Cas d’une fonction de distribution des électrons bi-Maxwellienne

Plasma avec une population d’électrons et une espèce d’ions

   Gurevich et al. [3] ont été les premiers à étudier le problème de l’expansion d’un plasma dans un vide, en s’appuyant sur un modèle quasi-neutre et isotherme, avec une distribution de Boltzmann pour la densité des électrons. Ce modèle donne les solutions auto-semblables de l’expansion et suggère une vitesse des ions qui croît infiniment dans l’espace. Il convient de préciser que même si ce modèle offre une meilleure compréhension de certains résultats expérimentaux, il ne permet pas d’étudier l’échange d’énergie entre les électrons et les ions au travers du champ électrique et les distorsions qui peuvent en résulter sur la distribution en densité des électrons comme le montrent Allen & Andrews [4]. En outre, Crow et al [5] ont démontré que les effets de séparation de charges limitent lavitesse maximale des ions en formant une couche électrostatique non neutre qui tronque le profil exponentiel de la densité des ions à un point proche de la position où la longueur caractéristique de la densité des ions est égale la longueur de Debye locale. Plus tard Pearlman & Morse [6], tenant compte de ces effets de séparation de charges, ont corrigé ce modèle en proposant une expression approximative de la vitesse maximale des ions sous la forme : vmax ≃ cs [3 + 2 ln(2τ )] où τ = ωpit/√ 2eN1, ωpi2 la fréquence plasma ionique et cs la vitesse du son. Une étude très précise des effets dus à la séparation de charges lors de l’expansion du plasma dans le vide a été menée par Mora [7]. Celle-ci a permis d’établir les expressions exactes de la position de la structure du front d’ions, du spectre des ions, et plus spécifiquement de la vitesse maximale des ions, vmax = 2cs lnτ +√τ2 + 1. Les études citées ci-dessus considèrent un plasma semi-infini dans lequel l’énergie et le nombre total de particules sont infinis. Pour des plasmas de tailles finies, contrairement au cas d’un plasma semi-infini, on ne peut pas considérer le plasma comme une source infinie de particules et d’énergie. L’énergie des électrons évolue dans le temps, en effet les électrons transfèrent globalement leur énergie aux ions au cours de l’expansion (True et al. [10] et Mora [12]). Pour une cible de taille finie, Mora [12] a estimé que la vitesse maximale des ions dépend uniquement des paramètres initiaux du plasmas, et elle s’écrit sous la forme : vmax ≃ cs ln (0.32 L/λD,0 + 4.2) où L est la taille initiale du plasma et λD,0 la longueur de Debye initiale des électrons, les valeurs numériques étant déterminées grâce à des simulations. Par ailleurs, des études réalisées avec un modèle d’expansion cinétique [13, 14] ont démontré que les effets cinétiques induisent de fortes distorsions sur la fonction de distribution des électrons initialement Maxwellienne, puis une accélération de l’onde de raréfaction jusqu’au centre de la feuille de plasma

Plasma avec deux populations d’électrons et une espèce d’ions

   Une expérience réalisée avec une intensité laser modeste I ≃ 1014 cm−3 fait état de la génération de deux populations d’électrons avec des températures Tc = 20 keV et Th = 120
1. eN désigne le logarithme néperien.
2. Par abus de langage, on appelle fréquence plasma la grandeur ωpi, bien que celle-ci ne soit pas homogène avec une fréquence. C’est en réalité une pulsation.

keV 

   Pour ces régimes d’intensités, Forslund et al. [18] ont établi numériquement une expression de la température des électrons chauds Th d’un plasma en fonction de l’intensité laser et de la température des électrons froids Tc sous la forme Th ≃ 14(I16λ 2 L ) 1/3T1/3 c . De même le rapport de la densité des électrons chauds à la densité des électrons froids peut s’écrire de manière suivante : nh/nc ≃ 2η(I16λ2L)1/2/T1/2 c où η est la fraction du flux incident absorbé. Par ailleurs, Hansen et al. [16], avec une cible d’aluminium recouverte de Titane (Ti) et irradiée par une impulsion laser d’intensité 1019 W cm−2 (500 fs 3-6 J), ont mesuré une température pour les électrons froids de l’ordre de 40 eV . En outre Evans et al. [15] ont obtenu une température pour les électrons froids de l’ordre de 500 eV avec le laser Vulcan (300 J d’énergie, une durée d’impulsion de 800 fs, et une intensité laser I ∼ 1020 W cm−2) focalisée sur une cible d’aluminium entourée d’une couche de plastique CH. La température des électrons rapides (responsables du chauffage) créés avec cette impulsion laser est de l’ordre du MeV . Sur le plan théorique, plusieurs résultats ont été publiés. D’une part, Morse & Nielson [19] ont regardé la structure de la discontinuité de l’écoulement résultant d’un plasma à deux températures d’électrons. Leur modèle fournit certains éléments caractéristiques de l’écoulement (amplitude du saut du choc, vitesses et densités en amont et en aval de la discontinuité, etc.), dans la limite où la pression des électrons froids est négligeable devant celle des électrons chauds. Plus tard, Wickens et al. [20] ont évoqué la première fois la possibilité d’une rupture de validité de l’hypothèse de quasi-neutralité du plasma, lorsque le rapport en température entre les électrons chauds et froids est supérieure ou égal à 5 + √24. Par la suite, Bezzerides et al. [21] ont démontré théoriquement l’existence d’un choc de raréfaction dans de telles conditions, dont l’amplitude dépend du rapport en température des électrons chauds à la température des électrons froids. D’autre part, Passoni et al. [22] puis Bychenkov et al. [23], ont montré que la présence des électrons froids simultanément avec les électrons chauds pouvait augmenter, dans le cas où leur pression est supérieure à celle des électrons chauds, le champ électrique accélérateur et par conséquent l’énergie maximale des ions. Enfin, des travaux théoriques consacrés à l’expansion de plasma dans un vide avec deux températures d’électrons et deux espèces ioniques (Bochkarev [25], Tikhonchuk [26]),montrent la présence de plusieurs chocs dans le plasma : le choc de raréfaction évoqué ci-dessus et une discontinuité due à la séparation entre les différentes espèces d’ions au cours de l’expansion. Une meilleure compréhension des mécanismes d’expansion, de la structure du plasma et de l’influence des électrons de basse énergie sur la dynamique du plasma, est nécessaire pour pouvoir évaluer avec certitude les caractéristiques des ions. Ce constat est en effet à l’origine de ce thèse.

Target normal sheath acceleration (TNSA)

  L’incidence d’une impulsion laser ultra-intense sur une cible solide (ou gazeuse) permet d’accélérer un large nombre d’électrons à des énergies de l’ordre de quelques MeV [31]. Lors des expériences avec des cibles minces, les électrons chauds traversent la cible, et viennent former en face arrière de celle-ci un nuage d’électrons chauds. Ensuite, sous l’effet de la séparation de charges, un champ électrique intense de l’ordre du T V m−1 se crée. Ce champ ionise les molécules de la face arrière de la cible, puis accélère les ions jusqu’à des énergies très importantes [32, 33, 36], (les différentes étapes de ce processus sont illustrées sur la figure 2.1). Ce mécanisme d’accélération est appelé Target Normal Sheath Acceleration (TNSA), et a été confirmé par plusieurs expériences. Des ions de 58 MeV d’énergie ont été obtenus avec ce mécanisme par Snavely et al. [37]. Les ions créés en face arrière de la cible présentent des caractéristiques de faisceaux uniques (courte durée, haute énergie, faible émittance, etc.) qui font d’eux des candidats idéaux pour plusieurs applications. Toutefois, l’utilisation des faisceaux d’ions créés avec ce mécanisme d’accélération (TNSA), présente quelques inconvénients : le caractère quasiMaxwellien du spectre des ions conduit à une forte dispersion de l’énergie des ions ce qui est problématique pour les applications [39], ensuite la divergence latérale du faisceau d’ions mène à un élargissement et à une diminution de la couche accélératrice d’ions. Par ailleurs en fonction de la géométrie de la cible, l’énergie des ions peut être augmentée grâce à la re-circulation des électrons confinés dans un volume très faible de la cible [41, 42]. En outre plusieurs auteurs ont réussi à obtenir des faisceaux d’ions mono-énergétiques avec notamment la présence d’un pic au niveau du spectre des ions, Schollmeier et al. [44] puis Toncian et al. [45] en usant une technique de sélection spectrale avec une micro-lentille externe. Grâce à une technique de rotation radio-fréquence en phase, Noda et al. [46] ont obtenu le même résultat. Elle consiste à tourner la phase longitudinale du faisceau de protons avec un champ électrique d’une radio-fréquence (RF) dont la phase est bien ajustée avec celle du laser. Le but est d’accélérer les protons de faible énergie et en même temps de ralentir ceux de haute énergie de façon à avoir un faisceau homogène à la sortie de la cavité radiofréquence. Pour finir, notons que la présence de chocs non-collisionnels dans les plasmas permet non seulement une accélération efficace des ions, mais également d’éliminer la structure en exponentielle décroissante avec l’énergie du spectre des ions, en faisant apparaître un pic sur le spectre des ions (les détails de l’expérience réalisée avec un laser CO2 sont donnés dans ce papier Réf. [47]).

Proton-thérapie

   L’idée d’utiliser les faisceaux de protons (ou d’ions) créés par laser pour le traitement des cancers est apparue depuis plus d’une dizaine d’années. Celle-ci est séduisante pour plusieurs raisons. D’abord, ils ont des propriétés de faisceaux très particulières, faible émittance, faible divergence, énergie grande, et peuvent être générés avec des installations (accélérateur laser-plasma) beaucoup plus compactes que les accélérateurs conventionnels. Avec ces faisceaux d’ions on dépose moins d’énergie sur le corps du patient que dans le cas de rayons X. L’avantage principal de l’utilisation des faisceaux d’ions pour le traitement des tumeurs réside dans leur profil profondeur-dose au travers d’un matériau, caractérisé par un plateau à faible dose au début puis un pic très important et localisé en fin de parcours; le pic de Bragg. La figure 2.6 montre une mesure du dépôt d’énergie par un faisceau d’ions de 12C dans de l’eau, effectuée au GSI. D’autre part, ces faisceaux semblent plus efficaces cliniquement que les X. En effet, il est estimé que probablement 12% des patients traités actuellement avec des faisceaux d’électrons ou des X seraient mieux pris en charge avec des faisceaux d’ions (Ledingham et al. [54]). Le challenge pour l’application des faisceaux ions en proton-thérapie est d’avoir des ions avec un parcours minimale de 25 à 30 cm dans les tissus[55]. En terme d’énergie, il faut environ 200 à 225 MeV de protons, ou 400 à 430 MeV/u pour les ions de carbone. De telles énergies sont susceptibles d’être obtenues avec les lasers actuels. Cependant, cette énergie doit être celle déposée sur la surface du patient mais du fait du transport du faisceau et des pertes éventuelles qui lui sont associées, l’énergie du faisceau généré par l’accélérateur doit être bien supérieure à celles mentionnées ci-dessus. Le flux d’ions requisest de 1010 protons par seconde, et un taux de répétition très haut, typiquement de l’ordre d’une dizaine de tirs par seconde (10 Hz), est nécessaire pour la proton-thérapie. D’autres applications possibles des faisceaux d’ions existent, notamment comme outil d’imagerie lors de l’interaction laser plasma [56].

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Table des matières

1 Introduction 
1.1 Contexte 
1.2 Objectifs de la thèse
1.3 Plan de la thèse 
2 Accélération d’ions par laser et Applications 
2.1 Théorie de l’accélération 
2.1.1 Introduction
2.1.2 Target normal sheath acceleration (TNSA)
2.1.3 Radiation Pressure Acceleration (RPA)
2.2 Applications des faisceaux d’ions
2.2.1 Fusion thermonucléaire
2.2.2 Proton-thérapie
3 Généralités sur les plasmas 
3.1 Plasma
3.2 Description cinétique
3.3 Description fluide 
3.4 Conclusion 
I Étude fluide de l’expansion d’un plasma bi-Maxwellien 
4 Expansion d’un plasma semi-infini 
4.1 Modèle de plasma 
4.1.1 Équations générales
4.1.2 Expansion quasi-neutre : solution auto-semblable
4.1.3 Impossibilité d’une solution auto-semblable
4.2 Caractéristiques de la discontinuité 
4.2.1 Relations de Rankine-Hugoniot
4.2.2 Conditions d’existence de la discontinuité
4.3 Conclusion 
5 Caractéristiques microscopiques du choc de raréfaction 
5.1 Choc de raréfaction : conditions nécessaires d’existence
5.2 Résolution de l’Hugoniot du choc 
5.3 Étude des différents régimes d’expansion
5.3.1 Régime d’expansion standard
5.3.2 Régime d’expansion supersonique
5.3.3 Régime d’expansion : raréfaction des électrons chauds
5.4 Conclusion 
6 Comparaisons avec les simulations 
6.1 Description du code
6.2 Résultats des simulations
6.2.1 Profils spatiaux
6.2.2 Vitesse du front de raréfaction
6.2.3 Spectre des ions
6.3 Conclusion
II Étude cinétique 
7 Étude cinétique de l’expansion d’un plasma bi-Maxwellien 
7.1 Présentation du code
7.1.1 Conditions initiales
7.1.2 Aspects énergétiques
7.2 Régimes d’expansion et aspects énergétiques
7.2.1 Régime de raréfaction des électrons chauds
7.2.2 Régime d’expansion supersonique
7.2.3 Régime d’expansion standard
7.2.4 Accélération des ions
7.3 Conclusion 
8 Conclusion générale 
A Annexe
A.1 Modèle physique
A.2 Choc de raréfaction
Bibliographie

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