Soutenance mémoire
Caractérisation de l’aspect acoustique d’une onde
En milieu au repos, le caractère acoustique d’un mouvement peut être défini avec ce formalisme d’équation d’onde. En présence d’écoulement moyen, dit « porteur », lorsqu’il est uniforme, la définition reste relativement aisée, mais nécessite d’introduire la notion de mouvement potentiel. Le mouvement acoustique est alors celui qui est associé à la partie du champ de vitesse qui dérive d’un potentiel scalaire [41]. La partie complémentaire, qui dérive d’un potentiel vecteur, fait l’objet d’une excitation disjointe, et, au premier ordre, les deux types de mouvement n’interagissent pas [35]. Lorsque l’écoulement porteur n’est plus uniforme, par exemple en présence de cisaillement, la séparation n’est plus possible de manière aussi directe [49]. Il faut alors faire intervenir des considérations sur les différentes échelles en présence (longueur d’onde, épaisseur de cisaillement, etc.). Le phénomène de propagation est parfois invoqué en creux, quand, de manière imagée, on indique que le son est ce qui est perçu par l’oreille ou par un microphone. La fibre mécanicienne des fluides de l’acousticien introduit alors la notion de pseudo– son pour caractériser les mouvements captés par l’oreille (autrement dit : toutes les fluctuations de pression) sachant bien que l’aérodynamique instationnaire, et plus généralement la turbulence, s’accompagnent de fluctuations de pression qu’on mesure à l’aide de microphones notamment, mais qui ne présentent pas les caractéristiques propagatives d’une onde acoustique.
Le bruit du vent
Le fil qui chante
C’est un fait facile à expérimenter que la plupart des mouvements de fluides suffisamment rapides — instationnaires — font du bruit en brassant l’air, pour parler crument. Là où on ne perçoit pas le vent, on entend quand même quelque chose. Ceci nous permet de caractériser l’acoustique comme une perturbation capable de contaminer le milieu continu par propagation sur une distance significativement plus longue que l’étendue de la région cisaillée, y compris dans les directions qui ne sont pas celles de l’écoulement principal. À travers une telle définition, on vient de passer d’un discours purement descriptif (équation d’onde, mouvement potentiel) de l’onde acoustique, à un discours explicatif, en condition nécessaire tout au moins : l’onde acoustique résulte nécessairement d’un phénomène capable de contaminer le milieu continu par propagation sur une large distance. Une autre distinction entre bruit et vent réside dans l’absence de débit massique net dans un mouvement acoustique. L’onde acoustique est un déplacement d’énergie, précisément sous forme de travail des efforts de pression, sans déplacement de matière. Ces observations conduisent à l’alternative suivante : l’émission de bruit aérodynamique est–elle (i) un sous produit du mouvement tourbillonnaire, à l’image de la dissipation en chaleur — « par frottements » — d’une certaine partie de l’énergie mécanique d’un mouvement donné, ou bien (ii) un résultat mécanique de l’excitation instationnaire, ou enfin (iii) une voie privilégiée d’évacuation énergétique passé un certain régime, comme une distorsion du mouvement aérodynamique, à l’image de la transition à la turbulence ?
Instationnarité et compressibilité
On peine à creuser les différentes hypothèses, mais il faut reconnaître que les outils analytiques à disposition actuellement se rangent derrière le deuxième mécanisme : l’instationnarité de l’écoulement est vue comme la source de l’acoustique, et pas seulement comme sa cause a . Plus prosaïquement : c’est à partir des sollicitations instationnaires qu’on calcule le champ acoustique. Avant d’entrer plus en détail dans les modes d’excitation acoustique, notons que ces considérations ont le mérite de placer l’instationnarité au cœur de la réflexion, et non plus la compressibilité. Car si la compressibilité — entendons par là la dépendance de la masse volumique à la pression — est essentielle à la propagation et doit donc être une propriété du milieu observateur, elle n’est pas nécessaire à l’écoulement pour que ce dernier soit bruyant, tant il est vrai que le bruit d’origine aérodynamique est manifeste même dans des situations où les effets de compressibilité (quantifiés par le nombre de Mach) sont insignifiants [103].
Excitation des ondes acoustiques
Comme toute équation différentielle, l’équation d’onde ne peut donner de solutions particulières que couplée à des conditions aux limites. En champ libre, toute onde progressive de la forme f(t−r/c) est solution, entre autres, mais son amplitude dans un cas particulier ne peut être déterminée qu’à l’aide d’une donnée supplémentaire. La seule solution d’amplitude a priori connue valable en champ libre est le silence absolu : φ(x,t) = 0 quel que soit (x,t) b .
Notion de terme source
Une inhomogénéité introduite dans l’équation d’onde
Pour obtenir le champ acoustique par résolution de l’équation d’onde, on a coutume de rassembler les conditions particulières dans un second membre appelé terme source, la plupart du temps noté Q. On écrit
φ = Q
Dès lors, on est contraint de distinguer un espace source et un espace de propagation : là où le terme source est non–nul, l’équation d’onde n’est plus vérifiée donc le mouvement est difficilement qualifiable d’acoustique. De même, là où l’équation d’onde est vérifiée, le second membre s’annule et il ne s’y trouve pas de source [54]. Cette pratique n’est pas idéale parce que, notamment en aéroacoustique, l’annulation du terme source n’est pas toujours parfaitement tranchée dans l’espace mais présente plutôt un caractère asymptotique.
Réalité physique du terme source
Une autre difficulté réside dans le fait qu’on n’obtient pas d’équation d’onde inhomogène à partir des équations du mouvement linéarisées en l’absence de gradients et d’écoulement moyens. À proprement parler, il n’existe pas de « source de masse ». En effet, en vertu du principe de conservation de la masse, l’équation de continuité ne contient pas de second membre. Autrement dit, dans l’équation de bilan de masse, l’instationnarité est totalement équilibrée par les débits aux frontières. Il en va de même pour l’équation de bilan de quantité de mouvement, bien que cela y soit plus subtil : il s’y trouve certes un terme volumique d’efforts extérieurs — qui n’usurperait pas le titre de source — mais celui–ci ne sera instationnaire, donc à même d’exciter l’équation d’onde, que très rarement c . En ce qui concerne l’équation de bilan d’énergie, hormis par viscosité, un terme source peut apparaître en cas d’échauffement instationnaire (par effet Joule ou réaction chimique, par exemple). Mais il s’agit d’un cas particulier qui ne peut être invoqué pour l’excitation d’ondes acoustiques en général. La dissipation visqueuse pourrait jouer cet effet, mais on observe en pratique que l’excitation acoustique est correctement modélisée même quand elle est négligée en tant que source proprement dite [10, 117]. Le terme source n’apparaît pour l’acousticien que si on introduit une séparation spatiale entre le domaine où sont satisfaites les équations du mouvement considéré (petites perturbations isentropiques d’un gaz parfait en évolution instationnaire sans dissipation visqueuse) et le reste de l’espace où interviennent des causes externes : apport de masse, contraintes surfaciques, échanges énergétiques aux frontières. Lorsque la région où agissent ces causes externes est de taille suffisamment petite par rapport à l’espace d’étude du champ acoustique, on peut les considérer comme ponctuelles et écrire ces flux surfaciques sous forme d’une distribution de Dirac, c’est–à–dire non nulle en un point seulement. Ainsi peut–on ramener l’apport instationnaire de masse à la sortie d’un tuyau d’échappement à un terme source de masse, dont le rayonnement acoustique est très efficace [54]. Il est néanmoins possible de former une équation d’onde inhomogène à partir des équations du mouvement fluide, mais cela impose de ne pas faire les hypothèses habituelles de l’acoustique linéaire en milieu au repos. C’est le principe des analogies en aéroacoustique.
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Table des matières
Introduction
1 Problématique scientifique
1.1 Concept d’onde acoustique
1.1.1 L’équation d’onde
1.1.2 Caractérisation de l’aspect acoustique d’une onde
1.1.3 Le bruit du vent
1.2 Excitation des ondes acoustiques
1.2.1 Notion de terme source
1.2.2 Analogies acoustiques
1.2.3 Conditions aux limites
1.2.4 Formalisme intégral et distributions
1.3 Trois symboles aéroacoustiques
1.3.1 La paire de tourbillons co–rotatifs
1.3.2 Vibration du domaine fluide
1.3.3 Efficacité d’une excitation « air–air »
1.4 Synthèse
2 L’énergie acoustique et son transport
2.1 Problématique de l’énergie acoustique
2.2 Définition usuelle de l’énergie acoustique
2.2.1 Tentative de description à l’ordre deux
2.2.2 Prise en compte d’un écoulement en mouvement uniforme
2.2.3 Expressions pour le potentiel des vitesses
2.3 L’approche eulérienne
2.4 L’approche dissipative
2.4.1 Théorie potentielle
2.4.2 Le rôle des fluctuations de vorticité
2.4.3 Un théorème exact
2.4.4 Un cas d’application numérique
2.4.5 Enthalpie ou exergie ?
2.4.6 Première unification
2.5 L’approche lagrangienne
2.6 Synthèse
3 Formalismes d’excitation surfacique
3.1 Discussion de l’approche de Lighthill
3.2 Les méthodes d’extrapolation
3.2.1 Le formalisme de Ffowcs Williams et Hawkings
3.2.2 Le formalisme de Kirchhoff
3.3 Distributions sur une surface plane
3.3.1 Surface en sollicitation de pression
3.3.2 Surface en sollicitation de vitesse
3.3.3 Formulation de Farassat et Myers
3.4 Applications du formalisme de Farassat et Myers
3.4.1 La sphère pulsante
3.4.2 Extrapolation d’une onde acoustique sphérique
3.4.3 Le piston vibrant
3.4.4 Remarque sur l’évaluation aux temps retardés
3.5 Synthèse
Conclusion
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