Soutenance mémoire
Polarisation de la lumière et ses formalismes
Introduction
Dans cette partie, je me propose de vous présenter le principe de la polarimétrie de Mueller. Pour cela, je commencerai par donner des notions de polarisation de la lumière [2] afin d’introduire les concepts qui permettent de la décrire. Celle-ci est basée sur le formalisme de Stokes-Mueller : la lumière est décrite par des quantités directement observables que sont les intensités (au lieu des champs électriques). Je définirai également les composants optiques de polarisation (dichroïque, déphaseur, dépolariseur), suivies des matrices de Mueller associées. Enfin, cette partie du mémoire présentera la décomposition polaire de la matrice de Mueller en trois éléments (dichroïque, déphaseur et dépolariseur) proposée par Lu et Chipman [6][7][8], très utile dans l’interprétation et la réduction des données expérimentales.
Notion de polarisation de la lumière
La lumière est une composition d’ondes électromagnétiques, caractérisée par un vecteur d’onde k et des champs électrique E et magnétique B , issus des équations de Maxwell. Ce vecteur d’onde est décrit par les amplitudes Ep et Es du champ électrique dans deux directions perpendiculaires au vecteur d’onde. La figure 1 illustre les directions des polarisations s et p. La polarisation s, perpendiculaire au plan d’incidence (en pointillé), et la polarisation p, contenue dans ce plan, sont illustrés avec un échantillon placé en transmission.
Formalisme de Stokes
Nous avons traité précédemment le cas d’ondes complètement polarisées, c’est-à dire d’ondes pour lesquelles les amplitudes E0x, E0y et la différence de phase φ peuvent être considérées comme constantes pendant la durée de la mesure. Dans le but d’aborder le phénomène de polarisation partielle, et donc de dépolarisation, il convient d’introduire les paramètres de Stokes. Bien que le formalisme de Stokes ait été conçu en 1852, il n’a suscité qu’un faible intérêt en optique jusque dans les années 1950. Pourtant, il permet de décrire un faisceau lumineux complètement, partiellement ou pas du tout polarisé, monochromatique ou polychromatique. Vecteur de Stokes 2.2.3.1
Cas d’une onde complètement polarisée
Afin d’introduire la signification de ces paramètres, nous nous plaçons tout d’abord dans le cas d’une onde monochromatique de polarisation elliptique (figure 2). Après quelques développements sur l’équation de l’ellipse de polarisation [4], nous obtenons :
Cas d’une onde partiellement polarisée
Le formalisme de Stokes est utilisé pour décrire la polarisation de la lumière par des quantités directement observables, c’est-à-dire l’intensité de la lumière au lieu de l’amplitude du champ électrique utilisé dans le cas du formalisme de Jones. L’idée de Stokes fut d’introduire dans l’équation de l’ellipse (équation 2-3) non plus des termes d’amplitudes mais des termes relatifs à des moyennes temporelles. En généralisant l’écriture de Stokes pour n’importe quel état de polarisation (qu’il soit complèteme nt ou partiellement polarisé), les paramètres de Stokes vérifient la relation suivante (inégalité de Stokes-Verdet) où < > représente la moyenne d’ensemble (temporelle et spatiale) sur le temps d’intégration T.
Principe d’équivalence optique
Après avoir défini un formalisme pour décrire la polarisation qui portera postérieurement son nom à titre honorifique, Stokes énonce son « principe d’équivalence optique » : deux faisceaux ayant le même vecteur de Stokes ne sont pas différenciables au regard de leur intensité, degré de polarisation et état de polarisation mais peuvent l’être par leur géométrie spatiale, leur distribution spectrale en énergie, leur phase ou leurs fluctuations de phase.
Sphère de Poincaré
Les différents formalismes matriciels présentés précédemment permettent de caractériser l’état de polarisation d’un faisceau traversant un ou plusieurs éléments optiques successifs. Cependant, il n’est pas toujours aisé de se représenter un vecteur de Stokes ou l’évolution d’un état de polarisation lors de la traversée d’un milieu. Henri POINCARE, en 1892, a montré qu’il était possible de résoudre ce problème de façon géométrique. Il a démontré qu’à chaque état de polarisation pur d’une onde lumineuse est associé un point sur une sphère.
Représentation de différents états de polarisation
Nous pouvons représenter géométriquement l’état de polarisation dans le but d’interpréter le vecteur de polarisation. La projection sur une sphère (figure 3) d’un état de polarisation correspond à un point P dont les coordonnées dans le repère (x, y, z) sont définies en fonction des deux paramètres caractéristiques de l’ellipse de polarisation (équation 2-31) : l’ellipticité et l’azimut de l’ellipse de polarisation (figure 2).
Nous observons que les coordonnées (x, y, z) correspondent aux composantes du vecteur de Stokes normalisé défini par l’équation précédente. Le rayon de la sphère dépend du degré de polarisation. Un état partiellement ou totalement dépolarisé peut ainsi être représenté.
Nous pouvons faire quelques remarques sur la représentation graphique de différents états de polarisation (figure 5) :
• les polarisations rectilignes sont représentées par des points sur l’équateur (ellipticité nulle) ;
• les polarisations circulaires sont représentées aux pôles : les pôles nord et sud correspondent respectivement à un état de polarisation circulaire droite et gauche ;
• les hémisphères nord et sud correspondent respectivement aux polarisations elliptiques droites et gauches ;
• deux états de polarisation orthogonaux sont représentés par deux points diamétralement opposés sur la sphère.
Intérêt de la sphère de Poincaré
Cette représentation est bijective : chaque point de la sphère représente un état de polarisation différent et réciproquement. Nous pouvons par ailleurs suivre l’évolution d’un état de polarisation à travers un système optique : elle se traduit par le déplacement du point représentatif de cet état sur la sphère.
D’ailleurs, cette représentation a pour autre intérêt de représenter le cas de lumière totalement polarisée (figure 6.a). Dans le cas d’une lumière partiellement polarisée, les points représentatifs ne sont pas distribués uniformément mais se regroupent autour du point correspondant à la valeur la plus probable de l’état de polarisation (figure 6.b).
Plus la distribution sera étroite autour du point central, plus la lumière se comportera comme une lumière polarisée caractérisée par un état donné. Une lumière complètement dépolarisée peut être considérée comme la résultante d’un mélange de tous les états de polarisation, ceux-ci étant équi-répartis sur la sphère. Le point représentatif est alors à l’origine (figure 6.c).
Eléments optiques simples
Un élément optique peut modifier la polarisation d’une onde incidente par trois effets :
• le dichroïsme (modification des amplitudes des composantes du champ électrique) ;
• la biréfringence (modification des phases des composantes du champ électrique) ;
• la dépolarisation (évolution devenue aléatoire du champ électrique).
Nous nous proposons donc de maintenant décrire les effets optiques cités ci-dessus, puis nous définirons les matrices de Mueller associées ainsi que les grandeurs polarimétriques (diatténuation, retardance, pouvoir de dépolarisation) qui en découlent.
Elément dichroïque ou diatténuateur
Un élément optique dichroïque présente une anisotropie d’absorption ; il modifie uniquement les amplitudes des composantes du champ électrique. Sa transmission en intensité dépend donc de l’état de polarisation incident. La première ligne de la matrice de Mueller M détermine complètement la transmission en intensité. Les transmissions maximale Tmax et minimale Tmin sont données par les relations suivantes.
Elément dépolarisant
Les éléments présentés précédemment (diatténuateurs et déphaseurs) sont des éléments optiques qui transforment un état totalement polarisé en un autre état totalement dépolarisé. Dans certains cas, un système optique peut transformer un état totalement polarisé en un état partiellement polarisé, on dit alors que le milieu introduit de la dépolarisation.
Dans ce cas, il n’est pas possible de représenter cet élément par une matrice de Jones mais uniquement par une matrice de Mueller.
Le cas le plus simple est celui d’un dépolariseur total qui transforme un vecteur de Stokes quelconque en un vecteur de Stokes correspondant à une lumière totalement dépolarisée.
Conception d’un polarimètre
Introduction
Les évolutions successives dans le domaine du développement polarimétrique ont conduit le laboratoire à travailler sur de nouvelles applications (chapitre 5). Cette technique permet de mesurer les propriétés optiques des échantillons étudiés tels que la biréfringence, l’anisotropie,…
Dans ce chapitre, je me propose de décrire le principe général d’un polarimètre de Mueller ainsi que la méthode d’étalonnage mise en place et appliquée au laboratoire . Je présenterai plus précisément l’expérience d’instrumentation polarimétrique sur laquelle j’ai travaillé avec Antonello DE MARTINO et je décrirai l’instrument, les différents éléments qui le composent ainsi que les méthodes de réalignement optique de l’instrument.
Principe général
La polarimétrie est une technique optique de caractérisation de surfaces se servant du changement de polarisation d’un faisceau après transmission ou réflexion sur ces surfaces.
Il existe deux intérêts particuliers de concevoir un polarimètre :
• réaliser des mesures optiques non destructives in-situ. Pour obtenir des informations telles que le nombre de couches minces et leur épaisseur, qui forment un composant.
• avoir un appareil sensible à des effets d’interfaces fins tels que la formation de monocouches atomiques ou moléculaires. Un polarimètre est constitué d’une source, d’un générateur d’états de polarisation (PSG : Polarization State Generator), d’un échantillon que l’on cherche à caractériser, d’un analyseur d’états de polarisation (PSA : Polarization State Analyzer) et enfin d’un détecteur. Les figures 7 et 8 représentent respectivement un polarimètre monté en transmission et en réflexion.
Le faisceau provenant de la source traverse le PSG qui génère quatre états de polarisation. Il est ensuite transmis ou réfléchi par l’échantillon et traverse le PSA qui analyse séquentiellement les différents états de polarisation généré par le PSG. On utilise ensuite un détecteur pour récupérer l’information. Le PSG peut être représenté, en polarimétrie, par une matrice appelée W car les composantes du PSG sont des vecteurs (plus précisément de Stokes) et représentent quatre états de polarisation.
Le PSA analyse les états de polarisation venant de l’échantillon et peut être représenté par une matrice appelée A. De la même manière, cette matrice contient quatre vecteurs de Stokes ayant chacun quatre éléments, qui vont analyser les états générés par le PSG. Il a pour rôle de créer une base d’état de référence, sur laquelle seront projetés les vecteurs de Stokes provenant de l’échantillon.
Obtenir une matrice de Mueller par la mesure revient à réaliser seize mesures. Elle sera donc constituée de seize éléments et chacun d’eux sera le résultat de la projection d’un état généré par le PSG sur un des états du PSA. La matrice obtenue est donc une matrice.
Principe de l’étalonnage et validation du système
La méthode d’étalonnage présentée dans ce chapitre est la méthode dite des valeurs propres. Elle a été élaborée par Eric COMPAIN [13] au LPICM et a pour avantage de proposer un modèle global pour les matrices du PSG et du PSA. Cette méthode réduit considérablement le nombre de mesures à effectuer pour étalonner par rapport à une méthode « classique » dans laquelle on chercherait à définir avec précision les matrices des éléments optiques composant le PSG et le PSA. Nous avons besoin d’au moins trois éléments d’étalonnage afin de pouvoir aboutir à une matrice de Mueller réelle et unique.
Base de toutes les méthodes d’étalonnage
Le principe de l’étalonnage repose sur la manipulation de matrices théoriques (ou idéales) et expérimentales (les mesures). Afin de distinguer clairement les unes des autres, les matrices théoriques seront notées en majuscules, par exemple le produit des matrices A, M et W sera noté AMW, tandis que la matrice mesurée, produite par la suite des éléments optiques ayant pour matrices idéales A, M et W, sera notée (amw). Le bloc (amw) représente une seule matrice de dimension : il est donc impossible d’appliquer les règles de l’algèbre des matrices sur a, m et w séparément.
Introduction générale sur les cristaux liquides
Avant de présenter dans le paragraphe 3.4 les deux éléments fondamentaux du polarimètre que se sont le PSG et le PSA, il nous paraît nécessaire de faire une introduction sur le fonctionnement des cristaux liquides et sur leur utilisation pour générer des états de polarisation.
Les cristaux liquides sont des matériaux présentant des propriétés physiques intermédiaires entre les phases solides et liquides, schématisées sur la figure 9. On peut les considérer simplement comme un liquide avec une orientation préférentielle des molécules.
Une conséquence immédiate est l’anisotropie des propriétés tensorielles des cristaux liquides (optiques, diélectriques, magnétiques, mécaniques, etc.). Cette anisotropie est généralement plus élevée que dans les cristaux. En effet, La différence des indices de réfraction extraordinaire et ordinaire (ne-no) définit la biréfringence totale du cristal liquide. La particularité des cristaux liquides est de présenter une biréfringence très forte de l’ordre de 0,1 à 0,3 alors que celle d’un cristal de quartz n’est que de l’ordre de 0,01. L’existence d’un ordre liquide garantit par ailleurs le caractère fluide des mésophases et dans une certaine mesure le basculement facile des axes optiques. Il existe plusieurs phases cristal liquide, les principales et plus utilisées sont les phases nématique (parallèle et torsadées), smectique (A et C) et cholestérique.
Les cristaux liquides nématiques
Une phase nématique est une phase dans laquelle les molécules ne présentent pas d’ordre positionnel, c’est-à-dire que leurs centres de gravité sont placés de manière aléatoire (dense) dans l’espace, et qu’elles peuvent « couler » librement les unes sur les autres. En ce sens-là, la phase nématique est une phase liquide. Les molécules présentent par contre, en moyenne, un ordre d’orientation de leur grand axe. La direction moyenne locale des axes moléculaires est alors repérée par un vecteur unitaire n , le directeur de la phase nématique. La figure 10 représente schématiquement les molécules nématogènes (c’est-à-dire pouvant donner une phase nématique) par des formes elliptiques allongées ou bâtonnets.
La phase nématique est un milieu uniaxe ou biréfringent, c’est à dire qu’elle présente deux axes optiques privilégiés d’indices de réfraction différents, no et ne les indices ordinaire et extraordinaire. L’indice de réfraction du milieu sera donc différent selon la direction de propagation de la lumière, de sa polarisation et de l’orientation Amélioration des performances d’un polarimètre de Mueller monté en réflexion dans l’espace réciproque moléculaire. La meilleure représentation de cette anisotropie d’indice est l’ellipsoïde des indices de la figure 11. Le centre de gravité de chaque molécule se déplace au hasard comme dans un liquide ordinaire mais leurs axes directeurs restent en moyenne parallèles entre eux.
Un faisceau lumineux traversant une couche de cristal liquide de type nématique, va alors être séparé en deux composantes que sont la composante ordinaire suivant l’axe optique et extraordinaire, perpendiculaire à l’axe optique. Chaque composante va ainsi se propager à une vitesse différente selon l’indice optique du milieu. Cette différence de vitesse de propagation va engendrer un déphasage.
Modulation et analyse de la polarisation
Lorsque j’ai commencé à travailler sur l’instrument, la modulation et l’analyse de la polarisation était réalisée au moyen de retardateurs variables à cristaux liquides nématiques. Pour des raisons de stabilité de l’instrument, nous avons modifié au cours de mon travail ces éléments par des cristaux liquides ferroélectriques.
J’explique dans ce paragraphe le principe de fonctionnement de ces deux types de modulation de polarisation ainsi que leur mise en œuvre.
PSG à cristaux liquides nématiques
Je décris ici le PSG, le PSA étant élaboré de manière symétrique à celui-ci. Ces dispositifs sont équivalents à des lames retard d’ordre zéro de retard variable commandé électriquement. De ce fait, ils présentent une bonne acceptance angulaire et spectrale, ce qui constitue un avantage important pour les applications d’imagerie.
Enfin, les PSG et PSA utilisant des modulateurs à nématiques permettent en principe d’atteindre le conditionnement optimal pour toute longueur d’onde dans leur gamme de fonctionnement simplement en ajustant correctement leur tension de commande. Afin de générer quatre vecteurs de Stokes linéairement indépendants, le PSG comprend un polariseur linéaire orienté suivant l’axe x, suivi de deux cristaux liquides nématiques que l’on considère comme des déphaseurs parfaits.
La figure 18 décrit un PSG composé d’un polariseur linéaire orienté suivant l’axe x, suivi de deux cristaux liquides nématiques que l’on considère comme des déphaseurs parfaits.
Description de l’instrument initial : Principe, schéma optique
Description d’ensemble de l’instrument
Le polarimètre de Mueller a été conçu au laboratoire afin d’imager des structures telles que des réseaux de diffraction. La matrice de Mueller résout angulairement la structure à caractériser et ce sur une large gamme d’angles polaires et azimutaux sans avoir à tourner l’échantillon ou l’instrument. L’autre avantage de cet instrument est de pouvoir contrôler la taille du spot éclairant l’échantillon. Ces deux aspects de l’instrument ont été réalisés grâce à l’utilisation d’un objectif de microscope à forte ouverture numérique. L’échantillon, placé sous l’objectif, est illuminé par un cône couvrant tous les angles azimutaux et une gamme d’angles polaires de 0° à 60° (limitée par l’ouverture numérique de l’objectif). En imageant non pas le plan focal avant de l’objectif, où se situe l’échantillon, mais le plan focal arrière (figure 21), on peut obtenir une image où chaque point correspond (r ; ) en coordonnées polaires représente une combinaison (r ; ). L’idée est d’utiliser l’image du plan focal arrière d’un objectif pour réaliser des images dites conoscopiques, correspondant à des distributions angulaires au lieu des distributions spatiales habituelles.
L’utilisation de l’objectif rend également très simple la limitation de la zone à mesurer à 50micromètres. Un jeu de lentilles escamotables permet de changer la configuration optique pour imager l’échantillon sur le détecteur, à des fins de positionnement.
Système d’imagerie
Différents éléments du montage
La source
Nous utilisons comme source de lumière une lampe deutérium-halogène fibrée. Le spectre de la lampe à deutérium s’étend de 190 à 400 nanomètres et celui de la lampe halogène de 360 à 1500 nanomètres. La sortie se fait par une fibre optique de 600 m de diamètre et de 0,34 d’ouverture numérique. La sortie de la fibre est imagée sur l’échantillon. Les mesures sont effectuées à une longueur d’onde unique, sélectionnée dans le spectre de la source à l’aide d’un filtre interférentiel placé devant la caméra.
L’objectif de microscope
Nous utilisons un « Nikon Plan Achromat 100x », d’ouverture numérique 0,95. La dénomination indique les spécifications en matière de correction d’aberrations. « Plan » désigne une correction de la courbure du champ et inclut également une correction des aberrations sphériques. « Achromat » désigne le type le plus simple de correction des aberrations chromatiques, les types Fluorite ou Apochromat étant les plus raffinés. Les objectifs Achromat sont corrigés pour les longueurs d’onde de 486 et 656 nanomètres, qui sont imagées au même point focal. Comme nous travaillons toujours à une seule longueur d’onde à la fois, il n’est pas nécessaire d’opter pour une correction chromatique de haut niveau et la plus simple convient. La distance de travail donnée est de 0,3 millimètres. L’ouverture numérique (O.N.) indique l’angle maximal d’illumination de l’échantillon par l’objectif.
Le masque (dit diaphragme d’ouverture)
Afin de pouvoir sélectionner certains angles ou certaines régions angulaires, et également pour pouvoir observer des ordres de diffraction supérieurs sans qu’ils se superposent à l’ordre 0, un masque a été prévu. Il est imagé sur le plan de Fourier de l’objectif et laisse passer uniquement la partie du faisceau incident correspondant aux angles souhaités.
Les lentilles
En dehors de l’objectif, les lentilles utilisées sont des doublets achromatiques, conçus pour limiter les effets des aberrations chromatiques et sphériques présents dans les lentilles simples.
La lame séparatrice
La lame permet d’utiliser un seul objectif pour l’aller et le retour. Afin de limiter les aberrations, elle doit être parallèle et aussi fine que possible. La lame utilisée est d’environ un millimètre d’épaisseur. Elle entraîne peu de modifications de polarisation, pour pouvoir optimiser le conditionnement.
Le porte échantillon
L’échantillon est placé horizontalement, sur un support permettant un déplacement précis dans toutes les directions. Le réglage vertical est utilisé pour le placer dans le plan focal de l’objectif, les réglages horizontaux pour le positionnement précis.
Le détecteur
La qualité du détecteur est un élément critique de la qualité de mesure. En particularité, la linéarité, l’homogénéité spatiale et la stabilité temporelle sont d’une grande importance. Nous utilisons la caméra CCD Hamamatsu ORCA II BT, refroidie à -55°C. Elle dispose depixels (chaque pixel étant un carré de 24 m de côté),avec 12 bit par pixel dans le mode utilisé, soit 4096 valeurs possibles. Le temps de pose varie en général entre 500 ms et 5000 ms.
Montage optique
Je décris dans ce paragraphe tout le montage optique du polarimètre dans son état initial (figure 23). Le schéma optique de l’instrument est illustré sur la figure 24.
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Table des matières
1 Introduction Générale
2 Polarisation de la lumière et ses formalismes
2.1 Introduction
2.2 Notion de polarisation de la lumière
2.2.1 Cas de polarisation particuliers
2.2.2 Formalisme de Jones
2.2.3 Formalisme de Stokes
2.2.4 Matrice de Mueller
2.2.5 Equivalence entre le formalisme de Jones et de Mueller
2.2.6 Sphère de Poincaré
2.2.7 Eléments optiques simples
2.3 Conclusion
3 Conception d’un polarimètre
3.1 Introduction
3.2 Principe général
3.3 Conception du polarimètre de Mueller
3.3.1 Détermination des conditions optimales et théoriques de mesure
3.3.2 Principe de l’étalonnage et validation du système
3.3.3 Introduction générale sur les cristaux liquides
3.3.1 Modulation et analyse de la polarisation
3.4 Description de l’instrument initial : Principe, schéma optique
3.4.1 Description d’ensemble de l’instrument
3.4.2 Système d’imagerie
3.4.3 Procédure de réalignement
3.4.4 Procédure d’étalonnage
3.4.5 Programme de contrôle de l’instrument
3.5 Convention sur les signes de la matrice de Mueller
3.6 Conclusion
4 Améliorations des performances de l’instrument
4.1 Introduction
4.2 Correction des artéfacts de l’objectif
4.2.1 Etat des lieux initial
4.2.2 Nouveau montage
4.2.3 Corrections numériques des défauts de l’objectif
4.2.4 Conclusion et perspectives
4.3 Eclairage par laser
4.3.1 Modification du schéma optique : éclairage laser
4.3.2 Conclusion
5 Applications
5.1 Introduction
5.2 Radar polarimétrique bistatique (ONERA) : forêt de nanotubes
5.2.1 Présentation de la problématique
5.2.2 Méthodes expérimentales
5.2.3 Résultats expérimentaux
5.2.4 Conclusion
5.3 Nanomatériaux (INSP) : cristaux liquides
5.3.1 Présentation de la problématique
5.3.2 Méthodes expérimentales
5.3.3 Résultats expérimentaux
6 Conclusion Générale
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