Comment différencier difficultés liées au tracé et compréhension de la propriété géométrique ?

Ancrages théoriques

Représentations en géométrie : figure ou dessin ?

En géométrie la représentation tient une place centrale. Il convient donc de comprendre de quoi on parle, et en particulier de définir les notions de figure et de dessin.
Stella Baruk (1992) définit une figure comme un concept, un idéal. La figure possède donc exactement les propriétés théoriques qu’elle est supposée avoir. Un carré a des angles qui sont exactement droits, des côtés parfaitement parallèles, même si on les prolongeait sur des centaines de kilomètres, ils ne se couperaient jamais.
En revanche, elle définit le dessin comme la représentation de cette figure. Un dessin est donc imparfait. En effet on ne peut pas « rendre, sur du papier, des points sans dimension ou des droites sans épaisseur ». À cause de l’imprécision des instruments qui sont utilisés, de l’habilité du dessinateur, un dessin est plus ou moins précis, mais il reste toujours imparfait.
Les propriétés théoriques de la figure qu’il représente ne sont jamais totalement vérifiées.
Une seconde distinction entre figure et dessin faite par Stella Baruk (1992) tient au fait qu’un dessin se construit petit à petit en multipliant les tracés, tandis que la figure existe déjà.
C’est l’énoncé qui la révèle « en attirant l’attention sur elle ».
Le dessin malgré son imprécision joue donc un rôle fondamental dans les apprentissages en géométrie car c’est lui, qui s’il est suffisamment bien effectué, va permettre de percevoir les propriétés attachées à la figure qu’il représente.

Le tracé en géométrie

L’un des premiers obstacles évoqués lorsque l’on pense à la géométrie plane est celui du tracé. En effet, comme le souligne Jean Favrat (1991-1992) dans son étude sur les tracés en géométrie, les difficultés peuvent être relevées à plusieurs niveaux : technique, méthodologique et conceptuel. Ainsi, il montre la technicité de l’utilisation des instruments dans la dextérité et la coordination des gestes (tenir la règle et tracer en même temps, arrondi de l’équerre au point de raccordement, prendre et garder le bon écartement pour le compas, etc.). L’auteur souligne également que les élèves adoptent très fréquemment une démarche par imitation. C’est-à-dire qu’ils vont chercher la ressemblance avec la figure à reproduire par tâtonnements plutôt que de raisonner sur les propriétés géométriques de celle-ci. Ainsi, ils peinent à introduire des constructions auxiliaires comme marquer le centre d’un cercle déjà tracé ou bien prolonger un segment, qui les aideraient dans leur résolution de problème. De même, ils ont du mal à se détacher de la perception du segment pour penser à une droite et pour observer des alignements. Cet auteur nous montre combien le tracé est source de difficultés à plusieurs niveaux cognitifs (manipulation et représentation) et peut donc interférer dans la conceptualisation des différentes propriétés géométriques nécessaire à une reproduction correcte et réfléchie (argumentée, justifiée) des figures.

La manipulation dans le processus d’abstraction et la construction des connaissances

Jean Piaget (1977) distingue trois types d’abstractions interconnectées entre elles. Le premier qu’il nomme « abstraction empirique » permet aux enfants de se construire un véritable répertoire d’images mentales. L’enfant par ce processus d’abstraction va mettre en relation les objets nouvellement rencontrés avec ces expériences antérieures, les relations entre les objets sont simplement figuratives. Mais pour que se construisent des liens logiques, il va devoir effectuer des opérations intellectuelles lui permettant de mettre en évidence des propriétés relationnelles entre les objets : c’est le deuxième type d’abstraction définit par Piaget, l’« abstraction pseudo-empirique ». Cette dernière n’est donc possible que par la manipulation de l’enfant sur le concret. Les actions de ce dernier vont lui permettre de mettre en évidence un lien de cause à effet entre la manipulation et la propriété de l’objet. C’est le troisième type, l’« abstraction réfléchissante », qui va permettre de construire une généralisation de ces opérations intellectuelles qui permettra à l’enfant de se passer du support concret pour identifier des propriétés d’un objet.
Ce que corrobore Bernard Betinelli (2001) en précisant dans son étude que « le raisonnement des enfants se fondent essentiellement sur l’action. C’est d’elle que parte les analyses qui permettent aux enfants de comprendre les liens entre les faits qu’ils observent. »
Ainsi, la manipulation va être un outil permettant la construction de connaissances et compétences géométriques. Cependant, seule, elle ne peut être efficace et doit faire l’objet d’un acte réfléchi de la part de l’enseignant. En effet, il doit identifier le but à atteindre et ce que la manipulation va permettre.
Ce qui va engendrer l’élaboration d’une connaissance est le travail de verbalisation autour de la manipulation. Il va ainsi favoriser la décentration des élèves de l’activité manipulatoire et facilité l’intellectualisation de ses propres actions pour pouvoir les formuler, les argumenter voire les justifier.
Les programmes de cycle 2 prennent en considération ces travaux sur la construction des connaissances puisque dans le volet consacré aux spécificités de ce cycle est précisé : « Au cycle 2, on ne cesse d’articuler le concret et l’abstrait. Observer et agir sur le réel, manipuler, expérimenter, toutes ces activités mènent à la représentation, qu’elle soit analogique (dessins, images, schématisations) ou symbolique, abstraite (nombres, concepts). Le lien entre familiarisation pratique et élaboration conceptuelle est toujours à construire et reconstruire, dans les deux sens. »

La manipulation en mathématique

Selon Thierry Dias (2012), manipuler correspond au « faire », c’est -à-dire à l’action de déplacer, manier, toucher et utiliser. Tandis qu’expérimenter correspond au « raisonner », c’est-à-dire à dire, expliquer, convaincre, prouver. Il existe une véritable dialectique entre la manipulation et l’expérimentation.
En effet, l’expérimentation mathématique est différente de celle des sciences physiques ou biologiques dans le sens où s’instaure un véritable dialogue entre les objets mathématiques théoriques et les objets sensibles construits qui se traduit par des rétroactions entre hypothèses et manipulations. En effet, confrontés aux obstacles et contraintes du matériel, les élèves sont poussés aux questionnements et aux tentatives pour aboutir à une résolution du problème.

Analyse à priori

État des connaissances attendues chez des élèves de cycle 2

Les activités de tri et reconnaissance des formes planes sont travaillées depuis la maternelle et ne devraient pas poser de problème d’un point de vue de la compréhension de la consigne et de l’intégration de la tâche à effectuer par l’élève.
On peut donc s’attendre à ce que les élèves reconnaissent de manière intuitive les différentes figures usuelles planes étudiées (carré, rectangle, triangle et cercle), qu’ils les nomment (le rond peut être utilisé à la place de cercle).
D’après les programmes de 2008 (programmes en vigueur ou appliqués lors de leur année de CP voire CE1), les élèves ont appris à reconnaitre et à nommer les figures usuelles (carré, rectangle, triangle voire triangle rectangle). Ils ont pu également aborder la notion d’angle droit et certaines propriétés des figures.

Question de progression : du plan vers l’espace ou de l’espace vers le plan ?

La plupart des manuels scolaires actuels (parmi ceux fréquemment utilisés : CAP Maths CE2 Ed. 2017 ; Maths tout terrain CE2, Ed. 2016 ; Pour comprendre les mathématiques CE2 Ed. 2017 ; voir progressions en annexe a) préconisent de traiter la géométrie du plan vers l’espace. Cependant certains chercheurs, et même certaines éditions précédentes des programmes (1985) préconisent le contraire. En voici les principaux arguments détaillés par Jean-François Grellier (2004) :
– Les objets réels qui nous entourent sont des objets à 3 dimensions. En revanche les figures sont des constructions intellectuelles. Il est donc plus facile de raisonner sur les premiers que sur les seconds.
– Certaines notions, complexes dans l’espace, sont plus difficiles à acquérir quand elles sont réduites par la compréhension préalable qui en aurait été acquise dans le plan. C’est par exemple le cas avec les notions de parallélisme et d’orthogonalité.

Les programmes et nos objectifs d’apprentissages

Concernant le domaine des mathématiques, les programmes de 2015 détaillent six grandes compétences à travailler : chercher, représenter, modéliser, raisonner, calculer et communiquer.
L’enseignement de la géométrie permet de travailler la plupart de ces compétences. En effet, comme le mettent en avant les programmes de 2015, les tentatives de résolution d’une situation problème par le biais de l’observation, la manipulation, la modélisation va amener l’élève à chercher et à raisonner sur ses propres productions, celles de ses camarades ou éventuellement sur une production donnée. La verbalisation pour expliquer son raisonnement et argumenter ses productions vont conduire l’élève à construire des connaissances géométriques sous le guidage, l’étayage et le contrôle du professeur.
Aussi, nous retenons concernant notre sujet d’étude deux objectifs de connaissances et compétences du sous-domaine « espace et géométrie » à savoir :
• « Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques »
• « Reconnaitre et utiliser les notions […] d’angle droit, d’égalité de longueurs, […] »
Ces objectifs sont associés aux connaissances et compétences suivantes : « -Décrire, reproduire des figures ou des assemblages de figures planes sur papier quadrillé ou uni.
– Utiliser la règle, le compas ou l’équerre comme instruments de tracé.
-Reconnaitre, nommer les figures usuelles.
-Reconnaitre et décrire à partir des côtés et des angles droits, un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Les construire sur un support uni connaissant la longueur des côtés.
– Connaitre le vocabulaire approprié pour décrire les figures planes usuelles : carré, rectangle, triangle, triangle rectangle, polygone, côté, sommet, angle droit ;
– Connaitre les propriétés des angles et égalités de longueur des côtés pour les carrés et les rectangles. »
Cependant il est évident que pour la classe expérimentale de Marion, les objectifs de construction ne sont pas retenus ainsi que tout apprentissage relatif au tracé. Ces apprentissages seront travaillés ultérieurement dans sa progression.
Les programmes mettent également en avant l’importance du langage et notamment la précision du vocabulaire utilisé par le professeur et les élèves. Ils précisent aussi des types d’activités permettant l’apprentissage de connaissances dans notre domaine d’étude : « […]
Les notions de géométrie plane et les connaissances sur les figures usuelles s’acquièrent à partir de résolution de problèmes (reproduction de figures, activités de tri et de classement, description de figures, reconnaissance de figures à partir de leur description, tracés en suivant un programme de construction simple). »
Ainsi, ils proposent quelques exemples comme le jeu du portrait ou encore des problèmes de reconstruction/restauration de figures. Les activités de type « jeu de portraits » sont mises en place dans les deux classes car la seule construction de dessin géométrique (par le tracé comme par manipulation) n’est pas suffisante pour évaluer la compréhension par les élèves des propriétés géométriques mises en jeu. Les activités de restauration ne sont mises en place que dans la classe de Sarah.

Les tâches cognitives de l’élève dans la construction des connaissances

Les connaissances que l’on cherche à développer demandent aux élèves de réaliser certains processus d’abstraction. En effet, l’élève doit reconnaitre des figures : il doit identifier de façon perceptive la figure parmi un ensemble et pour cela il faut qu’il identifie les caractéristiques propres à cette figure pour la relier à celles déjà rencontrées précédemment et présentant les mêmes caractéristiques. Il en donnera le nom si ce dernier a été mémorisé pour cette catégorie. Ce type de tâche ne présente pas de difficulté notoire et est travaillée depuis la maternelle lors d’exercices de tri, regroupement, classement.
Maintenant nous souhaitons que l’enfant n’identifie plus la figure de manière globale mais grâce à des propriétés qui lui sont propres et immuables. Pour cela plusieurs prérequis sont nécessaires : il faut que l’enfant connaisse le vocabulaire mathématique et les concepts qui en découlent. Par exemple : qu’est-ce qu’un côté ? Une longueur ? Un angle droit ? Ainsi l’élève doit dans un premier temps se familiariser avec le vocabulaire et le sens mathématique de ce dernier. Nous souhaitons également que l’enfant soit capable de décrire cette figure ce qui met en jeu un autre niveau d’abstraction puisque la description d’une figure nécessite de se détacher du support réel donc de se décentrer et d’utiliser un vocabulaire adéquat pour être compris et répondre aux attentes des enseignants. Nous reviendrons plus en détail sur les activités des élèves dans le paragraphe détaillant les différentes activités retenues pour nos expériences.

Choix du matériel et description

Notre sujet « s’affranchir du tracé pour construire des compétences géométriques » nous a amenées à rechercher dans la bibliographie et les manuels scolaires un matériel répondant à plusieurs exigences. Il devait pouvoir être accessible à des élèves de cycle 2 (niveau CE2) afin de pouvoir être utilisable par tous. Les élèves devaient pouvoir s’approprier le matériel rapidement et donc celui-ci ne devait présenter aucune complexité dans son utilisation. Il devait également pour des raisons économiques ne pas présenter un investissement excessif.
Mais au-delà des aspects techniques et financiers, il était fondamental que les diverses exploitations du matériel puissent répondre à nos objectifs de compétences et connaissances que nous nous étions fixées.
Ainsi nous avons retenu le géoplan ou « planche à clous ». Ce matériel fût inventé par Caleb Gattegno (1911 – 1988), mathématicien d’origine égyptienne. Il est constitué d’une planche sur laquelle sont plantés des clous formant un ensemble de carrés isométriques. Celui utilisé est composé de 25 clous (5*5) avec des espacements de 3 cm. (Annexe b). Les clous permettent ainsi de tendre des élastiques pour former rapidement et « parfaitement » des figures en s’affranchissant ainsi du tracé.

Expérimentations et analyse à postériori

Séance 1 : Évaluation diagnostique

Dans les deux classes, la première séance a été consacrée à l’évaluation diagnostique (Annexe e). Dans la classe de Sarah elle est introduite comme étant un travail destiné à mieux savoir ce que savent déjà les enfants pour préparer le travail des séances suivantes. L’exercice 1 nécessite plusieurs reformulations de la consigne pour la rendre plus claire pour tous. Dans la classe de Marion, pour introduire cette évaluation, l’enseignante procède à un rappel en sollicitant les élèves sur ce qui avait été vu en géométrie durant la période précédente (travail sur les solides). Les élèves ont pu se remémorer ce qu’était un solide, le vocabulaire pour le décrire puis ce qu’était un patron. Cela a permis d’évoquer les formes planes et d’introduire l’évaluation diagnostique pour connaitre l’état des connaissances des élèves sur les formes planes.
Les évaluations ont été corrigées en s’appuyant sur le même barème de correction dans les deux classes (annexe f). Quatre compétences ont été évaluées :
– Reconnaitre et nommer les figures usuelles (compétence 1) ;
– Reconnaitre et décrire à partir des côtés et des angles droits, un carré, un rectangle, un triangle rectangle (compétence 2) ;
– Connaitre les propriétés des angles et égalité de longueur des côtés pour les carrés et rectangles (compétence 3) ;
– Connaitre le vocabulaire approprié pour décrire les figures planes (compétence 4).
Les élèves de CE1 de la classe de Sarah étant peu nombreux (5/23) et ayant obtenu des résultats assez similaires aux autres élèves, ils ne seront pas séparés lors de l’analyse des résultats.
Dans la classe de Sarah, les compétences 1, 3 et 4 sont acquises ou dépassé pour au moins la moitié des élèves (Figure 1 A), dans la classe de Marion, c’est le cas pour la compétence 3. On note une forte disparité entre les deux classes. La compétence 2 est celle qui pose le plus de difficultés aux élèves des deux classes.
Par ailleurs, dans la classe de Marion beaucoup d’élèves utilisent le vocabulaire des solides pour décrire les figures planes. Le mot sommet est utilisé à bon escient, mais le mot arête est utilisé à la place du mot côté (23 occurrences), le mot face est également employé à une occurrence. Dans la classe de Sarah, cet emploi du vocabulaire des solides est plus rare (1 occurrence du mot arête). Nous attribuons ce résultat à nos progressions. En effet, dans la classe de Sarah, les élèves ont travaillé sur les notions d’alignement, de milieu et d’angle droit lors de la période précédente, tandis que dans la classe de Marion ils ont travaillé sur la notion de solides.

Le parasitage du contrat didactique

Le contrat didactique tel que défini par Brousseau (1986) joue un rôle primordial dans la réponse des élèves. Ainsi ce phénomène est perçu aussi bien dans la classe de Marion que dans la classe de Sarah.
Dans la classe de Marion, lors de la séance 2, une grande partie des élèves reproduisent l’ensemble des figures sur géoplan en faisant abstraction de la consigne « à l’identique » afin de satisfaire la demande du professeur. Ce phénomène entraine un véritable débat en classe qui va pousser le professeur à intervenir en pointant l’importance du mot « identique ». Afin de prévenir cette situation et d’apporter aux élèves une validation mathématique et non magistrale, il aurait été judicieux d’utiliser un puzzle constitué de pièces à échelle du géoplan et de demander aux élèves dans un second temps de trouver une méthode permettant de valider chacune des figures reproduites (découpage des pièces du puzzle et superposition sur les figures reproduites sur papier pointé).
Dans la classe de Sarah, c’est probablement ce phénomène qui influence les réponses données par les élèves en séance 5 (évaluation formative). En donnant l’exercice, Sarah précise que toutes les définitions peuvent ne pas correspondre à une figure, qu’on peut donner plusieurs réponses pour une même figure et qu’une même figure peut correspondre à plusieurs définitions (ce qui est le cas dans la majorité des exercices de ce type donnés dans la classe). Cependant la majorité des élèves semble considérer qu’à une définition doit correspondre une et une seule définition, allant même jusqu’à se corriger quand ils constatent qu’ils ont utilisé plusieurs fois une même figure (pourtant à juste titre).