Comparaison entre la µ-synthèse et H∞ sensibilité mixte

Comparaison entre la µ-synthèse et H∞ sensibilité mixte

TESTS ET VALIDATIONS

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons tester les deux méthodes de conception de contrôleurs robustes vues dans le chapitre précédent. Nous commencerons par une comparaison du contrôleur basé sur la théorie de H∞ sensibilité mixte avec le contrôleur issu de la µ-synthèse. Ça nous permettra de choisir la méthode qui offre le meilleur compromis entre robustesse et performance. Ensuite, nous procéderons à des tests par difficulté croissante avec la meilleure méthode de conception du contrôleur choisi précédemment. Nous considérerons en premier lieu le cas d’un four de thermoformage à deux sorties et deux entrées, nous évoluerons par la suite avec d’autres systèmes ayant plus d’entrées et de sorties jusqu’au cas d’un four à douze entrées et douze sorties, c’est-à-dire à douze éléments chauffants et douze capteurs.

Algorithme et définition des paramètres choisis pour les simulations

L’ordinogramme de la Figure 4.1 décrit toutes les étapes à suivre pour la conception et les tests avec le contrôleur robuste. La conception du contrôleur et les simulations sont effectuées sous le logiciel Matlab®. Le modèle mathématique du four de thermoformage, décrit dans le chapitre 2, sera utilisé pour tous les tests à venir. Les paramètres à déterminer sont : les paramètres de simulation, les paramètres physiques du four de thermoformage, les paramètres physiques de la feuille de plastique, les conditions initiales et les paramètres des fonctions de pondérations. Les paramètres de simulation sont : le temps cycle de production et le nombre de cycles. Rappelons que pour des raisons de rendement et d’efficacité de production, la feuille de plastique est retirée du four de thermoformage avant que sa température n’atteigne sa valeur en régime permanent. Cette valeur doit être choisie selon le matériau utilisé et l’épaisseur de la feuille de plastique. Au cours de nos simulations, nous avons pris une période T = 300s. Le nombre de cycle dépend généralement du nombre de feuilles de plastique du lot de production, la seule contrainte sur ce paramètre est qu’il soit supérieur au temps de réponse du système, autrement dit, supérieur au nombre de cycles avant que la température désirée sur la surface de la feuille de plastique soit atteinte. Les paramètres de transfert de chaleur et du matériau plastique sont inclus dans le Tableau

Le paramètre k reste inchangé, voir le chapitre 2.4

Un point très important à aborder est la tolérance du matériau vis-à-vis de la température de transition vitreuse. L’erreur acceptable sur la température finale dépend fortement du matériau. Le HDPE (High Denstity Poly Ethylene) peut accepter des écarts de températures beaucoup plus important que le Nylon par exemple. Une erreur de température finale supérieure ou inférieure à celle tolérée entraîne automatiquement des pertes de production, au pire la fonte du plastique sur les éléments chauffants. Dans nos tests, nous acceptons des erreurs maximales sur la température finale de ±5°C et des dépassements maximaux de +5°C.

Comparaison entre la µ-synthèse et H∞ sensibilité mixte

Afin d’effectuer une comparaison entre les deux méthodes de conception de contrôleur, nous choisirons les mêmes paramètres dans les simulations, c’est-à-dire T = 300s et les paramètres énoncés dans la Tableau 4.1. Les tests seront réalisés sur un four à quatre éléments chauffants et quatre capteurs. En se référant à la Figure 2.2, nous avons regroupé les éléments chauffants par groupe de 3 pour obtenir 4 groupes de 3 éléments chauffants, et nous avons sélectionné les capteurs IRT3 et IRT6 pour la partie supérieure et IRB3 et IRB6 pour la partie inférieure. Le critère principal de sélection de contrôleur est la norme infinie. Le contrôleur qui présentera la norme infinie la plus basse sera celui qui répondra le mieux aux spécifications en termes de performances et de robustesse. Les résultats des contrôleurs obtenus sous le logiciel Matlab® avec les fonctions dkitgui et hinfsyn, respectivement pour la µ-synthèse et H∞ sensibilité mixte, sont présentés dans le  À partir du Tableau 4.2, la norme obtenue avec le contrôleur issu de la synthèse par H∞ sensibilité mixte est largement inférieure à celle du contrôleur issu de la µ-synthèse. Nous constatons aussi que le contrôleur issu de la µ-synthèse atteint très rapidement ses limites comparé à la méthode de conception basée sur H∞ sensibilité mixte. Lorsque nous augmentons ߱ à 0.9rd/s, la norme passe au-dessus de 1 et la stabilité n’est plus assurée.  Dans la suite des tests, la synthèse du contrôleur robuste se fera naturellement par la méthode H∞ sensibilité mixte qui offre une meilleure norme infinie. Pour l’implémentation du contrôleur un algorithme a été élaboré, il est présenté en Annexe II.

Configuration à quatre éléments chauffants et quatre capteurs

Le système utilisé pour le test est le même que celui du premier test décrit dans le paragraphe précédent, les paramètres utilisés sont ceux du Tableau 4.1, les paramètres de la fonction de pondérations sont ߱ = 0.4ݎ/݀ݏ ,ܯ=2 et ߝ = 0.4. Les éléments chauffants ont été tous initialisés à la température de 400K, et la température de la feuille de plastique à 300K. La sortie désirée a été fixée à 400K et ce pour toutes les simulations à venir. Pour augmenter le réalisme des simulations, nous avons introduit des bruits de mesures d’amplitudes maximales de ±1°C à la sortie pour simuler le bruit des capteurs de température. Le contrôleur simplifiée obtenu à partir de H∞ sensibilité mixte est un contrôleur TILC de 2ième ordre, et est de la forme La norme infinie obtenue avant simplification du contrôleur est de 0.6754, et de 0.6705 après simplification. Cette norme est définie par l’équation (3.11) où : Ce résultat nous confirme que le système répond à toutes les spécifications désirées en termes de performances et de robustesse. La commande et l’écart de température sur la température finale de la surface de la feuille de plastique sont représentés dans  Dans la Figure 4.2, nous observons un dépassement négligeable et que l’erreur de sortie est inférieure à 5° à partir du septième cycle. Ce résultat est traduit par la perte de sept feuilles de plastique du lot de production. Ce temps de convergence est acceptable vu que dans l’industrie les pertes sont beaucoup plus importantes.

Configuration à six éléments chauffants et six capteurs

Dans cette configuration, le meilleur choix est de regrouper les éléments chauffants par paires de chaque face de la façon suivante : T1 avec T4, T2 avec T5 et T3 avec T6. Les capteurs choisis sont IRT1, IRT3 et IRT6, respectivement les IRB1, IRB3 et IRB6. Nous allons une fois de plus reprendre exactement les mêmes paramètres définis pour le cas d’un four quatre éléments chauffants et quatre capteurs de températures, avec ω = 0.5rd/s et sans bruits de mesures. Pour la configuration d’un four 6×6, nous testerons deux contrôleurs TILC, le premier sera un TILC d’ordre 2 et le deuxième d’ordre 3. Nous comparerons, les deux contrôleurs à travers la norme infinie obtenue et le temps de réponse.

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Table des matières

INTRODUCTION 
CHAPITRE 1 REVUE DE LA LITTERATURE 
1.1 Introduction 
1.2 Cibles de la recherche
1.3 Modélisation du four de thermoformage
1.3.1 Étude physique du four
1.3.2 Revue de littérature sur la modélisation
1.3.3 Conclusion  
1.4 Contrôle du processus
1.4.1 Les défis du contrôle du procédé de thermoformage
1.4.2 Revue de la littérature sur le contrôle en thermoformage
1.4.3 Conclusion  
1.5 Conclusion générale de la revue de littérature
CHAPITRE 2 MODÉLISATION DU FOUR ET ÉTUDE DE L’IMPACT DES VARIATIONS DES PARAMÈTRES SUR LE PROCÉDÉ DE THERMOFORMAGE 
2.1 Introduction  
2.2 Description du four de thermoformage du projet
2.3 Modélisation du four de thermoformage
2.3.1 Transfert d’énergie par radiation
2.3.1.1 Émissivité effective
2.3.1.2 Loi de Beer-Lambert
2.3.2 Transfert d’énergie par mode de conduction
2.3.3 Transfert d’énergie par mode convection
2.3.4 Modèle mathématique du four
2.4 Impact de la variation des paramètres sur la sortie du système
2.5 Conclusion 
CHAPITRE 3 CONCEPTION DU CONTRÔLEUR 
3.1 Introduction  
3.2 Linéarisation du système
3.2.1 Détermination des matrices par la méthode de Krigeage duel
3.3 Commande terminale par apprentissage itératif
3.4 Synthèse du contrôleur H∞
3.4.1 Conception du contrôleur H∞ sensibilité mixte
3.4.2 Détermination de la matrice d’erreur ΔΨ
3.4.3 Détermination des fonctions de pondération
3.4.3.1 Matrice de performances
3.4.3.2 Fonction de pondération pour la robustesse
3.4.4 Système augmenté pour le problème H∞ sensibilité mixte
3.4.5 Résolution du problème de H∞ sensibilité mixte
3.4.5.1 Vérification des deux premières conditions
3.4.5.2 Vérification de la troisième condition
3.4.5.3 Vérification des deux dernières conditions
3.4.6 Conception de contrôleur robuste par µ-synthèse
3.4.6.1 Système augmenté pour le problème de µ-synthèse
3.5 Conclusion 
CHAPITRE 4 TESTS ET VALIDATIONS  
4.1 Introduction  
4.2 Algorithme et définition des paramètres choisis pour les simulations
4.3 Comparaison entre la µ-synthèse et H∞ sensibilité mixte
4.3.1 Configuration à quatre éléments chauffants et quatre capteurs
4.4 Configuration à six éléments chauffants et six capteurs
4.4.1 Contrôleur TILC d’ordre 2
4.4.2 Contrôleur TILC d’ordre 3
4.4.3 Comparaison entre le contrôleur TILC d’ordre 2 et le contrôleur TILC d’ordre 3
4.4.4 Impact de la variation du temps de cycle sur la conception du contrôleur 67
4.5 Configuration à dix éléments chauffants et dix capteurs
4.5.1 Impact des conditions initiales sur le contrôle
4.5.2 Impact de la variation de tous les paramètres du système
4.6 Configuration à douze éléments chauffants et douze capteurs
4.6.1 Décomposition SVD
4.6.2 Tests sur le four à douze éléments chauffants et douze capteurs
4.7 Conclusion 
RECOMMANDATIONS
ANNEXE I APPLICATION DE LA MÉTHODE DE KRIGEAGE SUR UN FOUR À DEUX ÉLÉMENTS CHAUFFANTS ET DEUX CAPTEURS DE TEMPÉRATURE
ANNEXE II SIMPLIFICATION DE FONCTIONS DE TRANSFERTS ISSUES DE LA µ-SYNTHÈSE OU DE H∞ SENSIBILITÉ MIXTE
LISTE DE RÉFÉRENCES .

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