   La génération d’ondes acoustiques ou élastiques est le plus souvent réalisée par des transducteurs piézoélectriques. Ces transducteurs sont composés de matériaux piézoélectriques capables de traduire une tension appliquée en déplacement mécanique. On les retrouve dans les barrettes échographiques pour l’imagerie médicale réalisée par des ondes de compression dans un milieu fluide. Pour la génération des ondes élastiques, ces transducteurs possèdent le désavantage de nécessiter un contact mécanique avec le système.
Génération mécanique La génération mécanique nécessite un contact entre l’élément piézoélectrique et la plaque. Ce contact est généralement maintenu sur le système pendant la mesure des déplacements. Or la fixation de cet élément peut perturber le système que l’on souhaite étudier. Nous allons voir qu’il est possible de réduire cette influence en fonction de l’application souhaitée. Pour les excitations basses fréquences dans des plaques en duraluminium de 1mm à 2mm d’épaisseur, nous utiliserons des pastilles piézoélectriques très fines présentant une masse faible. L’adhésion à la plaque est réalisée à partir d’un sel de salicylate de phényle (salol). Ce matériau présente un point de fusion autour de 41oC. Lors du refroidissement, la reprise de la croissance cristalline assure un contact solide entre la pastille et la plaque. La figure 1.4a présente une photographie d’une pastille PKS1-4A1 MuRata Shock Sensor. Ces pastilles sont efficaces pour des fréquences d’excitation de quelques dizaines de kHz. On peut les asservir aussi bien par des pulses courts que des trains d’onde plus longs. Les signaux utilisés seront des pulses à enveloppe gaussienne dont la fréquence porteuse sera comprise entre 5kHz et 60kHz. Les signaux sont synthétisés sur ordinateur et sont amplifiés avant d’être transmis à la pastille piézoélectrique. Pour les mesures à des fréquences plus élevées, de 60kHz jusqu’à 1MHz, nous utiliserons un transducteur piézoélectrique de contact modèle Panametrics M109 présenté dans la figure 1.4b. Ces fréquences seront nécessaires lors de la génération d’ondes de flexion dans des wafers de Silicium d’épaisseur 500µm. Cette fois, on ne peut pas envisager de contact direct entre le transducteur et le wafer. Le transducteur est surmonté d’une pointe de silice afin d’appliquer le champ de déplacement ponctuellement. Le diamètre de l’apex de la pointe est de l’ordre de 1mm. Nous utilisons également le sel de salol afin de maintenir un contact solide entre la pointe et la surface du transducteur. Contrairement à la pastille piézoélectrique, le transducteur ne peut pas être excité par un train d’ondes trop long. Les vitesses de déplacement mises en jeu à ces fréquences entraînent un échauffement important qui peut endommager les transducteurs. Les signaux utilisés sont des pulses à enveloppe gaussienne produit par un générateur de fonction Agilent 33120A. La fréquence porteuse est fixée à 500kHz et la durée de l’enveloppe gaussienne est de 6µs soit une largeur spectrale à mi hauteur de 400kHz. Ce pulse gaussien est amplifié par un amplificateur large bande (bande passante de 100kHz à 50MHz pour une puissance de 100W) avant d’être transmis au transducteur. Pour ces deux sources, le déplacement imposé par le point source permet une excitation efficace du premier mode de flexion A0. À basse fréquence, le déplacement vertical de la plaque est en grande partie contenu dans ce mode. L’excitation de la plaque par un champ de déplacement vertical permet alors une excitation sélective de ce mode de flexion. Afin de supprimer le contact entre la source et l’échantillon nous allons voir que l’on peut utiliser la lumière laser pour générer des ondes de flexion dans une plaque.
Génération optique La génération optique ou la détection optique des ondes élastiques ont été proposées assez rapidement après l’avènement du laser. Le premier Laser est fabriqué par Theodore Maiman [10] à partir d’un cristal de rubis pompé par une lampe flash. Cette émission cohérente et intense de lumière est utilisée à peine trois ans plus tard afin de générer des ondes élastiques sur des substrats métalliques [11, 12]. L’absence de contact entre la source de déplacement et le milieu solide représente un atout majeur dans l’étude de phénomènes physiques liés aux ondes élastiques. Elle permet par exemple d’étudier les vibrations de structures à haute température. La génération optique d’ondes acoustiques est également à l’origine d’un nouveau moyen d’imagerie médicale nommé photo-acoustique [13]. L’efficacité de cette génération dépend à la fois des paramètres du faisceau laser utilisé : longueur d’onde, durée de l’impulsion, taille du faisceau et des propriétés optiques et thermiques du milieu élastique. La génération optique est décomposée en plusieurs étapes. Le premier phénomène met en jeu l’absorption de l’énergie lumineuse, cette absorption se traduit en un échauffement local du milieu. Suite à cet échauffement, on observe une dilatation locale de la matrice solide du milieu. Cette dilatation thermique transitoire est à l’origine de la génération d’ondes élastiques dans le milieu solide. La conversion de l’intensité lumineuse en source de déplacement mécanique n’est pas une relation linéaire. Il existe un seuil appelé seuil d’ablation à partir duquel l’énergie déposée par le faisceau laser est trop importante. L’échauffement intense entraîne alors une fusion puis une évaporation de la matière dans la zone illuminée, on parle de régime d’ablation. Dans ce régime, la génération des déplacements normaux est efficace mais entraîne une détérioration de l’échantillon. Nous prendrons soin de rester sous le seuil d’ablation, dans le régime thermoélastique. L’absence de contact et l’excitation large bande sont deux intérêts majeurs de cette génération optique d’ondes élastiques. On s’attend à quelques inconvénients dans l’application à la génération d’ondes de flexion dans les plaques fines. Dans le régime thermoélastique, la lumière est absorbée très rapidement et pénètre peu en profondeur de la plaque. Le laser utilisé dans notre montage est un laser impulsionnel Q-switch (modèle ULTRA de la marque Quantel), Nd :YAG doublé (532nm), fournissant des impulsions de durée 8ns avec une énergie maximale de l’ordre de 30mJ. La fréquence de répétition des tirs est réglable de 1Hz à 20Hz. Pour une longueur d’onde de 532nm, avec un faisceau de 2mm de diamètre, éclairant une plaque de Silicium de 500µm d’épaisseur, la profondeur de pénétration du faisceau est de l’ordre de 1µm. La dilatation thermique a donc lieu principalement à la surface de la plaque et la déformation est principalement contenue dans le plan de la plaque. L’excitation du mode A0 est donc moins sélective que dans le cas d’un transducteur en contact. Nous allons voir que cette faible excitation peut être compensée par une détection optique extrêmement sensible des déplacements verticaux.

Mesure holographique hétérodyne du déplacement vertical

   Ce montage développé au laboratoire par Michael Atlan permet une mesure holographique instantanée des vibrations d’une structure mécanique [16]. Comme pour les montages précédents, il s’agit d’une mesure optique hétérodyne interférométrique du déplacement vertical. La méthode holographique permet de réaliser une cartographie étendue du déplacement vertical de la plaque en temps réel tandis que les sondes précédentes mesurent le champ en un point et nécessitent un balayage de la surface de l’échantillon. En revanche, la mesure holographique est bande étroite, c’est à dire qu’il est nécessaire d’imposer une excitation harmonique à une fréquence précise, contrairement aux sondes focalisées qui réalisent une mesure large bande résolue en temps.

Milieux cristallins et ondes classiques

   La théorie abordée dans la section précédente peut également s’appliquer aux ondes dites “classiques” comme les ondes électromagnétiques ou acoustiques. Ces ondes sont gouvernées par l’équation d’Helmholtz. Or la résolution de cette équation dans un milieu périodique est analogue à celle de l’équation de Schrödinger pour les fonctions d’ondes électroniques. On peut appliquer le théorème de Bloch aux différents champs mis en jeu dans l’équation de Helmholtz : les champs électrique et magnétique pour les ondes électromagnétiques ou bien les champs de déplacement ou de pression pour les ondes acoustiques. Les milieux périodiques sont créés par des inclusions d’indice ou d’impédance différents. On parle désormais de cristaux photoniques [22] et phononiques [23]. Les relations de dispersion représentent maintenant la relation liant le vecteur d’onde k avec la pulsation ω. Les cristaux phononiques ont également été appliqués au cas des ondes de Lamb dans les plaques [24].

All Angle Negative Refraction

  Historiquement deux mailles élémentaires à deux dimensions ont été largement utilisées afin d’obtenir une zone AANR. Il s’agit de focalisation avec : une maille carrée ou avec une maille triangulaire. Dans cette section nous aborderons le deuxième exemple, la focalisation par la première bande d’une maille carrée sera développée dans la partie suivante. Comme pour la démonstration de la réfraction négative selon une direction, la focalisation sur la deuxième bande d’un cristal utilise le repliement provenant de la périodicité du milieu afin d’obtenir une courbe à pente négative. On cherche donc à obtenir :
– un contour équifréquence le plus circulaire possible, qui nous apporte un indice de réfraction indépendant de la direction.
– une pente négative selon toutes les directions de propagation.
On a vu que l’indice du milieu est considéré comme négatif si le produit scalaire V~g.~k prend une valeur négative. Cette condition se traduit par le choix de la normale vers les contours à fréquence croissante. La normale à la surface doit être rentrante. La figure 2.9 présente la courbe de dispersion et les contours équifréquences de la relation de dispersion des ondes de pression au sein d’un réseau triangulaire de barres d’acier immergées dans du méthanol, extrait de [29]. Trois contours équifréquences sont présentés sur la figure 2.9b à 545kHz, 610kHz et 680 kHz. Ces contours sont tracés dans la première zone de Brillouin du cristal. On remarque que les contours équifréquences formés sont parfaitement circulaires, ce qui nous assure un indice isotrope. De plus, le rayon des cercles se réduit lorsque la fréquence augmente. Cette propriété est équivalente à la notion de pente négative présentée sur la figure 2.9a. Par définition, la vitesse de groupe est maintenant opposée au vecteur d’onde, cette opposition est propre au milieu à indice négatif. On peut alors décrire ce matériau par un indice négatif pour ces trois fréquences.

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Table des matières

Introduction Générale
1 Ondes élastiques dans les plaques fines – Modélisation, détection et génération 
1.1 Introduction
1.2 Théorie des ondes élastiques dans les plaques minces
1.2.1 Élasticité tri-dimensionnelle
1.2.2 Ondes élastiques guidées
1.3 Modélisation théorique des ondes de flexion
1.4 Simulations numériques
1.4.1 Simulations FDTD .
1.4.2 Méthode des éléments finis
1.5 Génération et Détection des ondes de flexion
1.5.1 Génération d’onde acoustique ou élastique
1.5.2 Détection optique des ondes de flexion
1.6 Conclusion
I Propagation d’ondes de flexion dans les plaques structurées 
2 Focalisation d’ondes de flexion par un cristal phononique 
2.1 Introduction
2.2 Réfraction négative par un cristal
2.2.1 Notions de Cristallographie
2.2.2 Théorème de Bloch
2.2.3 Milieux cristallins et ondes classiques
2.2.4 Réfraction des ondes à l’interface d’un cristal et d’un milieu libre
2.3 Conception d’une lentille plate par un milieu périodique
2.3.1 Loi de Snell-Descartes et contours équifréquences
2.3.2 All Angle Negative Refraction
2.3.3 Réalisation de la lentille plate
2.4 Focalisation d’ondes de flexion par un cristal phononique
2.4.1 Focalisation par un cristal à maille carrée
2.4.2 Adaptation d’indice par l’épaisseur
2.4.3 Mise en oeuvre expérimentale
2.4.4 Résultats expérimentaux et numériques
2.5 Conclusion et perspectives
3 Super focalisation des ondes de flexion en régime temporel 
3.1 Introduction
3.1.1 Cas d’un cristal à réfraction négative
3.1.2 Cas d’un milieu d’indice négatif
3.1.3 Évolution temporelle de la super résolution
3.2 Suivi temporel de la focalisation
3.2.1 Transformée de Fourier spatiale
3.2.2 Construction du point focal sub-longueur d’onde
3.3 Fonctions super oscillantes
3.3.1 Création d’une tache focale super oscillante
3.3.2 Formation d’une tache focale super oscillante au cours du temps
3.4 Amélioration de la résolution en régime temporel
3.4.1 Récurrence des taches focales en régime temporel
3.4.2 Effet de la durée de l’impulsion
3.4.3 Effet de la position de la source
3.5 Conclusion et perspectives
4 Métamatériaux pour les ondes de flexion 
4.1 Introduction
4.1.1 Indice négatif : Premiers résultats expérimentaux
4.1.2 Métamatériaux acoustiques et élastiques
4.1.3 Hybridation et paramètres effectifs négatifs
4.2 Double négativité en ondes acoustiques et élastiques
4.2.1 Ondes acoustiques
4.2.2 Ondes élastiques
4.3 Un résonateur pour les ondes de flexion : le trou borgne
4.3.1 État de l’art
4.3.2 Calcul des fréquences de résonances
4.4 Métamatériau à indice négatif : le trou “aveugle”
4.4.1 Étude prospective
4.4.2 Vers une réalisation expérimentale
4.4.3 Optimisation du facteur de qualité des résonances
4.4.4 Conception des échantillons
4.5 Conclusion et perspectives
5 Localisation des ondes de flexion dans les milieux localement résonants désordonnés 
5.1 Introduction
5.1.1 Diffusion élastique résonante
5.1.2 Réduction de la densité d’état
5.2 Étude expérimentale
5.2.1 Fabrication des échantillons
5.2.2 Résultats expérimentaux
5.3 Étude numérique
5.3.1 Démarche logique
5.3.2 Premiers résultats
5.4 Localisation par couplage champ proche
5.5 Influence de la distance d’exclusion
5.6 Conclusion et perspectives
II Phénomènes ondulatoires exotiques appliqués aux ondes de flexion 
6 Quantum revival pour les ondes de flexion 
6.1 Introduction
6.2 Choix des ondes de flexion
6.2.1 Conditions aux bords de la plaque
6.3 Étude dynamique
6.3.1 Fabrication des échantillons et conditions expérimentales
6.3.2 Excitation au centre de la plaque
6.3.3 Excitation au tiers de la diagonale
6.3.4 Excitation arbitraire
6.4 Calcul du temps de revival
6.4.1 Influence de la position de la source
6.5 Études complémentaires
6.5.1 Influence de la fréquence centrale
6.5.2 Cas des membranes souples
6.6 Conclusions et perspectives
7 Maxwell Fisheye pour les ondes de flexion 
7.1 Introduction
7.1.1 Physique des transformations
7.1.2 Réintroduction du Maxwell fisheye
7.1.3 Réalisations expérimentales
7.1.4 Origine de la super résolution du Maxwell fisheye
7.2 Conception du fisheye pour les ondes de flexion
7.2.1 Variation de l’épaisseur
7.3 Validation expérimentale
7.3.1 Conception d’un Maxwell fisheye ouvert
7.3.2 Étude temporelle de la focalisation
7.4 Conclusion et perspectives
8 Mécanisme universel pour la localisation d’ondes 
8.1 Introduction
8.1.1 Application aux ondes classiques
8.2 Validation expérimentale
8.3 Vers une ingénierie de la localisation
8.3.1 Réalisation pratique
8.3.2 Résultats expérimentaux
8.4 Conclusion et perspectives
Conclusion Générale
Références

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