Comparaison Expérimental-EC8- Numérique

INTRODUCTION GENERALE

La fissuration des structures en béton armé sous chargement sismique est un enjeu fondamental. Les techniques adoptées en génie parasismique prévoient des structures qui dissipent de l’énergie lors d’un séisme tout en acceptant un certain niveau de dommage relatif au risque attendu d’occurrence du séisme et de l’importance de la structure. Cette capacité de dissipation d’énergie est appelée “Ductilité”. La ductilité est une notion extrêmement importante qui reste vaguement définie dans les règles de calcul. Les codes se basent généralement sur des formules empiriques tirées principalement de tests réalisés sur des éléments au laboratoire. Cependant, les ouvrages et les structures ont des dimensions beaucoup plus grandes que les éléments testés au laboratoire. Cette variation d’échelle n’est pas prise en compte lors de la conception. L’effet d’échelle en mécanique caractérise la dépendance des performances des matériaux, notamment au voisinage de la rupture, aux différentes dimensions lors du passage d’une échelle à une autre. Le problème d’effet d’échelle est plus complexe et plus aigu pour le béton, car c’est un matériau quasi-fragile dont le comportement à la rupture est fortement non linéaire. La modélisation de la réponse non linéaire des structures sous chargements sismiques est souvent effectuée à l’échelle globale ou semi-globale. En effet, le coût réduit d’une modélisation simplifiée permet, tout en tenant compte du comportement non linéaire du matériau de vérifier la stabilité structurale à une échelle réelle.
Le but fondamental de ce travail est de mettre en lumière quelques aspects de l’effet d’échelle à travers une comparaison analytique-Expérimentale-Numérique des réponses d’une pile de ponts en béton armé.
Ce manuscrit s’articule autour de quatre chapitres :
Le premier est dédié à l’état de l’art ou on a rappelé quelques généralités et des définitions de bases
Le deuxième introduit le phénomène d’effet d’échelle est ses conséquences sur les réponses structurelles.
Le troisième chapitre traite deux exemples d’estimation des courbes Moment –Courbure et Force – Déplacement de façon analytique et numérique.
Dans le quatrième chapitre, nous exposons les résultats obtenus des comparaisons entre les résultats numériques, expérimentaux et les résultats analytiques
Nous avons clôturé ce travail par des conclusions et des perspectives.

Effet d’échelle dans les structures en béton armé

Introduction

L’existence de l’effet d’échelle dans la nature est connue et observée depuis longtemps. La littérature rapporte de nombreux travaux portant sur ce phénomène dans différents contextes et pour différents matériaux : les pionniers étant Leonard de Vinci (1452-1519), Galileo Galilée (1564-1642) ainsi que George Louis Leclerc de Buffon (1707-1788) entre autres. Mais c’est seulement à partir du milieu du 20ème siècle que les études sur les effets d’échelle se sont intensifiées notamment après la publication de Weibull [9].
La notion d’effet d’échelle en mécanique caractérise la dépendance des performances des matériaux, notamment au voisinage de la rupture, aux différentes dimensions lors du passage d’une échelle à une autre [10]. Le problème d’effet d’échelle est plus complexe et plus aigu pour le béton, car c’est un matériau quasi-fragile dont le comportement à la rupture est fortement non linéaire.

Effet d’échelle dans les matériaux quasi-fragile

D’après Bazant, les matériaux quasi-fragiles tel que le béton sont incapables de présenter des déformations plastiques. Ils cèdent selon une rupture qui est caractérisée par une zone d’élaboration et de la fissuration relativement importante, dans laquelle le matériau subit de l’endommagement distribué lié à un adoucissement, sous la forme de microfissurations, cette zone est connue en anglais sous l’acronyme FPZ (Fracture Process Zone).
La taille de la zone d’élaboration de la fissuration qui est notée lc semble indépendante de la taille de la structure. En effet, d’après les observations expérimentales, cette taille serait liée à celle de la plus grosse hétérogénéité du matériau (lc ∝ lm×3 où lm est la taille du plus gros granulat).
À l’échelle macroscopique, on distingue deux types d’effet d’échelle dans les matériaux quasi-fragiles de type béton : L’effet de volume situé à l’échelle de l’éprouvette au laboratoire, et l’effet d’échelle de structure situé à l’échelle de la structure.

Effet d’échelle du volume

Ce type d’effet d’échelle existe lors de l’observation expérimentale d’une diminution de la contrainte moyenne de rupture avec l’augmentation du volume (V) de l’éprouvette d’essai soumise à une sollicitation homogène. Les expériences de compression simple sur des éprouvettes homothétiques de forme cylindriques (Figure 9) ont prouvé l’existence d’un tel effet d’échelle. En outre, la contrainte suit une loi de puissance de volume [11].
L’effet d’échelle de volume est souvent lié à l’existence des défauts dans les matériaux. En effet, à cause de l’hétérogénéité du matériau, la résistance locale des éléments de matière n’est pas uniforme, mais suit une distribution aléatoire. Par conséquent, la probabilité de trouver des éléments de faible résistance croît avec la taille de l’éprouvette d’essai. De ce fait la rupture apparaîtra plus tôt quand la taille de l’éprouvette augmente [9]. C’est en partant de ces constatations que les approches probabilistes de la rupture des matériaux de type Weibull [9] ont été développées.

Moment-Courbure plastique

Après dépassement de la limite élastique en traction sur la fibre inférieure, la partie comprimée au-dessus de l’axe neutre reprend les efforts de compression et les aciers inférieurs reprennent la traction jusqu’à leur limite de déformation plastique. On désignera alors le moment limite par le moment plastique et la courbure correspondante par la courbure plastique. Le moment correspondant à cette déformation plastique vaut.
Il convient de noter que dans l’EC 8 partie 2, deux formules pour le béton confiné pourraient être utilisées. La première est donnée dans l’annexe E et la seconde peut être tirée du document de l’EC 2 partie 1-1. L’estimation de la capacité de rotation plastique est valable pour les piles avec un rapport de cisaillement
/d ≥ 3, dans d’autres cas, il est nécessaire de multiplier la capacité de rotation plastique par un coefficient de réduction (Eurocode 8, 2006). Pour l’EC 8 partie 3, deux formules pour le béton confiné et pour la longueur de rotule plastique sont proposées, dans ce cas la capacité de rotation est divisée par un facteur
qui dépend du type d’élément et du confinement du béton. Dans les formules données par l’Eurocode 8, l’influence des effets d’échelles n’est pas considérée dans l’évaluation de la loi moment-courbure. Par conséquent, un effet d’échelle sur la ductilité flexionnelle (capacité de rotation) est évidemment présent.

Différents types de ductilité 

Ductilité de déformation 

La source de la ductilité est la capacité des matériaux à supporter des déformations plastiques sans réduction importante de contrainte. La ductilité de déformation est exprimée par le rapport de la déformation totale imposée à la déformation élastique, Il est évident que le béton non confiné est très peu ductile en compression. Un confinement adapté peut considérablement améliorer la ductilité.

Ductilité de courbure 

Elle est définie comme étant le rapport de la courbure maximale à la courbure élastique, elle caractérise la capacité de rotation des sections. Elle est directement associée à la capacité de déformation de l’élément soit en termes de rotation ou de déplacement.

Ductilité de déplacement 

La ductilité de déplacement est généralement une mesure de la ductilité globale de l’élément. Elle est définie comme étant le rapport du déplacement latéral total au déplacement latéral élastique. [8]
On visualise ces trois manières de quantifier la ductilité dans le tableau (2) suivant :

Notion de ductilité 

Définition de la ductilité 

La ductilité est une caractéristique primordiale des structures devant résister au séisme par la formation d’un mécanisme plastique global. Mais qu’est-ce que la ductilité ? Le terme “ductilité” définit la capacité d’une structure et des différents éléments présélectionnés à se déformer inélastiquement sans perte excessive de résistance et de raideur. Il n’y a pas qu’une seule manière d’évaluer la ductilité.
La ductilité dans une structure peut être quantifiée par : la ductilité de déformation, la ductilité de courbure et la ductilité de déplacement.
La première est liée à la capacité de déformation locale des matériaux, la deuxième est associée à la capacité de rotation dans une section et la troisième se réfère au comportement global de l’élément ou de la structure.

Réponse globale des piles (Eurocode 8)

Introduction 

Pour des structures complexes (irrégulières …), la notion de ductilité n’est pas simple à appréhender. A cet effet, des méthodes d’analyse avancées doivent être envisagées (Euro code 8, 2006). Elle est introduite via des lois moment-courbure déterminées par les formules des courbures et de moment résistant (Euro code 8, 2006). La courbure à la limite élastique pour les sections rectangulaires est donnée par:

Force-Déplacement

La courbe Force-Déplacement caractérise le comportement global de la pile. Comme la loi Moment-Courbure, la loi Force-Déplacement peut être représentée par un comportement élasto-plastique parfait et le déplacement en tête peut être séparé en deux termes, un déplacement élastique et un déplacement plastique comme montre la figure 4. Le déplacement en tête c’est la somme des deux déplacements élastique et plastique.

Effet d’échelle de structure

Ce type d’effet d’échelle est dû à la différence des performances mécaniques des structures réelles à celles des éprouvettes testées au laboratoire. On observe alors que la contrainte de rupture diminue lors de l’augmentation de la taille de la structure. L’Hermite a mis en évidence ce phénomène à travers des essais de flexion 3 points sur des poutres non entaillées de dimensions homothétiques. La contrainte de rupture en traction ft dans ces expériences (Figure 10) est déterminée en supposant le matériau élastique fragile et en utilisant la théorie classique des poutres pour le calcul des champs de contraintes dans l’éprouvette.

Les différentes approches décrivant l’effet d’échelle dans les matériaux quasi-fragile

Le phénomène d’effet d’échelle a suscité tellement d’intérêt dans la communauté scientifique que de nombreuses théories ont été proposées afin de le décrire. Nous allons recenser les principales théories qui permettent de prendre en compte l’effet d’échelle.

Théorie statique de Weibull

À travers l’étude de la rupture d’une chaîne constituée de « n » maillons identiques et indépendants (Figure 11), Weibull proposa en 1939 [10] une théorie statistique de la résistance des matériaux. Cette statistique est basée essentiellement sur l’hypothèse du « maillon le plus faible », il suffit qu’un seul maillon de la chaîne casse pour que l’ensemble de la chaîne casse.

La théorie fractale des effets d’échelle

En 1989, Carpinterie explique les effets d’échelle des structures par la présence des défauts créés par le chargement. Puis, en 1994 et en s’inspirant de nombreuses études réalisées sur les caractéristiques des fissures dans divers matériaux, il suggéra que le caractère fractal des surfaces de rupture joue un rôle significatif dans le processus de formation d’une nouvelle surface de rupture, et que la différence entre les caractéristiques fractales des fissures et des microfissures à différentes échelles d’observations est la source principale des effets d’échelle observés dans les matériaux quasi-fragiles de type béton.
Bazant suppose que la rupture est précédée par la formation d’une bande de fissuration d’épaisseur hf dans la section centrale de la plaque. L’extension de cette bande d’une unité de longueur nécessite un certain taux d’énergie de fissuration GF. La condition de conservation d’énergie consiste à écrire que l’énergie emmagasinée est égale à l’énergie nécessaire à la propagation de cette bande. Lorsque la bande de fissuration s’allonge de Δa, l’énergie additionnelle relâchée est causée par la partie densément hachurée. Ensuite, Bazant a considéré deux plaques homothétiques ayant des modes de rupture géométriquement similaires.
Ainsi, plus la plaque est large, plus la bande de fissures est longue à la rupture. En conséquence, plus la plaque est large, plus l’aire de la zone fortement hachurée est grande.
Alors, pour une même extension de la bande de fissuration, une quantité d’énergie plus importante est relâchée dans une structure de grande taille que dans une petite structure.
Par conséquent, la petite structure aura une résistance plus grande, ce qui explique l’effet d’échelle de structure. En se basant sur ce raisonnement énergétique et moyennant un raccordement asymptotique. Bazant a abouti à une loi d’effet d’échelle très simple, mais qui est valable uniquement pour le cas des structures pré fissurées ou renfermant une entaille initiale.
Cette loi d’effet d’échelle met en évidence l’existence de trois cas :
• Lorsque la structure est de petite taille c’est-à-dire a une dimension caractéristique D inférieure à
qui est la taille correspondante au point d’intersection entre les deux comportements asymptotiques la contrainte nominale sera constante est égale à la contrainte maximale max = Bf t. Dans ce cas la zone de rupture(FPZ) occupera toute la structure donc l’effet d’échelle sera négligeable, c’est le cas de la plasticité.
• Lorsque D est supérieur à (D ET ) la zone de processus de rupture sera petite par rapport à la taille de la structure donc l’effet d’échelle dans ce cas sera géré par la mécanique linéaire élastique de la rupture.
• Et la loi de Bazant notée précédemment sera appliquée pour les structures de taille moyenne c’est-à-dire lorsque D s’approche de.

Effet d’échelles sur les piles de ponts en BA

Les piles de ponts en béton armé sont constituées de grandes sections. Les lois d’effet d’échelle exposées précédemment ont montré que la contrainte de résistance nominale du béton diminue en augmentant la section en BA. Il en résulte une faible résistance nominale de la pile en question. En effet, le dimensionnement se base sur la contrainte du spécimen testé au laboratoire. Cependant, le matériau constituant la pile résistera moins ce qui peut compromettre la résistance de la pile et du pont par conséquent.
Le chapitre suivant traitera les méthodes de calcul de la réponse globale d’une pile en BA. Puis, des comparaisons avec l’expérimentation sont envisageables pour montrer l’existence de cet effet d’échelle.

Réponses globales des piles pleines et évidées

Introduction 

Ce chapitre est consacré à la détermination de la réponse Force-Déplacement de deux types de piles de sections différentes l’une est pleine et l’autre est évidée. Le comportement non linéaire des matériaux est représenté dans ce cas par la loi Moment-Courbure. Dans ce chapitre nous utilisant la démarche analytique[14] et le code USC-RC.

Différents types de ductilité 

Ductilité de déformation 

Elle provient de la capacité des matériaux à supporter des déformations plastiques sans réduction importante de la contrainte [6]. Son facteur de ductilité est exprimé par le rapport de la déformation totale imposée à la déformation élastique.

Conclusion

D’après les figues (19 et 22) on peut tirer les conclusions suivantes:
 La Figure 19 présente une comparaison des courbes moment-courbures obtenues par USC-RC et l’EC 8. Pour le domaine élastique, nous remarquons une différence de facteur de pente due à une différence dans le calcul de la rigidité élastique. La partie plastique montre que l’EC8 prévoit un comportement plastique quasi parfait contrairement à l‘EC8.
 La Figure 22 montre l’évolution de force en fonction du déplacement. On observe une croissance de l’effort des deux courbes jusqu’à 620 KN pour 0.12 m dans la phase élastique. Pour la phase plastique la même remarque faite sur la loi moment courbure est observée.

Poteaux testés par (Rodrigues et al.)

Introduction

Le programme d’essais utilisé pour cette validation a été réalisé par Rodrigues et al. [17]. Ils ont construit vingt-quatre poteaux rectangulaires en BA avec des caractéristiques géométriques et des renforcements différents. Ces poteaux ont été soumis à des charges cycliques avec des historiques différents et une charge axiale constante. Pour chaque type de poteaux, deux éléments ont été testés sous chargement uniaxial (dans les directions fortes et faibles) et les autres poteaux ont été testés sous chargement biaxial. Ces essais sont contrôlés par déplacement. Notre comparaison s’intéresse aux poteaux où le chargement est uniaxial dans la direction forte. Les dimensions en coupe transversale et les détails de renforcement sont présentés dans la Figure 52 et regroupés dans le Tableau 7.

Poteaux testés par (Rodrigues et al.)

Introduction

Le programme d’essais utilisé pour cette validation a été réalisé par Rodrigues et al. [17]. Ils ont construit vingt-quatre poteaux rectangulaires en BA avec des caractéristiques géométriques et des renforcements différents. Ces poteaux ont été soumis à des charges cycliques avec des historiques différents et une charge axiale constante. Pour chaque type de poteaux, deux éléments ont été testés sous chargement uniaxial (dans les directions fortes et faibles) et les autres poteaux ont été testés sous chargement biaxial. Ces essais sont contrôlés par déplacement. Notre comparaison s’intéresse aux poteaux où le chargement est uniaxial dans la direction forte. Les dimensions en coupe transversale et les détails de renforcement sont présentés dans la Figure 52 et regroupés dans le Tableau 7.

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Table des matières

Chapitre I : Notions générales et définitions de bases
1.1 Introduction
1.2 Méthodes non-linéaire
1.3 Analyse non linéaire en poussée progressive (Pushover)
1.4 Analyse temporelle non linéaire
1.5 Type des non linéarité
1.5.1 Non linéarités matérielle
1.5.2 Non linéarités des conditions aux frontières
1.5.3 Non linéarités géométrique
1.6 Modèles des comportements non linéaires
1.6.1 Modèle globale, utilisation des macroéléments
1.6.2 Modèle semi globale, multifibre
1.6.3 Modèle macroscopique
1.7 Réponse Force – Déplacement des piles
1.7.1 Introduction
1.7.2 Lois Moment-Courbure
1.7.3 Force-Déplacement
1.8 Réponse globale des piles (Eurocode 8)
1.9 Introduction
1.10 Notion de ductilité
1.10.1 Définition de la ductilité
1.10.2 Différents types de ductilité
1.11 Conclusion
Chapitre II : Le problème de l’effet d’échelle 
2.1 Introduction
2.2 Effet d’échelle dans les matériaux quasi-fragile
2.2.1 Effet d’échelle du volume
2.2.2 Effet d’échelle de structure
2.3 Les différentes approches décrivant l’effet d’échelle dans les matériaux quasi-fragile
2.3.1 Théorie statique de Weibull
2.3.2 La théorie fractale des effets d’échelle
2.3.3 La théorie déterministe de Bazant
2.4 Effet d’échelles sur les piles de ponts en BA
Chapitre III : Exemples de calcul analytique et numérique de la réponse d’une pile de pont
3.1 Pile rectangulaire pleine
3.1.1 Introduction
3.1.2 Calcule analytique d’une pile pleine
3.1.3 La courbure à la limite élastique
3.1.4 La courbure à la limite ultime
3.1.5 Déformation de compression du béton confiné
3.1.6 Calcul de la résistance ultime
3.1.7 Déformation à la résistance à la rupture
3.1.8 Déformation ultime du béton
3.1.9 Contrainte de confinement effective
3.1.10 Moment-Courbure plastique
3.1.11 Moment-Courbure ultime
3.1.12 La loi Moment-Courbure déterminée avec le code USC-RC de la pile pleine
3.1.13 Comparaison des résultants des graphs Moment-courbure
3.1.14 La longueur de la rotule plastique de la pile pleine
3.1.15 La courbe Force-Déplacement de la pile pleine par EC8
3.1.16 La loi Force-Déplacement avec le code USC-RC de la pile pleine
3.1.1 Comparaison des résultants des graphs Force-Déplacement
3.1.2 Différents types de ductilité
3.2 Conclusion
3.3 La pile rectangulaire évidée
3.3.1 Caractéristique de la pile
3.3.2 La courbure à la limite élastique
3.3.3 La courbure à la limite ultime
3.3.4 Déformation de compression du béton confiné
3.3.5 Calcul de la résistance ultime
3.3.6 Déformation de résistance à la rupture
3.3.7 Déformation ultime du béton
3.3.8 Contrainte de confinement effective
3.3.9 Moment-Courbure plastique
3.3.10 Moment-Courbure ultime
3.3.11 La loi Moment-Courbure avec le code USC-RC de la pile évidée
3.3.12 Comparaison des résultants des graphs Moment-Courbure
3.3.13 La longueur de la rotule plastique de la pile évidée
3.3.14 La courbe Force-Déplacement de la pile évidée
3.3.15 La courbe Force-déplacement avec le code USC-RC de la pile évidée
3.3.16 Comparaissant des résultats de fore-Déplacement
3.3.17 Différents types de ductilité
3.4 Conclusion
Chapitre IV : Comparaison Expérimental-EC8- Numérique
4.1 Introduction
4.2 Pile circulaire pleine
4.2.1 Caractéristique de la pile
4.2.2 La courbure limite élastique
4.2.3 La courbure à la limite ultime
4.2.4 Déformation de compression du béton confiné
4.2.5 Calcul de la résistance ultime
4.2.6 Déformation à la rupture
4.2.7 Déformation ultime du béton
4.2.8 Pour les coupes circulaires à arceaux spiralés
4.2.9 Contrainte de confinement effective
4.2.10 Calcul de moment maximal d’une pile
4.2.11 La loi Moment-Courbure déterminée avec le code USC-RC de la pile pleine
4.2.12 La longueur de la rotule plastique de la pile circulaire
4.2.13 La courbe Force-Déplacement de la pile circulaire
4.2.14 La loi Force-Déplacement déterminée avec le code USC-RC de la pile pleine
4.2.15 Expérimentale
4.2.16 Comparaison des résultants de Moment-Courbure
4.2.17 Comparaison des résultants de Forces-Déplacement
4.3 Pile circulaire testée par Carrea Francesco
4.3.1 Introduction
4.3.2 Caractéristique de la pile
4.3.3 La courbure à la limite élastique
4.3.4 La courbure à la limite ultime
4.3.5 Déformation de compression du béton confiné
4.3.6 Calcul de la résistance ultime
4.3.7 Déformation à la résistance à la rupture
4.3.8 Déformation ultime du béton
4.3.9 Contrainte de confinement effective
4.3.10 Calcul de moment maximal d’une pile
4.3.11 La longueur de la rotule plastique de la pile circulaire
4.3.12 La courbe Force-Déplacement de la pile circulaire
4.3.13 Différents types de ductilité
4.3.14 Programme expérimental
4.3.15 Comparaison des résultants de Moment-Courbure
4.3.16 Comparaison des résultants de Forces-Déplacement
4.4 Poteaux Testés par (Rodrigues et al. [17])
4.4.1 Introduction
4.4.2 Caractéristique d’une pile pleine
4.4.3 La courbure à la limite élastique
4.4.4 La courbure à la limite ultime
4.4.5 Déformation de compression du béton confiné
4.4.6 Calcul de la résistance ultime
4.4.7 Déformation à la résistance à la rupture
4.4.8 Déformation ultime du béton
4.4.9 Contrainte de confinement effective
4.4.10 Moment maximale de la pile
4.4.11 La loi Moment-Courbure déterminée avec le codeUSC-RC
4.4.12 Comparaison des résultants des graphs Moment-Courbure
4.4.13 La longueur de la rotule plastique de
4.4.14 La courbe Force-Déplacement de la pile circulaire
4.4.15 Courbes Force-Déplacement déterminées avec le code USC-RC des 4 poteaux
4.4.16 Résultats Expérimentaux
4.4.17 Comparaisons des résultats des courbes Force-Déplacement
4.4.18 Différents types de ductilité
4.4.19 Conclusion
Conclusions générales 
Références bibliographiques 

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