Conditions de Prüfer dans les sous-anneaux rétractés et quelques applications

Mémoire de fin d’études pour l’obtention du diplôme de master mathématiques et applications au calcul scientifique

L’image homomorphe des conditions de Prüfer

Théorème 3.2.1 (1) L’image homomorphe d’un anneau Gaussien est Gaussienne. (2) L’image homomorphe d’un anneau arithmétique est arithmétique.
Preuve : (1) voir [45] et (2) voir [16]. I Maintenant, on donne un exemple qui montre que l’image homomorphe d’un anneau de Prüfer n’est pas, en général, de Prüfer. C’est aussi un exemple d’un anneau de Prüfer, qui n’est pas Gaussien
Exemple 3.2.2 Soient A un domaine local, qui n’est pas de valuation, M son idéal maximal, E un Amodule tel que ME = 0, et R := A ∝ E, l’extension trivial de A par E. Considérons l’homomorphisme d’anneaux suivants : f : R −→ A (a,e) 7−→ a Alors : (1) R est un anneau de Prüfer ( car c’est un anneau total des fractions ). (2) D’après le théorème 3.2.1(1); R n’est pas un anneau Gaussien, car h(R) = A n’est pas un domaine Gaussien.

Remarque 3.2.3 L’exemple suivant montre que, l’image homomorphe d’un anneau semi-héréditaire (Respectivement, d’un anneau avec w.dim(R) ≤ 1) n’est pas toujours un anneau semi-héréditaire (Respectivement, un anneau de dimension globale faible inférieur ou égal à 1 ).

Exemple 3.2.4 Soient A = K[[X]] l’anneau des séries formelles sur un corps K, et I = (Xn) l’idéal de A engendré par Xn, où n ≥ 2. Soit R := A/I. Alors on a : 33
(1) A est un domaine de valuation discrète. (2) R est un anneau arithmétique Noethérien. (3) w.dim(R) = ∞. En particulier, R n’est pas semi-héréditaire.

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Table des matières

Introduction
1 Les conditions de Prüfer dans les anneaux contenant des diviseurs de zéro
1.1 Préliminaires
1.2 Implication et contre-exemples
1.2.1 Relation entre les anneaux semi-héréditaire et les anneaux avec w.dim(R) ≤ 1
1.2.2 Relation entre les anneaux R de w.dim(R)≤ 1 et les anneaux arithmétiques
1.2.3 Relation entre les anneaux arithmétiques et les anneaux Gaussiens
1.2.4 Relation entre les anneaux Gaussiennes et les anneaux de Prüfer
2 Les anneaux de Prüfer
2.1 Propriétés des anneaux de Prüfer
2.2 Extensions des anneaux multiplicatifs : anneaux arithmétiques et anneaux de Prüfer
2.3 Extensions à l’algèbre homologique : anneaux de dimension globale faible inférieure ou égale à 1
2.4 Mise au point récente sur les anneaux Gaussiens
2.5 Les conditions de Prüfer sur l’anneau total des fractions
3 Transfert des conditions de Prüfer aux localisations
3.1 Localisation des conditions de Prüfer
3.2 L’image homomorphe des conditions de Prüfer
3.2.1 Cas particulier de l’image homomorphe : produit direct d’anneaux
4 Les conditions de Prüfer dans les produits fibrés
4.1 Principaux résultats
5 Extensions triviales définies par des conditions de Prüfer
5.1 Extensions triviales
5.2 Extensions de domaines
5.3 Une classe d’anneaux total des fractions
5.4 Conjecture de Kaplansky-Tsang-Glaz-Vasconcelos
6 Les Conditions de Prüfer dans La duplication amalgamée d’un anneau le long d’un idéal
6.1 Définitions et notations
6.2 Transfert de la condition anneau de Prüfer
6.3 Transfert des conditions, arithmétique, Gaussien, et fqp
6.4 Dimension globale faible et transfert de la condition semi-héréditaire
7 Conditions de Prüfer dans les sous-anneaux rétractés et quelques applications
7.1 Transfert des conditions de Prüfer aux sous-anneaux rétractés
7.1.1 Transfert des propriétés Gaussien, Prüfer, et arithmétique
7.2 Application sur des anneuax particuliers
7.2.1 Première Application : Extensions triviales
7.2.2 Deuxième Application : Anneau de Nagata
Bibliographie

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