Comportements anabéliens des courbes de Berkovich

Géométrie anablélienne dans le monde algébrique

   En topologie, la classe d’homotopie d’un espace ayant de bonnes propriétés (par exemple un CW-complexe) est exactement déterminée par le groupe fondamental topologique de cet espace. L’idée de la géométrie anabélienne est qu’un comportement similaire puisse se produire en géométrie algébrique : un schéma X ayant de « bonnes propriétés » devrait être déterminé par son groupe fondamental étale. Le terme « anabélien », introduit par Grothendieck, est à comprendre au sens de « hautement non abélien ». En effet, parmi les bonnes propriétés que X doit vérifier est celle que le groupe fondamental étale π1(X) de X doit avoir tous ses sous-groupes d’indice fini non abéliens. Par exemple, les objets les plus simples de la géométrie algébrique sont les corps, qui sont des points de dimension 0. Le groupe fondamental étale π1(k) d’un corps k n’est autre que son groupe de Galois absolu Gk = Gal(ks/k), où ks désigne une clôture séparable de k. Néanmoins, comme toutes les extensions galoisiennes des corps finis sont cycliques, le groupe de Galois absolu de tout corps fini F est isomorphe au groupe abélien Zb. On en déduit que les corps finis n’ont pas un comportement anabélien. Voici dans ce qui suit un aperçu très bref, et loin d’être complet, de quelques résultats anabéliens majeurs en géométrie algébrique. Pour une belle introduction détaillée, lire [Pop11].

Géométrie anablélienne dans les espaces analytiques

   Dans la lignée des développements de la géométrie anabélienne dans le cas des courbes hyperboliques, il est loisible de se poser des questions d’inspiration anabélienne dans les espaces des Berkovich, à savoir : Dans quelle mesure un espace k-analytique est-il déterminé par son « groupe fondamental » ? Il est possible de définir en théorie de Berkovich plusieurs « groupes fondamentaux » selon que ceux-ci classent les revêtements topologiques, étales finis, ou étales. Néanmoins le groupe fondamental topologique est souvent « trop petit » tandis que le groupe fondamental étale a tendance à être « trop grand » . Le groupe qui semble au mieux capturer les comportements anabéliens des espaces analytiques sur les corps non archimédiens est le groupe fondamental tempéré, introduit par Yves André dans [And]. Ce groupe classe les revêtements dits tempérés, définis comme les revêtements étales devenant topologiques après un changement de base fini étale, ce qui équivaut à demander que ces revêtements soient quotient d’un revêtement topologique d’un revêtement étale fini. Les revêtements topologiques tout autant que les revêtements étales finis sont des exemples de revêtements tempérés. C’est Yves André, dans son article [And1], qui obtient pour la première fois des résultats de nature anabélienne en utilisant les espaces de Berkovich. À l’aide du groupe fondamental tempéré, il donne une description de nature géométrique des sous-groupes de Galois locaux GQp du groupe de Galois absolu GQ (voir 1.5.11) dans l’esprit de l’Esquisse d’un programme [G2] de Grothendieck, puis introduit un avatar p-adique du groupe deGrothendieck-Teichmüller GTd. À la suite de cet article, ce sont Shinichi Mochizuki puis Emmanuel Lepage qui obtiennent les résultats les plus significatifs de géométrie anabélienne dans les espaces de Berkovich. Leurs résultats relient le groupe fondamental tempéré de l’analytifiée d’une courbe algébrique hyperbolique au graphe dual de sa réduction stable. Si X est une courbe hyperbolique définie sur un corps ultramétrique complet k algébriquement clos, nous savons que le type d’homotopie de l’analytifiée Xan (au sens des espaces de Berkovich, cf. 1.1.5) peut être décrit à partir du modèle stable X de X. Plus précisément, si Xs désigne la fibre spéciale de X , le graphe dual de la réduction stable, noté GX, est le graphe fini dont les sommets correspondent aux composantes irréductibles de Xs, et dont les arêtes entre les sommets correspondent aux nœuds (i.e. aux singularités en les points doubles ordinaires, qui sont les seules singularités de Xs par hypothèse de stabilité) entre les composantes irréductibles (une arête boucle sur le même sommet lorsqu’il s’agit d’un point d’auto-intersection). Notons X la compactification normale de X. En définissant les cusps de X comme l’ensemble des points de X n’appartenant pas à X, il est possible d’enrichir GX en un semi-graphe GcX, en ajoutant une arête ouverte (i.e. reliée seulement à un sommet en un bout, ouverte en l’autre bout) pour chaque cusp. Il existe alors un plongement topologique canonique Gc X ,→ Xan qui admet une rétraction par déformation Xan Gc X topologiquement propre ([Ber4]). L’espace analytique Xan a donc le même type d’homotopie que GX (et que Gc X). Le graphe GX ne garde pas la trace des cusps, tandis que ceux-ci jouent un rôle dans le modèle stable. Dans le cas où X est la courbe hyperbolique obtenue en retirant 3 points à P1k, GX est réduit à un singleton qui sera un point de type 2 dans Xan, alors que Gc X est constitué de trois arêtes ouvertes reliées à ce même sommet.

Résultats de Lepage

   Quelques années plus tard, en 2010, Emmanuel Lepage précise le résultat de Mochizuki en montrant que si le groupe fondamental tempéré détermine en effet le graphe dual de la réduction stable d’une courbe hyperbolique, il le détermine également dans certains cas en tant que graphe métrique, c’est-à-dire que la connaissance du groupe fondamental tempéré permet de retrouver la métrique naturelle qui existe sur le graphe dual GX de la réduction stable. Cette métrique est telle que la longueur d’une arête correspondant à un nœud est la largeur de la couronne correspondant à la fibre générique de la complétion formelle en ce nœud. Il faut néanmoins se restreindre aux courbes dites de Mumford, c’est-à-dire aux courbes algébriques propres dont les composantes irréductibles normalisées de la réduction stable sont isomorphes à P1 (ce qui en théorie de Berkovich équivaut à dire que l’analytifié Xan est localement isomorphe à un ouvert de P1,an, ou encore que le genre topologique de Xan est le genre de X, ou encore que Xan admet une uniformisation par un ouvert de P 1,an, ou encore qu’il n’a pas de point de type 2 de genre > 0 …).
Théorème 0.0.7 ([Lep1], Th. 4.12 ; [Lep2], Th. 12). Soient X1 et X2 deux courbes hyperboliques de Mumford sur Qp, et ϕ : π temp1 (Xan1) ‘ π temp 1(Xan2) un isomorphisme. Alors l’isomorphisme entre les graphes duaux des réductions stables : ϕ : GX1 ‘ GX2 est un isomorphisme de graphes métriques. Lepage va plus loin dans son article [Lep3]. En utilisant des techniques de résolution des non-singularités et en prouvant qu’une courbe de Mumford sur Qp vérifie une telle résolution, il montre que le groupe tempéré de l’analytifiée d’une courbe de Mumford détermine son espace topologique sous-jacent. Il utilise pour cela un homéomorphisme entre l’analytifiée de toute Qp-courbe propre et lisse et la limite projective des graphes duaux de toutes les réductions semi-stables de la courbe.

Analytification d’une variété algébrique

   Fixons un corps ultramétrique complet k. Nous allons définir le foncteur d’analytification, très important dans la théorie de Berkovich, associant à toute k-variété algébrique X un bon espace k-analytique X an, l’analytifié de X .
Définition 1.1.61. Soit X un k-schéma de type fini, et FX le foncteur contravariant qui va de la catégorie des bons ensembles k-analytiques dans la catégorie des ensembles, quià Y associe Homloc-an(Y, X ), où Homloc-an(·, ·) désigne les morphismes dans la catégorie des espaces localement annelés. Ce foncteur est représentable ([Ber1], 3.4.1), et l’on note X an le représentant. Si F est un faisceau cohérent de OX -modules et π : X an → X désigne le morphisme canonique d’espaces localement annelés, alors Fan := π∗F est un faisceau cohérent de OX an-modules. Voici quelques propriétés de l’analytification d’un k-schéma de type X , dont les preuves se trouvent dans [Ber1], 3.4 :
1. Le morphisme π : X an → X est plat et surjectif, induit une bijection π0(X an) ‘ π0(X ), et identifie les points rigides de X an avec les points fermés de X .
2. Pour toute extension ultramétrique complète K/k, X an(K) ‘ X (K).
3. L’analytifié X an est sans bord et strict.
4. L’espace topologique X an est séparé (resp. compact) si et seulement si X est séparé (resp. propre).
5. L’analytifié X an est réduit, normal, régulier, lisse, si et seulement si le schéma X vérifie les mêmes propriétés.
6. Si X est propre et si F est un faisceau cohérent de OX -modules, alors pour tout q ∈ N on a un isomorphisme : Hq(X , F)∼−→ Hq(X an, Fan).
7. Si X est propre, le foncteur F → Fan induit une équivalence de catégories entre les faisceaux cohérents de OX -modules et les faisceaux cohérents de OanX -modules.
Exemples 1.1.62 (Exemples d’analytifications).
• Si n ∈ N∗, l’analytifié de Ank n’est autre que le bon espace k-analytique An,ank déjà rencontré. Le morphisme canonique π : An,ank → Ank correspond au noyau 😡 7→ ker| · |x (il s’agit bien d’un idéal premier de k[T1, . . . , Tn]).
• Soit A une k-algèbre de type fini, et X = Spec(A) le k-schéma affine associé. Alors X an est l’ensemble des semi-normes multiplicatives sur A qui étendent la valeur absolue de k. Si I est le faisceau d’idéaux permettant de définir X comme fermé de Zariski de Ank , le faisceau des fonctions analytiques sur X an est donné par OX an = OAn,ank/π∗I.
• Lorsque k est algébriquement clos, si E est une k-courbe elliptique à mauvaise réduction, son analytifiée peut être uniformisée par l’analytifiée du groupe multiplicatif. Plus précisément, il existe q ∈ k, |q| < 1, tel que :Ean = Ganm /qZ.
La courbe Ean est appelée courbe de Tate. De telles courbes ont joué un rôle fondamental historiquement puisque c’est en remarquant qu’elles sont uniformisables que Tate a développé la théorie des espaces analytiques rigides. Voici des résultats importants dont nous nous servirons à plusieurs reprises dans la suite :
Théorème 1.1.63.
1. Toute courbe k-analytique X propre (compacte et sans bord) est algébrisable, c’està-dire qu’elle est isomorphe à l’analytifiée X an d’une k-courbe algébrique projective X .
2. Soit Y une courbe k-analytique compacte ayant éventuellement un bord non vide, si elle est quasi-lisse Y est isomorphe à un domaine analytique de l’analytifiée X an d’une k-courbe algébrique projective X . La preuve du premier point apparaît dans [Ber1] (3.4.14) ou [Duc] (3.7.2), tandis que le second point de trouve dans [Duc] (6.3.1).

Morphismes et revêtements étales

   Nous allons présenter dans cette section la notion de morphisme étale d’un (bon) espace k-analytique. Nous avons choisi de dédier au caractère étale cette section spécifique, plutôt que de le présenter à la suite de la platitude et de la lissité, en ce que cette notion est fondamentale dans la suite du texte : tous les revêtements et torseurs que nous aurons à considérer seront étales, les groupes de cohomologie seront ceux de la topologie sur le site étale, enfin la définition même du groupe tempéré fait appel au monde étale. Le texte de référence de cohomologie étale sur les espaces analytiques de Berkovich est [Ber2], dans lequel Berkovich entreprend une étude systématique de cette cohomologie et des principaux théorèmes (théorèmes de comparaison, dualité de Poincaré, théorèmes de changement de base. . . ). Une introduction agréable à lire est [Duc15].
Définition 1.1.64 (Morphismes étales, [Ber2] 3.3.4). Soit ϕ : Y → X un morphisme entre deux espaces k-analytiques.
1. On dit que ϕ est étale fini lorsque pour tout domaine affinoïde U = M(A) de X, la préimage V = ϕ−1(U) est un domaine affinoïde de Y égal à M(B) pour une algèbre k-affinoïde B qui est une A-algèbre étale finie.
2. Le morphisme ϕ est étale en un point y ∈ Y s’il existe un voisinage ouvert U de ϕ(y) et un voisinage ouvert V de y tel que ϕ(V ) ⊆ U et induisant un morphisme fini étale de V dans U. On dit que ϕ est étale lorsqu’il l’est en chaque point deY .
Remarque 1.1.65. Parmi les morphismes étales, les morphismes finis (au sens de 1.1.50) sont exactement les morphismes étales finis au sens de la définition ci-dessus. Il n’y a donc aucune ambiguïté terminologique.
Remarque 1.1.66. Il aurait été possible de définir un morphisme étale comme un morphisme plat et non ramifié (notion que nous n’avons pas définie), comme il est possible de le faire en géométrie algébrique.
Voici quelques propriétés des morphismes étales :
1. Un morphisme étale est ouvert et sans bord.
2. Les morphismes étales sont stables par composition, par extension du corps de base, et par changement de base par n’importe quel morphisme (sans que celui-ci soit étale).
3. Si f : Y → X est un morphisme de k-schémas de type fini, le morphisme induit sur les analytifiés fan : Yan → X an est étale si et seulement si f : Y → X est étale.
Fibres d’un morphisme étale Si ϕ : Y → X est un morphisme étale entre deux espaces k-affinoïdes et x ∈ X, la fibre ϕ−1(x) est finie, c’est une union finie `M(ki) où chaque ki est une extension finie séparable de H (x).
Le théorème 3.4.1 de [Ber2] montre même que le comportement local du morphisme ϕ en un point y d’image x (plus précisément : le germe de (Y, y) → (X, x), cf. partie 3.2.1) dépend uniquement de l’extension séparable H (x) ,→ H (y). En particulier, ϕ est un isomorphisme local en y si et seulement si H (y) = H (x). On en déduit que si k est algébriquement clos, tout morphisme étale induit un isomorphisme local autour de chaque point rigide.

Squelette analytique d’une courbe

Définition 1.3.1. Soit X une courbe k-analytique quasi-lisse :
1. Le squelette analytique de X, noté S an(X), est défini comme l’ensemble des points de X dont aucun voisinage ouvert dans X n’est un disque ouvert.
2. Un voisinage totalement découpé autour de x ∈ X[2,3] est un voisinage ouvert U de x tel que l’application br(X, x) → π0(U \ {x}) soit bijective et que toute composante connexe de U \ {x} soit une couronne ou un disque. Si π0(San) → π0(X) est surjective, alors d’après les théorèmes 1.6.13 et 5.1.11 de [Duc] nous savons qu’il existe une rétraction par déformation rX : X → S an(X). En particulier, X a le type d’homotopie de S an(X).
Remarque 1.3.2. Le théorème 1.2.31 se reformule de la sorte :
• Si x ∈ X[3], x admet un voisinage ouvert totalement découpé Z qui est une couronne telle que x ∈ S an(Z) et dont l’adhérence dans X est un arbre compact.
• Si x ∈ X[2], un voisinage U de x totalement découpé peut être choisi tel que son adhérence est un arbre compact et que U \ {x} est réunion disjointe de disques et d’un nombre fini de couronnes.
Remarque 1.3.3. Dans [Duc] l’auteur utilise le terme de « graphe » même lorsqu’une arête est « ouverte » au sens où elle ne contient qu’une branche. Néanmoins, dans ce texte, afin d’être cohérent avec le langage de Mochizuki, nous différencierons un graphe (toutes les arêtes ont 2 branches) d’un semi-graphe (les arêtes peuvent avoir également 0 ou 1 branche). D’après [Duc], Théorème 5.1.11, le squelette analytique S an(X) d’une courbe analytique quasi-lisse X est un semi-graphe localement fini contenu dans X[2,3] et qui contient le bord analytique de X. Si S an(X) rencontre chaque composante connexe de X, alors c’est un semi-graphe analytiquement admissible dans le sens de [Duc], c’està-dire que c’est un sous-semi-graphe fermé de X dont toute composante connexe du complémentaire est un disque relativement compact dans X.
Définition 1.3.4 (Squelette tronqué). Soit X est une courbe k-analytique quasi-lisse. Nous savons que San(X) est un semi-graphe (cf. remarque 1.3.3 ci-dessus). Notons San(X)\, appelé le squelette analytique tronqué de X, le plus grand sous-graphe de S an(X). Il est obtenu à partir de S an(X) en retirant les arêtes qui ont strictement moins de deux branches aboutissant à des sommets. Une interprétation du squelette tronqué en terme de composantes relativement connexe sera donnée dans la suite de ce texte. Cette définition est cohérente avec celle de squelette tronqué d’une triangulation que nous donnons en 1.3.14.
Définition 1.3.5. Si X est une couronne k-analytique, un domaine analytique Y de X est une sous-couronne de X s’il peut être défini comme l’image réciproque selon la rétraction rX : X → S an(X) d’un sous-intervalle non vide J de S an(X). On a dans ce cas S an(Y ) = J.
Remarque 1.3.6. Il y a un homéomorphisme naturel S an(C(I)) ≈ I dès que I est un intervalle de R∗+. En particulier si C est une couronne S an(C) admet une compactification topologique canonique Sban(C) dont les éléments n’appartenant pas à C sont appelés les bouts de C.

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Table des matière

Introduction
1 Le monde des courbes analytiques 
1.1 Espaces de Berkovich 
1.1.1 Corps ultramétriques
1.1.2 Spectre de Berkovich d’un anneau de Banach
1.1.3 Espaces affinoïdes
1.1.4 Bons espaces analytiques
1.1.5 Analytification d’une variété algébrique
1.1.6 Morphismes et revêtements étales
1.2 Introduction aux courbes analytiques 
1.2.1 Points d’une courbe analytique
1.2.2 Résultats généraux
1.2.3 Droites analytiques affine et projective A1,ank et P1,ank
1.2.4 Disques et couronnes analytiques
1.3 Squelette, triangulations et nœuds 
1.3.1 Squelette analytique d’une courbe
1.3.2 Triangulations et nœuds
1.3.3 Triangulations généralisées et points superflus
1.4 Premiers comportements des µn-torseurs d’une courbe 
1.4.1 Revêtements de Kummer et µ`-torseurs d’une couronne
1.4.2 Cochaînes harmoniques et suites exactes
1.4.3 Revêtements sauvages et conditions de déploiement
1.5 Groupe fondamental tempéré 
1.5.1 Motivations
1.5.2 Morphismes tempérés et groupe fondamental tempéré
1.5.3 Quelques propriétés
2 Introduction aux anabélioïdes et tempéroïdes de Mochizuki 
2.1 Le monde des anabélioïdes
2.1.1 Anabélioïdes connexes
2.1.2 Anabélioïdes
2.1.3 Semi-graphe d’anabélioïdes et anabélioïde des recouvrements B(G)
2.1.4 Semi-graphe d’anabélioïdes d’une triangulation généralisée
2.2 Le monde des tempéroïdes
2.2.1 Définitions
2.2.2 Tempéroïde des recouvrements tempérés B temp(G) associé à un semi-graphe d’anabélioïdes
2.3 Hypothèses mochizukiennes 
2.3.1 Contraintes locales
2.3.2 Contrainte globale
2.4 Reconstruction du semi-graphe sous-jacent d’un tempéroïde 
3 Description du semi-graphe d’anabélioïdes d’une triangulation 
3.1 Comportement des composantes coronaires
3.1.1 Cas d’une vraie triangulation
3.1.2 Triangulation généralisée et rabotée d’une courbe
3.2 Comportement des composantes sommitales 
3.2.1 Germes d’espaces k-analytiques
3.2.2 Courbe résiduelle et valuation associée à une branche autour d’un point de type 2
3.2.3 Description des sous-groupes sommitaux
3.3 Compatibilité avec les hypothèses mochizukiennes
3.3.1 Simplification des hypothèses
3.3.2 Courbes analytiquement hyperboliques
3.3.3 Exemples de courbes k-analytiquement hyperboliques
4 Reconstruction anabélienne du squelette analytique 
4.1 Tempéroïde connexe associé au semi-graphe d’anabélioïdes d’une triangulation
4.2 Reconstruction du squelette tronqué 
4.2.1 Premier résultat anabélien, sur les squelettes tronqués
4.2.2 Courbes analytiquement hyperboliques à arêtes relativement compactes
4.2.3 Application : anabélianité tempérée du demi-plan de Drinfeld
4.3 Reconstruction des arêtes cuspidales
4.3.1 Stabilité de l’hyperbolicité par revêtements finis étales
4.3.2 Commensurabilité terminale des sous-groupes cuspidaux
4.3.3 Ascendance vicinale et courbes analytiquement anabéliennes
4.4 Exemples de courbes k-analytiquement anabéliennes 
4.4.1 Avec cusps coronaires finis
4.4.2 Avec cusps discaux épointés et coronaires finis
Intermède : Automorphismes du groupe tempéré préservant le graphe
Rappels et définitions
Bien fondé du morphisme θπe
Indépendance vis-à-vis du représentant πe
Indépendance vis-à-vis du choix de la branche issue d’un nœud donné
Conclusion
5 Cochaînes harmoniques et longueur des couronnes 
5.1 Cochaînes harmoniques et µp-torseurs 
5.1.1 Morphisme de cochaîne
5.1.2 Cochaînes et minimalité du rayon de déploiement sur une couronne
5.1.3 Caractérisation des µp-torseurs de cochaîne nulle
5.2 Résolution des non-singularités 
5.2.1 Définition et propriétés des points résolubles
5.2.2 Résolubilité du squelette d’une couronne et des points « seuils »
5.2.3 Anabélianité de la trivialité des µp-torseurs
5.3 Anabélianité partielle de la longueur des couronnes 
5.3.1 Longueurs et ensembles de déploiement
5.3.2 Résultat sur les longueurs des couronnes

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