Caractérisation mécanique des caoutchoucs cristallisants sous contrainte

Caractérisation de la propagation de fissure dans le pneumatique par une grandeur mécanique

    Dans le pneumatique, le caoutchouc doit répondre à un cahier des charges de plus en plus exigeant. Pour des raisons de sécurité et d’autonomie, la quantité de caoutchouc dans le pneumatique diminue ce qui représente un nouveau défi pour sa longévité et sa fiabilité. La connaissance et la caractérisation efficace et précise de la résistance à  la propagation de fissure est donc essentielle. Alors que la fissuration commence à être bien connue et comprise dans un certain nombre de matériaux comme les alliages de métaux ou les polymères vitreux, nous ne disposons que de très peu d’outils et de comparaison théorie-expérience pour les élastomères. De plus, les grandes déformations et la présence systématique de dissipation non-confinée en pointe de fissure rendent la modélisation de la rupture difficile. Il s’avère donc essentiel avant même de proposer un critère de rupture de pouvoir développer une grandeur caractéristique de la rupture qui pourra s’appliquer à ces problèmes.

Caoutchoucs cristallisants

   Le second enjeu réside dans l’étude des différences entre le caoutchouc naturel (NR) et le caoutchouc synthétique (IR). Dans l’industrie du pneu, 60% des caoutchoucs utilisés sont des caoutchoucs synthétiques fabriqués à partir d’hydrocarbures d’origine pétrolière, le caoutchouc naturel restant cependant nécessaire pour les 40% restants. Le caoutchouc synthétique possède de bonnes propriétés viscoélastiques, ce qui en fait un matériau de grand intérêt pour la fabrication de pneus adhérents. Il apporte également d’autres propriétés spécifiques en particulier dans le domaine de l’usure et de la résistance au roulement. Quant au caoutchouc naturel, c’est un matériau dont les capacités de cristallisation sous tension n’ont jamais pu être égalées. Ces capacités améliorent généralement les propriétés mécaniques, en particulier la résistance à la fatigue ou à la déchirure. Pour améliorer les propriétés globales du pneumatique, l’étude comparative entre le NR et le IR est essentielle ainsi que l’étude des sollicitations particulières sous lesquelles le NR cristallise. De plus, dans le contexte de la conception industrielle, le comportement de l’élastomère utilisé est de première importance. En effet, certains dommages sont considérés comme dimensionnant pour le pneu et l’utilisation du NR et ses propriétés de cristallisation sont importantes pour la conception. Or, les tests de fatigue et a fortiori, ceux comportant de la cristallisation sous contrainte, demandent des moyens techniques et un temps considérables. La modélisation et le calcul s’avèrent donc indispensables durant la phase de conception pour modéliser ce comportement.

Modélisation constitutive de la cristallisation sous contrainte dans le caoutchouc (Partie III)

   Le comportement sous chargement cyclique du caoutchouc naturel reste difficile à cerner du fait de sa faculté à cristalliser sous contrainte. Cette évolution de la microstructure s’accompagne d’une importante amélioration de la durée de vie des pièces en fatigue. Même si le phénomène de cristallisation sous contrainte de ce matériau est encore mal connu, certains travaux ont apporté un éclairage sur ce phénomène ([68], [132], [12]). Ces travaux ont concerné aussi bien les sollicitations monotones (cristallisation sous chargement et sa disparition lors de la décharge, rôle de la relaxation moléculaire, influence sur les chaînes amorphes), que cycliques (cumul des cristaux au cours des cycles, influence du rapport de charge, dissipation). On note les propriétés suivantes :
– L’alignement des chaînes polymères lors de la déformation influe sur la température de fusion du caoutchouc et crée le phénomène de cristallisation sous contrainte [48].
– Il y a cumul des cristaux sous chargements cycliques et plus particulièrement pour un rapport de charge positif et élevé ([132], [12]).
– La cristallisation modifie fortement la propagation d’une fissure en fatigue [132].
L’objet de cette partie a donc été d’obtenir une loi de comportement constitutive de la cristallisation sous contrainte dans le cadre du modèle de micro-sphère [53] qui nous permet de caractériser :
– la relation contrainte-déformation (effet relaxant et durcissant, hystérèse),
– l’anisotropie des réponses locales en prenant en compte l’histoire locale des directions principales de déformation,
– les effets localement induits par la cristallisation en fond de fissure.
Dans ce cadre de travail, la difficulté principale vient de l’absence de loi de comportement constitutive thermodynamiquement cohérente et pouvant s’appliquer à des simulations 3D comportants un grand nombre de degrés de liberté. On peut néanmoins citer deux tentatives de construction d’un modèle constitutif contemporaines de ce manuscrit ([74] qui se base sur une cinétique de nucléation appliquée à une chaine représentative dans chaque direction de l’espace et [119] qui cherche une représentation mésomécanique d’une cristallite dans un réseau chargé). De plus, les différents mécanismes constitutifs proposés dans la littérature diffèrent sur de nombreux points [68]. Dans un premier temps, on s’est proposé de faire un état de l’art des observations expérimentales en insistant sur les aspects constitutifs du comportement cyclique (chapitre 9). La méthode utilisée pour faire cet état de l’art nous a permis de mettre en exergue les mécanismes de relaxation de la phase amorphe, de durcissement du réseau par variation de la morphologie des cristallites et par création de nouvelles nano-charges (les cristallites) ainsi que la présence d’une hystérèse dont l’évolution a été observée sur plusieurs types de chargement cyclique. Ensuite, au chapitre 10, on a construit une loi de comportement 1D thermodynamiquement cohérente basée sur les mécanismes constitutifs que l’on a extrait des observations précédentes et sur l’introduction d’une variable interne représentant la cristallinité efficace. Cette loi a été développée dans un cadre thermodynamique cohérent et intégrée au concept de micro-sphère pour lui donner son aspect anisotrope dans des simulations 3D. Une version simplifiée de la loi 1D a également été développée et testée analytiquement de manière à comprendre simplement les différents éléments constituants la loi et à proposer une loi de comportement à coût faible pour certains calculs industriels. Au chapitre 11, on détaille l’ensemble des procédures numériques ainsi que l’organisation du code source. La procédure de calcul se fonde notamment sur une résolution par direction de la loi d’évolution 1D par une version modifiée de l’algorithme de retour radial permettant de gérer correctement les points de saturation de la cristallinité. Enfin, au chapitre 12, on a comparé la loi à plusieurs mesures expérimentales sur un panel exhaustif de chargements :
– un calcul 1D avec comparaison simultanée de la cristallinité, de la contrainte et de l’élongation locale de la partie amorphe du réseau en fonction de l’élongation pour un cycle charge-décharge. Ce calcul a montré une bonne reproductibilité des résultats expérimentaux.
– un calcul 1D pour plusieurs cycles à décharges partielles qui montre les limites du modèle 1D.
– plusieurs calculs 3D homogènes uniaxiaux et bi-axiaux permettant d’analyser le comportement résultant de l’intégration par direction et d’étudier en détails l’apport de la micro-sphère à la problématique des cycles partiels.
– un calcul 3D homogène uniaxial puis biaxial associé à une mesure quantitative de l’évolution de l’orientation des cristallites lors d’un cycle charge-décharge comparé avec l’expérience. Ce calcul a également montré une bonne reproductibilité des résultats expérimentaux.

Cinétique de cristallisation

   Lorsqu’on observe, à température ambiante, un caoutchouc naturel déformé suffisamment pour cristalliser, la contrainte relaxe au cours du temps et la cristallinité augmente [91]. On observe alors deux temps caractéristiques lors de cette relaxation. Ce résultat est confirmé par les travaux de Tosaka [158] et de Choi [30]. Cette expérience de relaxation, même si elle est la seule que l’on a pu faire jusqu’à très récemment, reste très critiquable car le temps pour atteindre l’élongation maximum est toujours trop long par rapport à la cinétique de cristallisation et les techniques de diffraction ont des temps d’acquisition de données importants (typiquement plusieurs minutes). Malgré ces difficultés, différentes études ont conclu [1, 86, 97, 43] que l’orientation des molécules n’était pas instantanée, et que les deux cinétiques s’accélèrent lorsque l’élongation augmente. De plus, ces auteurs se sont accordés sur un temps caractéristique de 50 msec pour la cinétique la plus rapide. Cependant, durant les deux dernières années, de très important progrès ont été réalisés dans la mesure du temps caractéristique de cristallisation [19, 2]. Ces études ont mis en place des techniques expérimentales dédiées à la mesure de ce temps caractéristique. Elles ont alors mis en évidence un temps caractéristique évoluant avec l’élongation (figure 9.1.14).

Vitesse et température constante : cycle complet

   Les trois processus expérimentaux sur du caoutchouc naturel non-chargé étudiés dans cette sous-section sont :
– l’essai de cristallisation sous contrainte à l’équilibre. Il s’agit d’étirer le caoutchouc à une extension donnée, de le chauffer à 80°C afin d’éliminer toute trace de cristallinité, puis de le refroidir à température déterminée, de manière à obtenir le taux de cristallisation du matériau à l’équilibre thermodynamique. On s’affranchit ainsi de tous les effets de cinétique et de relaxation qui peuvent se manifester sur des durées très longues.
– le cycle de traction à vitesse et température constantes. La cristallinité de l’échantillon est mesurée en continu, en temps réel, tout au long du cycle de traction. C’est une mesure sur un système hors équilibre, même dans les cas où la vitesse de traction est très lente. Le caoutchouc subit systématiquement un chargement cyclique précédemment à la mesure pour éliminer une grande partie de l’effet Mullins.
– l’essai sur phase amorphe. Il s’agit de chauffer le caoutchouc non déformé à 80°C pour l’empêcher de cristalliser. Ensuite, il est soumis à un chargement de traction à vitesse constante.

Hystérèse

   Lors d’un cycle de chargement pour un caoutchouc cristallisant sous contrainte, la déformation n’est pas entièrement réversible (figure 9.1.18). En effet, la courbe contrainte élongation présente une hystérèse au cours d’un cycle de traction à vitesse et température constantes. La présence d’une hystérèse peut être interprétée comme la conséquence de plusieurs phénomènes :
– les effets viscoélastiques (le désenchevêtrement des chaînes au cours de la traction),
– l’endommagement (effet Mullins),
– la différence de cristallinité entre les phases aller et retour d’un cycle de déformation.
A priori, l’effet Mullins a été éliminé par cyclage du matériau avant l’expérience. Marchal [91] a jugé que la viscoélasticité représentait 10% de l’aire de l’hystérèse même si à de plus grandes vitesses de chargement cette valeur devient plus grande. Cet effet serait un peu plus important pour des mélanges caoutchoutiques où l’effet des enchevètrements est important [74]. On suppose donc que le phénomène de cristallisation est le principal responsable de l’hystérèse. Lorsque λmax sur un cycle augmente, que λmin diminue ou que T diminue, on observe également que l’hystérèse est d’aire croissante. On a remarqué enfin qu’à partir du moment où χ décroit, on se retrouve sur la courbe d’équilibre χ = χeq avec χeq l’index de cristallinité à l’équilibre thermodynamique (figure 9.1.19). Par contre, il y a un écart léger entre la contrainte nominale en fusion et la contrainte nominale à l’équilibre thermodynamique. Pour ces raisons, l’état de fusion est nommé « état de pseudo-équilibre ». Pour conclure, on peut noter que certaines mesures thermiques récentes [134] observent une dissipation sous forme de chaleur négligeable sur un cycle. Les auteurs supposent alors que l’hystérèse pourrait être uniquement le résultat d’une différence de cinétique. En plus des études précédemment citées qui contredisent cette hypothèse, Nicolas Candau [20] a réalisé plusieurs chargements à vitesse faible suivis d’un maintien de l’élongation à valeur fixe. Il observe alors que même si la cristallinité continue à augmenter, cette augmentation est inférieure à 0.5% sur le temps caractéristique de l’expérience. Cela nous incite à garder notre hypothèse selon laquelle la surfusion est en majorité responsable de l’hystérèse.

FeCrisdMaterial

   En suivant la méthode d’implémentation dans Febio, on a créé uniquement deux fichiers FeCrisdMaterial.h contenant les classes FeCrisdMaterial et FeCrisdMaterialPoint ainsi que le nom de deux fichiers .h : geodesic.h contenant les règles d’intégration numérique sur la sphère et FEUncoupledMaterial.h contenant la classe des matériaux découplés. Cette dernière classe nous permet tout simplement d’avoir une base de variables et de méthodes déjà codées pour accéder aux informations contenues dans le point matériel des matériaux élastiques découplés et de se limiter au développement de la partie déviatorique de la contrainte et de l’opérateur tangent. La classe FeCrisdMaterial codé à la suite est décrite dans la figure 11.3.2 et 5 méthodes sont codées dans le fichier FeCrisdMaterial.cpp :
1. FeCrisdMaterial() le constructeur du matériau,
2. Init() :void qui initialise le matériau et vérifie que les constantes respectent les conditions thermodynamiques.
3. CreateMaterialPointData(void) :FEMaterialPoint* qui retourne un pointeur sur le nouvel objet décrivant le point matériel à variables internes directionnelles FeCrisdMaterialPoint,
4. DevStress(&pt :FEMaterialPoint) :mat3ds qui prend en entrée « l’état » du point matériel à l’instant tn et qui renvoie la contrainte déviatorique à l’instant tn+1. Dans cette routine, on a codé le retour radial et mis à jour les 21 variables internes m_xhi. On a également passé au point matériel des informations par direction m_elong et une information intégrée sur la sphère m_xhi_int qui nous servent dans le post-processing.
5. DevTangent(&pt :FEMaterialPoint) :tens4ds qui prend en entrée « l’état » du point matériel à l’instant tn et qui renvoie la partie déviatorique de l’opérateur tangent à l’instant tn+1. Ensuite, on doit ajouter à l’intérieur de FeCrisdMaterial.h le code complet du point matériel à variables internes.

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Table des matières

1 Introduction 
1.1 Quelques enjeux de la modélisation du comportement à la rupture et de la caractérisation mécanique des caoutchoucs cristallisants sous contrainte 
1.2 Contributions
Cadre mécanique
2 Formulation du problème mécanique 
2.1 Cinématique
2.2 Lois de conservation
2.3 Entropie 
2.4 Matériaux standards généralisés 
3 Lois de comportement 
3.1 Hyperélasticité
3.2 Loi de comportement élastoplastique en grandes déformations
3.3 Exemple d’une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations 
3.4 Cadre linéarisé
Calcul de taux de restitution d’énergie
4 Construction d’une grandeur caractéristique de la rupture par perturbation de domaine 
4.1 Méthodologie de perturbation 
4.2 Formulation de la grandeur caractéristique dans les cas indépendants du temps
5 Extension de la construction d’une grandeur caractéristique de la rupture pour un problème couplé 
5.1 Description du problème posé 
5.2 Problème d’évolution couplé à une variation de domaine 
5.3 Linéarisation du problème d’évolution contraint 
5.4 Construction du problème adjoint 
6 Comparaison des grandeurs explicites et couplées pour le problème de flexion trois points 
6.1 Fissure en flexion trois points : Géométrie, loi de comportement et approximation 
6.2 Problème d’évolution linéarisé 
6.3 Grandeur caractéristique & problème adjoint 
6.4 Discrétisation et premiers résultats de calcul d’une grandeur caractéristique
6.5 Conclusion
7 Calcul numérique du taux de restitution d’énergie 
7.1 Représentation variationnelle du taux de restitution d’énergie
7.2 Mise en oeuvre de la formulation continue 
7.3 Outils numériques 
7.4 Description de la méthode de résolution
8 Cas de calculs explicites de la grandeur caractéristique 
8.1 Cas explicites non-singuliers
8.2 Cas explicites singuliers
8.3 Conclusion 
9 Observations expérimentales et mécanismes en cristallisation sous contrainte
9.1 Expériences fondamentales 
9.2 Comportement du caoutchouc cristallisant sous contrainte (réseau semicristallin) 
9.3 Analyse des mécanismes proposés – phénomènologie 
10 Modèle constitutif du caoutchouc cristallisant sous contrainte 
10.1 Loi 1D pour la cristallisation sous contrainte
10.2 Modèle simplifié
10.3 Effets visqueux 
10.4 Construction d’un modèle à directions : la micro-sphère
11 Méthode numérique pour la loi de cristallisation sous contrainte anisotrope
11.1 Comportements 1D 
11.2 Intégration à la micro-sphère
11.3 Intégration au code élément finis orienté objets 
12 Tests numériques homogènes 
12.1 Calcul 1D de validation
12.2 Calcul 3D uniaxial
12.3 Calcul 3D homogène biaxial 
12.4 Conclusion 
Fissure en présence de cristallisation sous contrainte
13 Cristallisation en pointe de fissure 
13.1 Etat de l’art 
13.2 Cas expérimental de référence 
13.3 Test numérique 
13.4 Conclusion 
14 Caractérisation de la fissuration en fatigue pour un matériau cristallisant : Premières tendances 
14.1 Etude expérimentale de l’influence de la cristallisation sur la propagation de fissure en fatigue 
14.2 Cas expérimental de référence 
14.3 Modélisation de l’influence de la cristallisation sur la vitesse de propagation de fissure en fatigue 
14.4 Conclusion
15 Conclusion 
Bibliographie

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