Constante systolique et variétés plates

La structure des variétés plates

   Une variété riemannienne plate est une variété riemannienne localement isométrique à l’espace euclidien En. Si une telle variété est complète, l’application exponentielle est un revêtement riemannien : les variétes plates complètes sont les quotients de l’espace euclidien par un sous-groupe d’isométries affines opérant proprement et librement. En particulier, les variétés compactes et plates sont les quotients En/Γ où Γ est un sous groupe discret, cocompact et sans points fixes d’isométries affines de En . Suite à [20], nous appelerons groupes de Bieberbach de tels groupes. Une variété de Bieberbach sera pour nous une variété compacte qui porte une métrique plate, c’est à dire une variété difféomorphe à En/Γ. Le théorème de Bieberbach assure plus généralement qu’un groupe cristallographique, c’est-à-dire un sous groupe discret et cocompact Γ, est une extension d’un groupe fini G par un réseau Λ de En . Ce réseau est le sous-groupe des éléments de Γ qui sont des translations. Nous l’appelerons dans la suite le réseau associé à Γ. Notons qu’un groupe cristallographique est un groupe de Bieberbach si et seulement si il est sans torsion (voir [33], p.99).

Isométries

   Le groupe des isométries de E/Γ est le quotient N(Γ)/Γ, où N(Γ) désigne le normalisateur de Γ dans Isom(E) (isométries affines). En particulier, pour un tore plat E/Λ, N(Λ) est le sous-groupe de Isom(E) qui laisse le réseau globalement invariant. C’est le produit semi direct OΛoE, où OΛ est le sous groupe des isométries linéaires qui laissent Λ globalement invariant. Finalement, Isom(E/Λ) ‘ OΛ o (E/Λ) : l’action de OΛ sur E passe au quotient, et l’application de passage au quotient est un isomorphisme. Notons que la symétrie par rapport à un point de En passe au quotient et possède 2 n points fixes ; c’est la symétrie géodésique par rapport à ces 2 n points fixes simultanément. Pour un réseau générique, ces isométries sont les seules isométries n’appartenant pas à la composante neutre de Isom(En/Λ).

Les isométries de la bouteille de Klein plate

   Le plan euclidien étant rapporté à une base orthonormée, les bouteilles de Klein plates sont les variétés R2/Γ, où Γ est engendré par la symétrie glissée (x, y) 7→ (x +a2, −y) et la translation (x, y) 7→ (x, y + b). Nous noterons Ka,b(ou simplement K quand la donnée de a et b est sous-entendue ou inutile), la variété riemanniennne plate ainsi obtenue. Rappelons que les géodésiques “horizontales” de Ka,b sont fermées de longueur a, à l’exception de deux d’entre elles qui sont de longueur a 2 (cf. [22] p.82-83). Cela permet de voir Ka,b comme le recollement de deux rubans de Möbius plats de largeur b 2 le long de leur bord. Cette identification n’est pas seulement topologique mais aussi riemannienne : la réflexion orthogonale par rapport au bord commun est une isométrie qui échange les deux rubans. La composante neutre de Isom(K) est formée des translations horizontales rα : (x, y) 7→ (x + α, y) (α étant pris modulo a). A signaler : la translation (x, y) 7→ (x + a 2 , y) qui coïncide avec (x, y) 7→ (x, −y). Elle laisse fixes les deux géodésiques horizontales courtes y = 0 et y = b/2. C’est la symétrie orthogonale par rapport à ces deux géodésiques simultanément. Le quotient Isom(K)/Isom0(K) est isomorphe au groupe du matelas, appelé aussi groupe de Klein (c’est plus qu’une coïncidence !). Les trois éléments non triviaux de ce quotient peuvent être représentés par

1. une réflexion par rapport à une géodésique verticale, qui est aussi une symétrie par rapport à un point d’une géodésique horizontale courte. On notera par S1 une telle transformation.

2. une symétrie par rapport à un point du bord commun des deux rubans. Nous noterons S2 une telle symétrie. Rappels et compléments sur les variétés plates 17

3. la réflexion par rapport à ce bord commun, ou la transformation obtenue par passage au quotient de (x, y) 7→ (x, y + b/2). Nous noterons T cette dernière transformation. Notons enfin qu’un difféomorphisme affine d’une bouteille de Klein plate est une isométrie.

Les 3-variétés de Bieberbach

  On a vu dans le paragraphe précédent que la bouteille de Bavard (K, b) a le même groupe d’isométries que celui d’une bouteille de Klein plate et que Isom(K, b)/Isom0(K, b) s’identifie à Z2 × Z2. En utilisant ces isométries, on peut reprendre les constructions par suspensions (déjà faites au premier chapitre) pour obtenir sur toutes les variétés de Bieberbach non-orientables de dimension 3 des métriques riemanniennes singulières. En dehors de la singularité, le modèle local de toutes ces métriques est (S2 × R, dφ2 + cos2 φdθ2 + dt2) Le lieu singulier est formé de tores plats de dimension 2. En prenant le bon choix des paramètres de ces métriques, on va pouvoir améliorer le rapport systolique des métriques plates sur ces variétés.

Métriques singulières sur les variétés de Bieberbach orientables

   Pour un réseau quelconque ∆ de R2 , on introduit le pavage de DirichletVoronoï associé. C’est un pavage du plan par des hexagones (ou des rectangles si le réseau ∆ est rectangle) Ap centrés aux points p du réseau. Alors un réseau de R 3 de la forme ∆ × cZ, où c ∈ R, nous permet de paver R 3 naturellement par des prismes hexagonaux ou rectangles que l’on note Dp. On introduit alors sur R3 la métrique riemannienne singulière h = dx2 +dy2+ψ(m)dz2 , où l’on a posé, pour m(x, y, z) ∈ Dp, ψ(m) = cos2 dist (x, y), p, avec dist (x, y), p < π/2. Si m appartient à deux domaines Dp et Dp 0 alors p et p 0 sont à la même distance de m : la fonction ψ est bien définie. Elle est continue, mais pas C 1 . La composante neutre du groupe des isométries des (R 3 , h) est formée des translations verticales (x, y, z) 7→ (x, y, z +c 0 ). Les translations par les vecteurs de ∆ sont aussi des isométries. Il est important de noter que la métrique h s’écrit aussi dx2 + dy2 + cos2 d((x, y), ∆), où d((x, y), ∆) est la distance du point (x, y) au réseau ∆. Le quotient de (R 3 , h) par le groupe ∆ ×cZ (où c > 0) est un tore singulier de dimension 3. On note ce tore par (T, h). Les sections de ce tore par les plans z = constante sont des tores plats géodésiques de dimension 2, tous ces tores plats sont isométriques à R 2/∆. Il faut noter que l’application de (T, h) dans le tore R 2/∆, qui consiste à projeter sur le tore z = 0, est une submersion riemannienne. Avec un bon choix du réseau ∆, les transformations ta3/n ◦ ra3,2π/n (n = 2, 3, 4, 6), déjà décrites dans la classifications des variétés plates orientables, deviennent des isométries de (T, h) (il faut que le réseau ∆ soit carré pour obtenir C4 et hexagonal pour obtenir C3 et C6). On obtient de cette façon des familles de métriques riemanniennes singulières sur les variétés de type C2, C3, C4 et

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Table des matières

Introduction
1 Rappels et compléments sur les variétés plates 
1.1 Rappels sur les variétés plates
1.2 Classification des variétés plates compactes et connexes de dimension 3
1.3 Les variétés plates à bord géodésique
1.4 Cas des variétés de dimension 3
2 Les métriques singulières 
2.1 Définition des métriques singulières
2.2 Métriques singulières sur des variétés de Bieberbach non orientables
2.3 Métriques singulières sur les variétés de Bieberbach orientables
2.4 Des métriques singulières aux métriques lisses
3 Les variétés de Bieberbach orientables 
3.1 Deux tores singuliers et leur systole
3.2 Quotient systolique de C2
3.3 Type C4
3.4 Type C6
3.5 Type C2,2
3.6 Type C3
4 Les variétés de Bieberbach non-orientables 
4.1 Quelques propriétés géométriques de la bouteille singulière
4.2 Calcul des systoles dans le cas plat et dans le cas singulier
Conclusion

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