Caractérisation et analyse des phénomènes d’instabilités

I.1 Introduction
I.2 phénomènes d’instabilités
Introduction générale
Chapitre I : Etude bibliographique
I.2.1 Caractérisation et analyse des phénomènes d’instabilités
I.2.1.1 Théorie de stabilité linéaire
I.2.1.2 Énoncé du critère de la stabilité
1.3 Description de l’écoulement de Taylor-Couette
i.3.1 Les régimes de transition
I.3.1.1 Régime laminaire stable
I.3.1.2 Régime laminaire perturbé ou instable
I.3.1.3 Régime de pré turbulence ou chaos
I.3.1.4 Régime de turbulence complètement développé
I.4 Historique de l’écoulement de Taylor-Couette
I.4.1 Etudes théoriques et expérimentales
I.4.2 Etudes numériques
I.5 Applications technologiques et industrielles
I.6 Conclusion
Chapitre II : Modélisation mathématique et numérique
INTRODUCTION
Partie A : Modèle mathématique
II.1 Formulation mathématique du problème
II.1.1. Hypothèses simplificatrices
II.1.2 Les équations hydrodynamiques
II.1.2.1 L’équation de continuité
II.1.2.2 L’équation de la quantité de mouvement
II.1.2.3 Conditions initiales
II.1.2.4 Conditions aux limites :
II.1.3 Formulation adimensionnelle
II.1.3.1. Grandeurs caractéristiques et variables adimensionnelles
II.1.3.2 Equations adimensionnelles
II.1.3.3 Conditions aux limites adimensionnelles
Partie B : Modélisation numérique
Introduction
II.2 Méthode des volumes finis
II.3 Maillage
II.4 La discrétisation
II.4.1 Intégration du flux total
II.4.2 Intégration du terme source
II.4.3 Discrétisation spatiale
II.5 Procédure de Résolution
II.5.1 Choix de la méthode d’interpolation de la pression
II.5.2 Choix de l’algorithme de couplage pression-vitesse
II.6 Présentation du code de calcul
II.6.1 Architecture du logiciel
II.6.2 Génération des calculs par FLUENT
Chapitre III : Résultats et discussions
INTRODUCTION
III.1 Etude de l’influence des paramètres du calcul numérique
III.1.1 Etude d’indépendance du maillage
III.1.2 Influence du critère de convergence
III.2 Détermination des vitesses critiques de transition
III.2.1 Transition du régime CCF au régime TVF
III.2.2 Transition du régime TVF au régime WVF
III.3 Validation du code
III.3.1 Système A : Espace annulaire mince et totalement rempli
III.3.2 Système B : Espace annulaire relativement large et totalement rempli
III.3.3 Système C : Écoulement entre cylindres contra-rotatifs
III.4 La transition du régime laminaire vers la 1ére et la 2éme instabilité
III.4.1 ECOULEMENT LAMINAIRE :
III.4.1.1 Profil radial de la vitesse tangentielle
III.4.1.2 Influence de la rotation du cylindre intérieur sur les profils de vitesse
III.4.1.3 Lignes de courant
III.4.1.4 Cellules d’Eckman
III.4.1.5 Champs de pression :
III.4.2 Caractérisation du régime de première instabilité : Développement des cellules de Taylor
III.4.2.1 Visualisation de la topologie de l’écoulement en TVF
III.4.2.2 Caractérisation du champ de vitesse en TVF
III.4.3 Caractérisation du régime de deuxième instabilité : Le régime d’onde azimutale
III.4.3.1 Visualisation de la topologie de l’écoulement en WVF
III.4.3.2 Développement des tourbillons dans l’espace annulaire
III.4.3.2 Caractérisation du champ de vitesse en WVF
III.5 Étude de l’effet de l’inclinaison α sur le système d’écoulement
III.6 Etude de l’évolution des états critiques
III.6.1 Système A (Espace annulaire mince et totalement rempli)
III.6.1.1 Evolution de Ta c1 (α)
III.6.1.2 Evolution de Ta c2 (α)
III.6.1.3 Evolution de Ta c1 (Γ)
III.6.1.4 Evolution de Ta c2 (Γ)
III.6.2 Système B (Espace annulaire relativement large et totalement rempli)
III.6.2.1 Evolution de Ta c1 (Γ)
III.6.2.2 Evolution de Ta c2 (Γ)
III.7 L’instabilité crée par une contra-rotation de deux cylindres concentriques
III.7.1 Description des écoulements observés
Conclusion générale
Références bibliographiques
Résumé

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Formulation mathématique du problème

Dans cette section, nous présentons la formulation mathématique de l’hydrodynamique de l’écoulement de Taylor-Couette.
Pour décrire cet écoulement, il suffit de déterminer les variables d’Euler qui sont : le vecteur vitesse V et la pression P.

Hypothèses simplificatrices

Afin de simplifier l’étude du problème on utilise les hypothèses simplificatrices suivantes :
– Le fluide considéré est supposé visqueux, newtonien et incompressible.
– La longueur de l’espace annulaire est supposée suffisamment grande par rapport aux autres dimensions de façon à ce que les effets de bords deviennent négligeables.
– il n’y a pas de mouvement axial.
– Le seul champ est celui de la pesanteur.
– Il n’y a ni source de chaleur ou de masse ni réaction chimique.

Formulation adimensionnelle

Pour permettre d’avoir des informations généralisées à une variété des problèmes ayant les mêmes ordres du grandeurs des coefficient de similitude d’un coté, et d’un autre coté, réduire le nombre de paramètres d’un problème, on emploi de la variable adimensionnelle permet d’exprimer la réalité des phénomènes physiques indépendamment des systèmes de mesures. En effet, pour faire apparaître les paramètres de contrôle du problème étudié, il est nécessaire d’introduire les grandeurs de référence.

Méthode des volumes finis

Le domaine de calcul est divisé en un nombre fini de sous-domaines élémentaires, appelés « volumes de contrôle ». La méthode des volumes finis consiste à intégrer les équations aux dérivées partielles, décrites au chapitre précédent, sur chaque volume de contrôle. Chacun de ces derniers englobe un nœud dit “nœud principal”, comme indiqué dans la figure (II.1).
La méthode des volumes finis, comporte essentiellement :
 La discrétisation du domaine considéré en volume de contrôle ;
 La formulation intégrale des équations différentielles aux dérivées partielles ;
 Le choix d’un schéma représentant la variation de la quantité physique et l’assemblage des diverses équations ;
 Le modèle doit être stable est convergent.

Maillage

On découpe l’espace annulaire selon les directions r, θ et z en un ensemble de volume élémentaires finis ou « volumes de contrôle » égaux à (ΔV=rΔrΔθΔz). Le centre d’un volume fini typique est un point P, et les centres de ses faces latérales est, ouest, nord, sud, front et arrière sont les point e, w, n, s, t et b, respectivement. Chacun des volumes finis intérieurs est entouré de six autres volumes finis. Les centres de ces volumes sont les points E, W, N, S, T et B. La variable scalaire (pression) est stocké au point centré dans les volumes finis, alors que les trois composantes des vitesses sont stockées aux centres des faces latérales des volumes finis.
Une illustration d’un volume fini typique est montrée dans la figure (II.2) tandis que le domaine de calcul est représenté dans les figures (II.3), (II.4) et (II.5) qui traduisent, respectivement, des projections suivant les trois plans : (r, θ), (θ, z), (r, z). Les équations de transfert des variables scalaires sont intégrées (discrétisées) dans le volume fini typique ; cependant, celles des composantes de la vitesse sont intégrées dans des volumes finis décalés. Celui de la composante de vitesse radiale est décalé vers la droite, celui de la composante azimutale est décalé vers le haut et celui de la composante axiale est décalé vers le front. Il est bien connu que ce décalage est nécessaire pour éviter certaines instabilités numériques.

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