Contribution à la modélisation champ de phase des dislocations

Ces travaux de thèse ont été menés au sein du Laboratoire d’Étude des Microstructures (LEM), unité mixte Onera/CNRS. Ils s’inscrivent dans l’une de ses thématiques de recherche : l’étude des microstructures des alliages métalliques et leur influence sur les propriétés mécaniques.

Un moyen d’améliorer les propriétés mécaniques d’un alliage métallique est de faire précipiter une seconde phase sous la forme de précipités dispersés. En effet, ces précipités servent d’obstacles au mouvement des dislocations, vecteur de la déformation plastique. L’amélioration des propriétés mécaniques de ces matériaux passe donc par une compréhension fine des interactions entre dislocations et précipités. Ces interactions étant complexes et multiples, nous avons choisi d’en illustrer quelques unes dans deux types d’alliages couramment utilisés dans l’industrie aéronautique.

Les alliages d’aluminium sont utilisés comme matériaux de structure des avions du fait de leur faible masse volumique. Afin d’améliorer les propriétés mécaniques de l’aluminium, on y ajoute des éléments d’addition tels que le cuivre, le magnésium et le scandium. La présence d’éléments d’addition conduit à l’apparition de précipités  dispersés dans la matrice dont la taille peut être contrôlée par des traitements thermiques. Ces précipités agissent comme des obstacles au glissement des dislocations, et sont responsables d’une amélioration des propriétés mécaniques de l’alliage, en particulier sa limite d’élasticité. Ces précipités possèdent une composition et une structure cristalline différentes de la matrice, conduisant à l’existence d’un désaccord paramétrique entre les deux phases. L’énergie élastique générée par ce désaccord paramétrique peut être relaxée par l’apparition de dislocations à l’interface précipité/matrice. L’apparition de telles dislocations est qualifiée de “perte de cohérence”, du fait de l’introduction d’une discontinuité entre les réseaux cristallins. Dans le cas des alliages Al-Sc, la perte de cohérence des précipités Al3Sc conduit à une chute des propriétés mécaniques de l’alliage et modifie la cinétique de mûrissement des précipités.

Les superalliages nickel-aluminium constituent un autre exemple de matériaux microstructurés. Ces alliages sont constitués d’une matrice notée γ et d’une forte fraction volumique de précipités Ni3Al notés γ’ . Ces alliages présentent d’excellentes propriétés mécaniques à haute température (fluage), c’est pourquoi ils sont utilisés dans les turbines de turbo-réacteur. À haute température, les interactions entre microstructures en évolution et plasticité de la matrice sont en partie responsables de la transition morphologique des précipités qui coalescent suivant une direction privilégiée. Dans ces alliages, la présence de dislocations d’interface modifie également la morphologie des interfaces et conduit à l’apparition de dentelures.

Aux températures élevées où la microstructure évolue, la diffusion des lacunes est également activée. L’absorption et l’émission de lacunes par les dislocations conduit à un changement de leur plan de glissement. Ce mouvement hors-plan est désigné sous le terme de montée. Lorsque la montée des dislocations est activée, les interactions entre dislocations et précipités sont différentes de celles qui prédominent à plus basse température.

Modèle d’élasticité non-linéaire pour la dynamique des dislocations

Modélisation continue des dislocations

Par opposition à la dislocation de Voltera qui est définie comme un défaut dans un matériau continu et parfaitement élastique (Hirth 68), les approches présentées dans cette section s’attachent à prendre en compte l’influence de la périodicité du réseau sur les propriétés des dislocations, en particulier sur la structure de cœur de cellesci. Ces différents modèles ont pour point commun de reposer sur un équilibre entre une contribution élastique linéaire et un potentiel périodique représentatif du réseau cristallin.

Le modèle de Frenkel-Kontorova (MFK)
Frenkel et Kontorova (Frenkel 39) proposent un modèle unidimensionnel contenant l’essentiel de la physique de la dislocation, c’est-à-dire l’élasticité du milieu et la périodicité du réseau cristallin. Ce modèle est présenté dans de nombreux ouvrages de référence, en particulier (Hirth 68) duquel nous reprenons les principales étapes. Le modèle de Frenkel-Kontorova (MFK) s’attache à étudier le comportement d’une chaine de masses reliées entre elles par des ressorts évoluant dans un paysage énergétique périodique . Dans ce modèle simple, une dislocation coin peut être vue comme un défaut le long de la ligne élastique où deux masses successives sont positionnées dans le même puits du potentiel périodique. Les masses représentent les atomes du plan supérieur au plan de glissement et le potentiel périodique l’interaction non-linéaire entre les plans cristallins.

Des extensions du MFK ont été proposées par la suite. On peut noter les travaux de Landau et al. (Landau 93, Landau 94) qui proposent une extension à deux dimensions du MFK original tout en conservant une seule composante du champ de déplacements. Elle est utilisée pour étudier l’équilibre et la dynamique de dipôles de dislocations. Carpio et Bonilla reprennent (Carpio 03a) et étendent ce modèle à trois dimensions en prenant en compte trois composantes du déplacement (Carpio 05). Les auteurs proposent également une méthode pour généraliser le MFK à une symétrie quelconque en utilisant un repère non orthonormé conforme au réseau cristallin. Les cas particuliers d’une symétrie cubique faces centrées et cubique centrée sont étudiés. Cependant, cette approche ne permet pas de prendre en compte les 12 systèmes de glissement de ces structures cristallines.

Le modèle de Peierls-Nabarro (MPN) 

L’approche de Peierls (Peierls 40) reprise et corrigée par Nabarro (Nabarro 47) repose sur les mêmes ingrédients que le MFK mais pallie certaines limitations de ce dernier en proposant une solution analytique simple qui prend en compte la réponse élastique du matériau autour de la dislocation.

Le cœur des dislocations dans le MPN
Le MPN est amplement détaillé dans de nombreux ouvrages de référence (Hirth 68, Hull 84, Lu 05). Nous suivrons l’approche proposée par Joós et al. (Joós 97) qui se distingue des raisonnements habituels en définissant les déplacements à partir d’une référence plus claire. Bien évidemment, les différentes approches conduisent aux mêmes résultats. On considère deux demi-volumes qui se comportent de manière élastique et qui interagissent via un potentiel non-linéaire périodique . Le comportement élastique des demi-volumes est supposé isotrope avec µ la constante élastique de cisaillement et ν le coefficient de Poisson.

La contrainte de Peierls 

Jusqu’à présent, le MPN est exprimé dans un continuum. La discrétisation du modèle sur un réseau dont le pas est égal à la distance inter-atomique fait apparaître une friction de réseau, et une contrainte seuil qu’il faut dépasser pour mettre en mouvement la dislocation. Cette contrainte est appelée contrainte de Peierls.

On déplace la dislocation d’une quantité αb par rapport à sa position initiale. On suppose que la contribution de l’énergie élastique reste constante lors de ce déplacement (l’essentiel de cette contribution étant portée par le comportement à longues distances du champ de déformation, peu sensible à la position de la dislocation vis à vis de la discrétisation du réseau) et que seule l’énergie de faute d’empilement est modifiée. Cette énergie est évaluée comme une somme discrète tenant compte de la périodicité du réseau cristallin. Dans les approches originales de Peierls (Peierls 40) et Nabarro (Nabarro 47), les auteurs considèrent que le cœur de la dislocation est large et que les rangées atomiques supérieures sont arrangées en quiconque par rapport aux rangées atomiques inférieures au plan de glissement.

En conclusion, le MPN constitue une approche intéressante pour obtenir des informations qualitatives sur la structure de cœur des dislocations et sur les dépendances de la contrainte de Peierls. Cependant, sa simplicité ne permet pas d’en tirer des résultats quantitatifs comme en témoigne le relatif succès des comparaisons avec les résultats expérimentaux (Wang 96b, Nabarro 97, Ohsawa 97). Sa principale limitation réside dans le choix du potentiel non linéaireet de son caractère unidimensionnel. En effet, la plupart des matériaux sont caractérisés par des énergies de faute d’empilement (ou γ-surfaces) beaucoup plus complexes (Vitek 68). On peut noter que de nombreuses approches numériques (Joós 94, Bulatov 97, Denoual 04, Xiang 08) s’attachent à généraliser le MPN afin d’obtenir une structure de cœur et une contrainte de Peierls réalistes dans le cas d’une γ-surface quelconque.

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Table des matières

Introduction
1 Modèle d’élasticité non-linéaire pour la dynamique des dislocations
1.1 Modélisation continue des dislocations
1.1.1 Le modèle de Frenkel-Kontorova (MFK)
1.1.2 Le modèle de Peierls-Nabarro (MPN)
1.1.3 Modèles de champ de phase pour les dislocations
1.1.4 Modèles d’élasticité périodique pour des dislocations
1.2 Ecriture d’un modèle d’élasticité périodique
1.2.1 Introduction du modèle d’élasticité périodique dans un cas simple
1.2.2 Généralisation au cas 3D non isotrope
1.2.3 Implémentation numérique
1.3 Validation du modèle
1.3.1 Structure de cœur
1.3.2 Champs de contrainte à longue distance
1.3.3 Contrainte de Peierls
1.4 Conclusion
2 Perte de cohérence par nucléation de dislocations
2.1 Introduction
2.1.1 Observations expérimentales
2.1.2 Etudes théoriques
2.2 Formation de boucles prismatique – Processus d’Ashby et Johnson
2.3 Processus plus complexes
2.4 Génération de trains de boucles prismatiques
2.5 Conclusion
3 Interactions dislocations/microstructure en évolution dans l’alliage Al-Sc
3.1 Études théoriques de l’influence des dislocations sur l’évolution microstructurale
3.2 Description des alliages aluminium-scandium
3.2.1 Desctiption de la phase Al3Sc
3.2.2 Influence des précipités Al3Sc sur les propriétés mécaniques
3.3 Développement d’un modèle de champ de phase pour l’alliage Al-Sc
3.3.1 Energie libre du système
3.3.2 Paramétrage des fonctions fch et fgrad
3.3.3 Paramétrage de l’énergie élastique
3.3.4 Equations dynamiques
3.3.5 Adimensionnement et résolution numérique du modèle
3.4 Influence des dislocations sur la morphologie d’une interface plane
3.4.1 Observations expérimentales
3.4.2 Approche analytique
3.4.3 Comparaison avec les observations expérimentales de l’alliage CMSX-4
3.4.4 Simulations champ de phase
3.5 Interaction entre une boucle d’Orowan et un précipité sphérique
3.6 Influence d’une dislocation sur la mobilité d’une interface
3.7 Perspective d’application : hydrures dans le zirconium
3.8 Conclusion
4 Modèle champ de phase pour la montée des dislocations
4.1 Les différentes approches de la montée des dislocations
4.1.1 Calcul de la vitesse de montée dans un cas simple
4.1.2 Calcul de la vitesse de montée dans le cas d’une concentration faible en crans
4.1.3 Mesures expérimentales de la vitesse de montée
4.1.4 Les techniques de simulation pour l’étude de la montée
4.2 Modèle champ de phase pour la montée des dislocations
4.2.1 Présentation du modèle
4.2.2 Analyse du modèle
4.3 Montée de dislocations isolées et influence du paramètre L
4.3.1 Montée sous l’effet d’une contrainte appliquée
4.3.2 Montée pilotée par une sursaturation
4.4 Influence des interactions élastiques entre lacunes et dislocations
4.4.1 Concentration à l’équilibre
4.4.2 Influence sur la vitesse de montée – approche analytique
4.4.3 Simulations champ de phase et résultats contradictoires
4.4.4 Influence de l’élasticité des lacunes sur la dislocation
4.4.5 Interactions élastiques lacunes-lacunes
4.4.6 Effet de traînée de Cottrell
4.5 Montée de dislocations non isolées
4.5.1 Influence de la distribution des dislocations
4.5.2 Vers le fluage
4.5.3 Annihilation d’un dipôle et influence de l’élasticité
4.6 Conclusion
Conclusion générale

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