COMPORTEMENT VISCOÉLASTIQUE ET MESURE DES DÉFORMATIONS

Généralités sur les remblais

Le remblayage des chantiers souterrains est devenu une pratique courante dans l’industrie minière. Le remblayage est une approche utilisée dans les mines canadiennes depuis plusieurs années (Benzaazoua et al, 2005). Les remblais sont constitués principalement de trois composants : le solide, l’eau et le liant. Le solide peut être constitué de rejets de concentrateur, du sable et /ou de gravier ou des stériles miniers. Le liant, quant à lui, peut être du ciment Portland tout usage ou en combinaison avec d’autres ciments ou ajouts minéraux : les cendres volantes, les scories, les fumées de silice, la chaux et les boues, le kaolin etc; ce qui permet d’augmenter la résistance mécanique du remblai grâce aux hydrates qu’ils forment. D’autres additifs tels que les accélérateurs et les retardateurs de prise et les superplastifiants peuvent aussi être ajoutés au remblai.

On distingue principalement trois types de remblai à savoir le remblai rocheux fait de roches stériles cimentées ou non, le remblai hydraulique fait de résidus non sulfureux classifiés ou non et le remblai en pâte cimenté. Les remblais en pâte cimentés sont de plus en plus utilisés dans les exploitations minières souterraines. Ils permettent d’une part la stabilisation physique des ouvrages et d’autre part la stabilisation chimique des contaminants dans la matrice du remblai par le processus de solidification et de stabilisation. Cette pratique permet une exploitation de plus en plus complète des gisements, une réduction des volumes de rejets de concentrateurs problématiques entreposés en surface. Aussi, l’ajout d ‘agents de cimentation permet une stabilité chimique en bloquant l’oxydation des sulfures et la rétention des métaux polluants (Benzaazoua et a1.,2002) Les propriétés des différents remblais sont résumées dans le tableau 1-1 :

Comportement des matériaux à composante visqueuse

Dans la littérature, on rencontre souvent trois types de modèles de comportement qui tiennent compte de la composante visqueuse dans les matériaux : i) les modèles viscoélastiques, ii) les modèles viscoplastiques et iii) les modèles visco-hyperélastiques. L’objectif de ce paragraphe est de présenter les principales caractéristiques des lois de comportements viscoélastiques. À cet effet, après une introduction sommaire sur le modèle de Maxwell (Bird et al, 1987) de base et celui de Maxwell généralisé (Bird et al, 1987), nous présentons le modèle intégral de comportement de Lodge (Lodge, 1964) pour la viscoélasticité linéaire et le modèle intégral de K-BKZ (Bernstein et al, 1965) pour la viscoélasticité non linéaire. Ce denier modèle sera retenu pour la modélisation du comportement de remblais, en écoulement, dans une conduite cylindrique horizontale. Les modèles de comportement viscoélastique sont des modèles qui dépendent, généralement, du taux de déformation, de 1 ‘historique des déformations et de la température.

Pour ces modèles, la viscosité et la rigidité sont fonction de la température, de l’amplitude de la déformation et du temps. On rencontre deux classes de modèles viscoélastiques : les modèles linéaires et non linéaires. L’ensemble de ces modèles respecte trois principes fondamentaux : i) le principe de causalité (l’état du milieu à l’instant présent ne dépend que du mouvement et des efforts passés et présents), ii) le principe d’indifférence matérielle (la loi de comportement est la même pour tout observateur) et iii) le second principe de la thermodynamique (la loi de comportement assure une dissipation positive d’énergie indépendamment des sollicitations extérieures). Dans ce qui suit, une introduction sommaire sur la viscoélasticité linéaire sera présentée. Ensuite, nous exposons une étude plus élargie sur la modélisation en viscoélasticité non linéaire.

Comportement viscoélastique linéaire

Selon la théorie de la viscoélasticité linéaire intégeale, la loi de comportement viscoélastique d’un matériau représente une relation linéaire entre l’historique des contraintes et l’historique des déformations. En plus, selon cette théorie qui tient compte des phénomènes de dissipation de l’énergie dans le temps, les déformations sont réversibles. La description du comportement viscoélasticité linéaire des matériaux est généralement réalisée à l’aide de modèles rhéologiques. Plusieurs modèles rhéologiques sont disponibles dans la littérature pour décrire aussi bien les matériaux liquides que les matériaux semi-solides. Parmi les modèles de base, on trouve le modèle de Maxwell (Bird et al, 1987). Dans ce modèle, le caractère viscoélastique linéaire est représenté par un système ressort-amortisseur en série (analogie mécanique): le ressort est caractérisé par un module élastique E et l’amortisseur par une viscosité 11· Toutefois, ce modèle de base est insuffisant pour représenter les réponses, dans le temps et pour différentes sollicitations, d’une majorité de matériaux (polymères par exemple).

À cet effet, on trouve le modèle de Maxwell généralisé (Bird et al, 1987) qui fait intervenir plusieurs éléments ‘ressort-amortisseur’ en parallèle. Chacun de ces éléments est caractérisé par un temps de relaxation Ai et une rigidité Ei. L’ensemble des couples (Ai, Ei) représente une caractéristique du matériau et forme ce qu’on appelle le spectre. La connaissance de ce spectre est essentielle pour déterminer les paramètres rhéologiques des matériaux vise oé las tiques. Du point de vue mathématique, il existe deux types de formulations pour représenter le comportement viscoélastique linéaire des matériaux: formulations différentielles et formulations intégrales. Parmi les modèles intégrales d’intérêt, il y a le modèle de Lodge (Lodge, 1964). Ce modèle résulte d’une théorie statistique (réseaux) développée en 1946 25 par Green et Tobolsky (Green and Tobolsky, 1946) pour décrire le comportement des polymères liquides en petites déformations. Ensuite cette théorie a été modifiée, dans un premier temps par Yamamoto (Yamamoto, 1956, 1957, 1958) et ensuite par Lodge (Lod ge, 1964 ). Les concepts utilisés par Lod ge, pour décrire le comportement des polymères liquides, sont basés sur le caractère temporaire des jonctions (noeuds) entre les chaines macromoléculaires (segments) et l’existence de l’enchevêtrement entre les segments. Pour établir le modèle mathématique de Lodge, les considérations suivantes sont utilisées :

-Le polymère est considéré comme un milieu continu, homogène et incompressible et sa température est uniforme partout.

– Le principe de superposition de Boltzmann (généralisation) est considéré.

– Le second principe de la thermodynamique est utilisé dans la théorie de Lodge

-A tout instant, les longues chaines macromoléculaires sont en liaison par leurs bouts.

Les enchevêtrements physiques de ces chain es sont temporaires et s’ étendent partout dans le réseau en créant des segments. Chacun de ces segments possède une ou plusieurs jonctions par rapport à un petit élément de volume.

-Le mouvement dû à l ‘effet thermique provoque une destruction et une création continuelles des segments. A tout instant t , la concentration des segments qui existe dans un intervalle de temps [t’, t’+ dt’] est : N(t- t’) dt’ ou N est le taux de création des segments par unité de volume. Il dépend de l ‘intervalle [ t – t’] et non de t ou t’ séparément. Le modèle mathématique proposé par Lodge et qui relie l’historique des contraintes réelles avec les déformations est donné par l’expression suivante :

Comportement viscoélastique intégral non-linéaire : modèle KBKZ Bien que la théorie des réseaux donne de bons résultats pour la description des faibles déformations des polymères viscoélastiques, en cisaillement (Wagner, 1976) et en extension (Chang et Lodge, 1972), il n’en est pas le cas pour les régions non linéaires (grandes déformations). Pour contourner ce problème, plusieurs approches ont été développées. Parmi les modèles d’ intérêt, il y a le modèle intégral proposé par Kaye (1962), ensuite, celui proposé par Bernstein, Kearley et Zapas (Breinstein et al, 1963) et qui porte maintenant le nom de K-BKZ (équation constitutive K-BKZ) (Bernstein et al, 1965). Dans le modèle intégral de K-BKZ, la fonction mémoire est exprimée en termes dépendant de la déformation et de 1 ‘histoire de la déformation dans le matériau.

Du point de vue mathématique, cette fonction mémoire fait apparaitre une fonction non séparable (fonction de la différence de temps (t-t’) et des invariants Il, h et 13 du tenseur des déformations de Cauchy). Cependant, des expériences ont montré (Laun, 1978) la nécessité d’introduire la supposition de la séparabilité de la fonction mémoire d’une autre fonction distincte (fonction d’amortissement). Cette considération est reliée au phénomène de démêlement des jonctions d’enchevêtrement caractéristique du comportement non linéaire des polymères liquides qui augmente avec la décroissance de la déformation. Ceci affecte par la suite la structure du réseau. En se basant sur les considérations ci-dessus, Wagner (1979) a modifié la théorie de réseau en introduisant deux hypothèses indépendantes : La probabilité de survie dans le réseau d’un type k de segments dans l’intervalle de temps [t-t’] est exp[-(t- t’)frk]

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Table des matières

REMERCIEMENTS
TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES FIGURES
LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS
LISTE DESANNEXES
RÉSUMÉ
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION AUX REMBLAI
1.1 GÉNÉRALITÉS SUR LES REMBLAIS
1.2 TRANSPORT DES REMBLAIS
1.2.1 Transport par gravité et pompage
1.2.2 Transport par pompage et gravité
1.2.3 Tra nsport par gravité
1.3 RHÉOLOGIE DU REMBLAI EN PÂTE
1.3.1 Loi de comportement des fluides newtoniens
1.3.2 Loi de comportement des fluides non-newtoniens
1.3.3 Perte de charge dans le remblai en pâte
1.3.4 Mesure de la viscosité du remblai en pâte
1.3.5 Mesures des paramètres rh éologiques du remblai en pâte
CHAPITRE 2 :COMPORTEMENT VISCOÉLASTIQUE ET MESURE DES DÉFORMATIONS
2.1 COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX À COMPOSANTE VISQUEUSE
2.1.1 Comportement viscoélastique linéaire
2.1.2 Comportement viscoélastique intégral non-linéaire: modèle K-BKZ
2.2 MÉTHODES DE DESCRIPTION CINÉMATIQUE D’ÉCOULEMENT DE FLUIDE
2.2.1 Description lagrangienne
2.2.2 Description eulérienne
2.3 SYSTÈME DE M ESURE DES DÉFORMATIONS
2.3.1 Déformations en cisaillement et en extension axisymétrique
2.3.2 Choix des variables de mesures des déformations
CHAPITRE 3 : MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS
3.1 HYPOTHÈSES ET MISES EN ÉQUATIONS
3.2 MODÈLE DE KBK-Z ET DESCRIPTION
3.2.1 Caractérisation et identification des paramètres rhéologiques
3.3 MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS
3.3.1 Formulation intégrale
3.3.2 Formulation matricielle élémentaire
3.3.3 Méthode de pénalité
3.3.4 Représentation isoparamétrique et maillage
3.3.5 Formulation algébrique globale t stratégie de résolution
CHAPITRE 4 :RÉSULTATS DES SIMULATIONS
4.1 MODÈLE1:STOKES
4.2 MODÈLE 2 OU N1=0,S ET N2=0,2
4.3 MODÈLE 3 OU N1=0,S ET N2=0,S
4.4 ÉTUDE COMPARATIVE DES TROIS MODÈLES
CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
ANNEXES