Caractérisation du rayonnement acoustique d’un haut-parleur

Fonctionnement et modélisation d’un haut-parleur

  Un hautparleur est basé sur l’utilisation de la force de Laplace. Cette force est la résultante de l’interaction du champ magnétique permanent, généré par l’aimant dans le noyau (ou entrefer), et du champ magnétique produit par une bobine, dont la mise en tension génère un courant électrique. La bobine va alors se déplacer selon l’axe du noyau. Elle entraîne avec elle une membrane qui va transmettre la vibration à l’air environnant. Un haut-parleur est un système électrodynamique qui peut-être modélisé par un circuit électrique équivalent, linéaire en première approximation. Les travaux de Small [126] sont précurseurs dans ce domaine. Ils restent encore aujourd’hui largement utilisés pour décrire un haut-parleur. Les recherches continuent aujourd’hui pour améliorer ces modèles (avec par exemple [51]). Notons que les non-linéarités d’un système de restitution sonore proviennent principalement du haut-parleur. On peut différencier deux grand types de non-linéarités [67] : Les non-linéarités “électriques”, qui proviennent des grands déplacements de la bobine dans le champ magnétique de l’aimant, et les non-linéarités “mécaniques” qui viennent des grands déplacements des parties mobiles du haut-parleur (spider, suspensions …). Il est possible de modéliser ces non-linéarités avec des modèles complexes (voir par exemple [106]). Dansce manuscrit, l’étude de ces non-linéarités est hors de propos, mais pas ignorée pour autant. On utilisera un modèle de Hammerstein en parallèle pour séparer la partie linéaire de la partie non-linéaire dans nos mesures, sans ce soucier des origines de ces non-linéarités La membrane d’un haut-parleur a une influence sur la directivité d’un système de restitution sonore. Plus précisément, la diffraction du son par l’enceinte est fonction du type de source qui l’éclaire, et dépend donc de la directivité du haut-parleur. Celle-ci dépend de la rigidité de la membrane, ainsi que de sa forme. Sa contribution doit être prise en compte dans notre étude. Dans ce manuscrit, la membrane sera considérée comme rigide. C’est la très classique hypothèse du piston. Celle-ci est valide lorsque la fréquence n’est pas trop élevée, et cela malgré les non-linéarités qui proviennent de la déformation de la membrane [66]. Une façon simple d’étudier l’influence de la forme de la membrane passe par le modèle du piston bafflé, i.e un piston vibrant dans un mur infini. De cette manière, on peut résoudre l’équation de Helmholtz en séparant les variables et exprimer des solutions analytiques. Cette méthode ne peut pas s’appliquer si on considère un piston vibrant dans une enceinte rectangulaire, car il n’est pas possible de séparer les variables. En revanche, pour certaines formes d’enceintes particulières (sphérique, sphéroïdale …), il est possible d’utiliser les systèmes de coordonnées associées à ces formes pour exprimer analytiquement les solutions (voir le chapitre 2 pour un  exemple avec les coordonnées sphéroïdales et une revue bibliographique). L’étude du piston bafflé donne cependant un bon aperçu des propriétés de directivité d’un haut-parleur, et peut être utilisée telle quelle dans certains modèles de diffraction (voir chapitre 3). Le modèle du piston bafflé a été largement étudié dans la littérature. Deux grands types de résultats nous intéressent : les études caractérisant l’influence de la forme de la membrane sur la directivité, ainsi que les méthodes qui permettent de faire ces calculs. De ce fait, il a été très vite montré que le calcul pour un piston circulaire à vitesse uniforme pouvait se réduire à une intégrale simple [30]. Le calcul peut aussi être fait avec des distributions de vitesse décrites par des fonctions polynomiales [46]. Il est également possible de faire une formulation analytique dans le domaine temporel [129]. On peut alors utiliser n’importe quel type de distribution de vitesse initiale, en la développant sur la base orthogonale associée au piston circulaire [128]. Une revue de littérature des outils mathématiques disponibles pour le modèle du piston plan est donnée par Harris en 1981 [48], dont le travail sur le piston bafflé est considérable. On peut accélérer les calculs en utilisant certaines techniques. Par exemple, Kirkup propose en 1994 [63] une méthode pour calculer rapidement l’intégrale de Rayleigh pour n’importe quelle forme de piston. Williams proposait déjà une astuce pour ce calcul en 1982, basée sur l’algorithme de la FFT[155]. De nombreux efforts ont aussi été faits pour développer la pression rayonnée par un piston plan sur les harmoniques sphériques. Ainsi, les premiers travaux sont faits par Hasegawa [49], pour faciliter le calcul de la diffraction du son émis par un piston sur une sphère rigide. D’autres travaux suivront pour exploiter ou rendre exploitables les relations d’Hasegawa [158, 80]. Tous ces outils permettent aussi d’étudier le cas des pistons non-plans, i.e qui possèdent une certaine forme. Dans le cadre d’une application aux haut-parleurs, Frankfort propose en 1975, dans son doctorat, une étude détaillée de l’influence de la forme en cône de la membrane sur le son et la directivité. En allant plus loin, on peut étudier l’influence du dôme sur le rayonnement [134], puis comment le son de la membrane vient se diffracter sur le dôme [133]. Il existe aussi des solutions pour des pistons non-circulaires. L’impédance d’un piston rectangulaire est donnée par Lee [73]. Emeterio [39] en donne la pression émise, et propose une analyse de la complexité apportée par la forme rectangulaire, comparée à une forme circulaire. Tous ces travaux ouvrent la porte à des applications plus exotiques aujourd’hui, comme par exemple, le contrôle du rayonnement d’un piston en le séparant en anneaux concentriques, pour lesquels la vitesse et la phase sont contrôlées séparément [85] ; l’étude de pistons aux profils très complexes [106], ou encore l’optimisation de pistons rectangulaires pour maximiser le rayonnement [53].

Influence et modélisation du champ acoustique interne

   La raison d’être d’une enceinte acoustique, est d’empêcher l’onde arrière émise par le haut-parleur d’interagir avec l’onde avant.  L’arrière du haut-parleur crée alors un champ acoustique à l’intérieur de l’enceinte, dont les interactions avec les autres mécanismes sont montrées sur la Figure I.1.1. Ce champ acoustique peut faire rentrer en vibration les parois de l’enceinte, qui vont alors se mettre à rayonner. Peu de littérature existe sur le sujet. Des études récentes montrent que, dans certains cas, le phénomène n’est pas négligeable [12], en particulier pour des formes d’enceinte inhabituelles [41]. Souvent, il nécessite d’utiliser des méthodes complexes pour être correctement calculé [93]. Sa prise en compte est absolument nécessaire lorsque l’enceinte est petite ou fine. C’est le cas pour les systèmes embarqués ou smartphones [163]. Ce n’est pas le cas pour les barres de son, au centre de notre étude. On négligera donc ce phénomène. Le champ acoustique interne peut aussi avoir un effet non négligeable sur le mouvement de la membrane. Ce champ acoustique confiné dans l’enceinte se comporte pour la membrane comme une charge acoustique. Il a été étudié en premier lieu au moyen d’éléments finis [54]. Il a aussi une influence sur la partie électrique du haut-parleur, pour laquelle il se comporte comme une impédance électrique [117]. Ces impédances dépendent principalement des modes acoustiques de la cavité et peuvent être étudiées avec différentes techniques [64]. Il est aussi possible, avec différentes méthodes numériques, d’étudier simultanément l’influence du champ interne sur le haut-parleur et la mise en vibration des parois de l’enceinte [55]. Dans le cadre de notre étude, on reste dans la plage fréquentielle pour laquelle le haut-parleur a un comportement de piston rigide. Ces impédances se traduiront comme un simple gain n’affectant pas la directivité, et leurs études sont donc hors de propos. Comme pour le gain apporté par la partie électrodynamique du haut-parleur, on pourra l’ignorer par le biais d’une normalisation des mesures à chaque fréquence. Pour limiter le champ acoustique interne, on peut recouvrir l’intérieur de l’enceinte à l’aide de matériaux acoustiquement absorbants. Il est aussi possible de réutiliser le champ acoustique à l’intérieur de l’enceinte, crée par l’arrière du haut-parleur, par l’intermédiaire d’un évent. Un évent est une ouverture de l’enceinte au moyen d’un renfoncement de la paroi. Il permet de contrôler le trajet minimum que doit effectuer l’onde arrière pour atteindre l’extérieur. Lorsque la longueur du trajet est égale à la moitié de la longueur d’onde, l’onde arrière est à nouveau en phase avec l’onde avant. Un évent est donc accordé pour une certaine fréquence. On choisit généralement une fréquence basse, pour laquelle le haut-parleur possède un rayonnement peu efficace. C’est l’effet bass-reflex.

Directivité horizontale

   Pour examiner la pertinence du modèle sphéroïdal en fonction de la fréquence, on trace les directivités obtenues dans le plan horizontal pour les enceintes A et B avec le modèle éléments finis, ainsi qu’avec le modèle sphéroïdal M4. On utilise pour cela la méthode de visualisation décrite dans l’annexe Annexe B. Les récepteurs sont situés à 1.1 m dans le plan défini par la source et l’axe de la barre de son. Il y a 72 récepteurs équirépartis sur le cercle. On considère le cas des haut-parleurs 1 et 2 pour l’enceinte A et uniquement le haut-parleur 2 dans le cas de l’enceinte B. On considère les 6 fréquences suivantes : 493 Hz, 1009 Hz, 1478 Hz, 1994 Hz, 2510 Hz et 2979 Hz.  Lorsqu’on regarde un haut-parleur en position extrémale, on constate que les deux modèles divergent rapidement. Le modèle éléments finis devient de plus en plus directif en augmentant en intensité (jusqu’à +8 dB par rapport aux basses fréquences) alors que le modèle sphéroïdal voit sa directivité et son intensité peu varier avec la fréquence. On constate la même chose avec l’enceinte B (résultats non représentés ici). Lorsque l’on regarde un haut-parleur en position latérale, on constate que le lobe principal n’est pas systématiquement en face du haut-parleur, comme l’on pourrait s’y attendre intuitivement (cet effet est aussi constaté en champ lointain, voir les Balloon plot en 3D). Le modèle sphéroïdal est très proche du modèle BEM jusqu’aux alentours de 1200 Hz pour l’enceinte A et 1000 Hz pour l’enceinte B. Autour des 2000 Hz commence à apparaître une différence de 3 dB sur le lobe principal, bien que le modèle sphéroïdal soit toujours capable de décrire la forme générale de la directivité. En regardant plus finement, on constate que le lobe principal de l’enceinte rectangulaire peut être multiple, et voit son centre se décaler dans l’espace en fonction de la fréquence.

Puissance rayonnée et réponse en fréquence dans l’axe

   Pour avoir un point de vue plus globale sur l’évolution fréquentielle du rayonnement, on s’intéresse aussi à la réponse en fréquence dans l’axe du haut-parleur et la puissance rayonnée par les deux modèles. Ces deux indices sont couramment utilisés dans la littérature pour caractériser un haut-parleur monté sur une enceinte, et ont été décrits dans la Sect. 4.3 du chapitre 1. On a utilisé la méthode de visualisation de l’Annexe B, ce qui nous permet de nous affranchir de l’influence du monopôle en 6 dB/décade en nous ramenant a un comportement de type fonction de Green. On considère ici les enceintes A et B et les haut-parleurs 1 et 2. Les récepteurs sont situés à 11 m et répartis sur une sphère. La sphère est discrétisée selon le modèle des coordonnées sphériques, en admettant un point tous les 5◦ pour l’angle d’élévation et azimutal, soit un total de 2664 points (non régulièrement répartis). Les résultats sont visibles sur la Figure II.6.8. Comme montré dans les sections précédentes, la direction du lobe principal d’émission varie selon la fréquence, même en champ lointain. Dès lors, la pression dans l’axe ne représente pas la variation en fonction de la fréquence du maximum d’intensité du rayonnement émis. Elle reste pour autant un bon indicateur, puisque l’on connaît les limites que doit prendre cet indice en haute-fréquence. Ainsi, on sait qu’en basse-fréquence, une enceinte rayonne dans tout l’espace, tandis qu’elle rayonne uniquement dans la moitié de l’espace en haute-fréquence. Ce comportement, bien connu sous le nom de Baffle step response, se traduit par un gain de +6 dB dans l’axe du haut-parleur en haute-fréquence par rapport aux très basses fréquences, avec plus ou moins de variations pour la zone de transition. Concernant la puissance rayonnée, elle correspond à celle d’un monopôle unitaire en basse-fréquence, et tend vers 0 en très haute-fréquence si la source est un piston. Cet effet provient du phénomène de phase stationnaire qui montre que l’efficacité du rayonnement d’un piston est faible en haute-fréquence. Si la source était un monopôle unitaire (fonction de Green), alors la puissance rayonnée serait identique aux hautes et basses fréquences, et la zone de transition représente les effets de baffle de l’enceinte. Elle peut diminuer ou augmenter selon la forme de l’enceinte et est un bon indicateur sur l’efficacité de rayonnement d’une enceinte.

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Table des matières

Contexte et Organisation
1 Contexte scientifique 
2 Organisation du manuscrit 
3 Contributions
I Champ acoustique rayonné par une enceinte parallélépipédique : méthodes de référence 
1 Introduction générale 
1.1 Motivation et position du problème
1.2 Fonctionnement et modélisation d’un haut-parleur
1.3 Influence et modélisation du champ acoustique interne
1.4 Modèle de la diffraction du son par l’enceinte
2 Mesures 
2.1 Protocole de mesure
2.1.1 Matériel et montage
2.1.2 Protocole de mesure
2.2 Identification d’un système de Hammerstein
2.2.1 Modèle de Hammerstein en parallèle avec un sinus glissant arbitraire en entrée (ASS)
2.2.2 Identification par la méthode du sinus glissant exponentiel (ESS)
2.2.3 Différences entre les deux méthodes ESS de Novak et Rébillat
2.2.4 Méthode utilisée
2.3 Post-traitement
3 Éléments finis de frontière
3.1 Principe
3.1.1 Définition du problème
3.1.2 Représentation intégrale
3.1.3 Principe de résolution
3.2 Calcul numérique
3.2.1 Discrétisation et fonction de forme
3.2.2 Quadrature de Gauss-Legendre
4 Résultats
4.1 Directivité horizontale
4.1.1 Méthode de visualisation
4.1.2 Observation
4.1.3 Discussion et Interprétation
4.2 Motif de rayonnement tridimensionnel
4.2.1 Méthode de visualisation
4.2.2 Résultats
4.2.3 Discussion et Interprétation
4.3 Puissance rayonnée et réponse en fréquence dans l’axe
4.3.1 Méthode de visualisation
4.3.2 Résultats
4.3.3 Discussion et Interprétation
5 Conclusion 
II Méthode orientée basse-fréquence : le modèle sphéroïdal 
1 Introduction 
2 Rayonnement d’un piston sur une enceinte sphéroïdale 
2.1 Le système de coordonnées sphéroïdales
2.1.1 Les coordonnées sphéroïdales
2.2 Expression de la pression rayonnée par un piston sur une enceinte sphéroïdale
2.2.1 Définition du problème
2.2.2 Solution générale de l’équation de Helmholtz par la méthode de séparation des variables
2.2.3 Restrictions issues des propriétés des fonctions sphéroïdales
2.2.4 Utilisation des conditions limites
3 Calcul pour un piston carré ou circulaire
3.1 Portions latérales quasi-rectangulaires
3.2 Portions quasi-circulaires
3.2.1 Portions quasi-circulaires extrémales
3.2.2 Portions quasi-circulaires latérales
4 Critère de troncature des harmoniques sphéroïdales
4.1 Harmoniques sphéroïdales
4.1.1 Définition
4.1.2 Propriétés
4.1.3 Court-circuit acoustique et critère de troncature
4.2 Puissance rayonnée et facteur de rayonnement modal
4.2.1 Puissance rayonnée
4.2.2 Facteur modal de rayonnement
4.2.3 Modes rayonnants et modes non-rayonnants
5 Mise-en-œuvre : choix du sphéroïde 
5.1 Caractéristiques recherchées
5.2 Expression des contraintes
5.2.1 Contraintes directes
5.2.2 Contraintes indirectes
5.3 Combinaisons de contraintes et visualisation des sphéroïdes obtenus
6 Résultats
6.1 Convergence de la solution
6.2 Forme du sphéroïde
6.3 Directivité horizontale
6.4 Motif de rayonnement tridimensionnel
6.5 Puissance rayonnée et réponse en fréquence dans l’axe
6.6 Temps de calcul
7 Discussion
7.1 Utilisation du critère de troncature
7.2 Sphéroïde optimal dans le cadre de la modélisation
7.3 Modélisation d’un haut-parleur en position extrémale
7.4 Modélisation d’un haut-parleur en position latérale
8 Conclusion et Perspectives
III Méthode orientée haute-fréquence : Modèle Edge Source Integral Equation ou modèle de diffraction 
1 Introduction
2 Modèle BTM 
2.1 Démonstration par la méthode de Pierce
2.1.1 Objectif et idée de la démonstration
2.1.2 Expression de la solution générale en champ libre
2.1.3 Solution en présence de l’arête
2.2 Solution de Biot-Tolstoy
2.2.1 Principe de la démonstration de Biot-Tolstoy
2.2.2 Formule de Biot-Tolstoy
2.2.3 Équivalence avec la formule BTM
2.3 Formulation de Svensson
2.3.1 Le champ diffracté dans le domaine temporel
2.3.2 Le champ diffracté dans le domaine fréquentiel
2.3.3 Singularités aux frontières
2.3.4 Expression alternative de la fonction β
2.4 Interprétations physiques de la diffraction
2.4.1 La diffraction sous forme de sources secondaires
2.4.2 Influence des sources secondaires
2.4.3 Influence de la fréquence
2.4.4 Signe du champ diffracté
3 Méthode ESIE
3.1 Diffraction par deux arêtes successives
3.1.1 Description phénoménologique
3.1.2 Convergence
3.1.3 Contribution du champ diffracté d’ordre 2
3.1.4 Contribution du champ diffracté d’ordre 3 et plus
3.2 Application à un polyèdre convexe
3.2.1 Calcul du champ direct, réfléchi et diffracté d’ordre 1
3.2.2 Calcul du champ diffracté d’ordre 2 et plus
4 Application à une enceinte rectangulaire et implémentation
4.1 Cas particulier du polyèdre rectangulaire
4.1.1 Hypothèses géométriques et conséquences
4.1.2 Facteurs de Visibilité
4.2 Calcul numérique
4.2.1 Schéma d’intégration numérique
4.2.2 Discrétisation des arêtes
4.2.3 Ordre de diffraction nécessaire
4.3 Source étendue et méthode d’implémentation
4.3.1 Calcul des opérateurs
4.3.2 Extension à une source étendue
5 Résultats
5.1 Paramètres du modèle ESIE
5.1.1 Ordre minimum
5.1.2 Nombre de points minimums pour l’intégration
5.1.3 Temps de calcul
5.2 Comparaison ESIE et BEM
5.3 Analyse des directivités 3D à l’aide du modèle ESIE
5.3.1 Enceinte A
5.3.2 Enceinte C
6 Conclusion et perspectives
Conclusion générale et perspectives

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