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Connexion linéaire et géométrie riemannienne
Groupes d’holonomies et structure riemannienne
Dans cette section, nous allons voir que sous la condition de relative compacité des groupes d’holonomies, on construit une structure riemannienne à partir d’une connexion sur une variété différentiable. Définition 3.1.1. [7] Soit 𝑋 une variété différentiable, 𝑇 𝑋 un fibré tangent sur 𝑋 et ∇ la connexion de Levi-Civita sur 𝑇 𝑋. Soit 𝛾 : r0, 1s Ñ 𝑋, 𝛾p0q “ 𝑥, 𝛾p1q “ 𝑦 avec 𝑥, 𝑦 P 𝑋 une courbe lisse par morceaux sur 𝑋. On dit qu’un champ 𝑈p𝑡q est parallèle le long de la courbe 𝛾 lorsque 𝐷𝑈 𝑑𝑡 p𝑡q “ 0, où 𝐷𝑈 𝑑𝑡 p𝑡q désigne la dérivée covariante du champ 𝑈p𝑡q le long de la courbe 𝛾, il est défini par 𝐷𝑈 𝑑𝑡 p𝑡q “ ∇𝛾9 p𝑡q𝑈p𝑡q. On appelle alors transport parallèle toute application linéaire
Les variétés riemanniennes
Présentons les notions de variétés riemanniennes, en commençant avec les variétés différentiables, puis les champs des vecteurs.
Rappels
Soit 𝑋 un espace topologique séparé. On dit que 𝑋 est une variété topologique de dimension 𝑛 si tout point 𝑝 de 𝑋 a un voisinage ouvert 𝑉𝑝 homéomorphe par 𝜙𝑝 à un ouvert 𝜙𝑝p𝑉𝑝q de R 𝑛 Formellement, on a @𝑝 P 𝑋, D𝑉𝑝 Ă 𝑋, et 𝜙𝑝 : 𝑉𝑝 Ñ 𝜙𝑝p𝑉𝑝q Ă R 𝑛 un homéomorphisme.Dans la définition, p𝑉𝑝, 𝜙𝑝q est appelé carte locale de 𝑋.
Définition
Soit l’homéomorphisme 𝜙𝑝 : 𝑈𝑝 Ñ 𝜙𝑝p𝑈𝑝q. Pour tout point 𝑞 de 𝑈𝑝, 𝜙𝑝p𝑞q est un point de R 𝑛 et d’autre part on a les coordonnées euclidiennes usuelles p𝑥1p𝜙𝑝p𝑞qq, ¨ ¨ ¨ , 𝑥𝑛p𝜙𝑝p𝑞qqq pour 𝜙𝑝p𝑞q Le théorème suivant nous permet d’avoir un lien étroit entre une variété différentiable et une variété analytique réelle. En effet, toute variété analytique réelle estune variété différentiable. La réciproque est le théorème suivant :
Théorème .
(Théorème de Whitney) Toute variété différentiable de dimension n, admet une structure analytique réelle.
Définition
Soit 𝑋 une variété différentiable. On dit que 𝑋 est paracompacte si pour tout recouvrement ouvert p𝑈𝑖q𝑖P𝐼 de 𝑋, il existe un recouvrement ouvert p𝑈𝑗 q𝑗P𝐽 de 𝑋 qui est plus fin que p𝑈𝑖q𝑖P𝐼 et localement fini, c’est-à-dire, @𝑖 P 𝐼, D𝑗 P 𝐽; 𝑈𝑖 Ă 𝑈𝑗 et puis tout 𝑥 de 𝑋 possède un voisinage 𝒱𝑥 qui ne rencontre qu’un nombre fini des 𝑈𝑗
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Exemple
(Variété analytique réelle) L’espace projectif réel 𝑃𝑛 pRq. Définissons la relation d’équivalence de colinéarité ℛ sur R 𝑛`1 zt0u. Soient 𝑥 et 𝑦 deux point de R 𝑛`1 zt0u, 𝑥 est dit en relation avec 𝑦 (𝑥ℛ𝑦) s’il existe 𝜆 P R ˚ tel que 𝑥 “ 𝜆𝑦. Soit 𝑥 P R 𝑛`1 zt0u, alors .
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Table des matières
Remerciements Notations Introduction Les variétés riemanniennes Rappels Les structures riemanniennes Connexion linéaire et géométrie riemannienne Connexion linéaire Connexion de Levi-Civita Construction d’une structure riemannienne Groupes d’holonomies et structure riemannienne Variétés analytiques réelles et structure riemannienne Enveloppe linéaire de la courbure et structure riemannienne Reconnaissance d’une connexion riemannienne par un algorithme et applications Table des matières Algorithme pour une structure riemannienne . Applications Conclusion Bibliographie
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