Soutenance mémoire
Extension aux problèmes non-linéaires
On trouve dans la littérature de nombreuses applications en non linéaire des estimateurs en lissage de contrainte. Les premiers travaux portent sur l’étude de l’erreur pour les problèmes de structure constitués de matériaux non-linéaires. Ainsi, dans [Bass et Oden, 1987], les modèles de matériaux retenus sont avec les lois de Bodner et Partom, de Robinson, de Hart et de Krieg, Swearengen et Rhodes. Toutes ces lois sont construites à partir soit d’approches micros purement phénoménologiques, soit d’extension d’approches visco-élastiques. Elles considèrent des évolutions viscoplastiques mathématiquement régulières, i.e. sans seuil plastique. Dans ces travaux, l’estimateur d’erreur est introduit dans un but d’optimisation du maillage. Les critères caractérisant cet estimateur portent sur sa facilité d’implémentation, sa robustesse et sa rapidité d’exécution au détriment de sa qualité intrinsèque. La méthode d’estimation retenue est analogue au lissage de contrainte, mais porte sur le déplacement : un champ de déplacement optimisé u opti h est introduit, construit sur une base polynomiale ; il est supposé étant une meilleure estimation du déplacement exact et permet alors une estimation de l’erreur. Afin de prendre en compte la discrétisation temporelle, l’interpolation est portée sur une vitesse optimisée u˙ opti h, calculée à partir des incréments de déplacement issus du problème direct. Enfin l’erreur introduite étant énergétique, la forme incrémentale du comportement, introduite pour la résolution du problème direct est retenue. De la même manière, de nombreux travaux utilisent une erreur en vitesse associée à une vision incrémentale du comportement afin de donner une estimation de l’erreur globale. Dans [Zhu et Zienkiewicz, 1988], puis repris dans [Fourment et Chenot, Bornes garanties de l’erreur locale en élastoplasticité 1993] la méthode classique, en contrainte, a été étendue aux calculs viscoplastiques avec une loi de comportement de Prandtl Reuss (avec seuil). Hétu et Pelletier [Hetu et Pelletier, 1992] ont étudié l’efficacité des estimateurs types ZZ2 dans le cadre desfluides visqueux incompressibles. Dans [Boroomand et Zienkiewicz, 1998, Boroomand et Zienkiewicz, 1999], on s’intéresse aux problèmes élastoplastiques (couplés à une évolution dynamique dans [Mathisen et al., 1999]) et dans [Peric et al., 1999], les problèmes à grandes transformations sont traités. On peut aussi noter l’extension de ces approches à des problèmes plastiques enrichis afin d’inclure les aspects de localisation dans [Khoei et al., 2007].
Notion de pollution
Le concept de l’erreur en pollution, introduit dans [Babuška et al., 1995a, Babuška et al., 1995b] se base sur le fait que la qualité locale d’une solution ne dépend pas seulement de la qualité locale de sa discrétisation. Ainsi, on peut dissocier deux types de contributions à l’erreur dans une partie ω de Ω :
– les contributions internes à ω, dépendant de la discrétisation utilisée pour la caractériser et correspondant alors à une erreur de troncature ;
– les contributions externes à ω, ou les conséquences de la discrétisation du reste du domaine ; la somme de ces contributions est nommée erreur de pollution. L’erreur en pollution peut se définir avec une approche plus théorique.
Méthodes utilisant les techniques d’extraction
Les outils d’extraction offrent à des quantités locales en espace ou en temps une vision globale. Ils ont été introduits il y a un demi-siècle dans [Greenberg, 1948] et [Washitzu, 1953], mais ce n’était pas dans le cadre de la méthode des éléments finis.Babuška et Miller ont été les premiers, avec [Babuška et Miller, 1984] à y étendre ces outils. Ils étaient utilisés pour le calcul de facteur d’intensité de contrainte, et nullement dans l’objectif d’une estimation de l’erreur locale. Les premiers travaux couplant les outils d’extraction et l’estimation d’erreur sont ceux de Becker et Rannacher, dans [Becker et Rannacher, 1996]. Une estimation de l’erreur sur une quantité d’intérêt locale, issue d’un problème linéaire y est présentée. Cette méthode est aujourd’hui la plus couramment utilisée pour l’estimation d’erreur locale. Son principe est ici rappelé dans un cadre de problème linéaire, puis les principales méthodes développées en linéaire et en non-linéaire sont présentées. Cette méthode d’extraction, associée à une mesure de l’erreur en dissipation est la seule permettant l’obtention d’une mesure garantie de l’erreur sur une quantité d’intérêt issue d’un problème non-linéaire. Elle est ainsi l’objet de ce travail, dédiée aux problèmes d’élastoplasticité.
Mise en évidence de la plasticité
Destinée à l’origine à caractériser le comportement des métaux ou des alliages métalliques, la plasticité peut se comprendre par les mécanismes liés aux mouvements des dislocations. Aujourd’hui, son formalisme est utilisé pour décrire le comportement d’autres types de matériaux comme le béton, les sols ou même des composites à l’instar du bois, bien que les mécanismes mis en jeu n’ont alors plus rien à voir avec les dislocations. On peut dissocier en deux catégories de solides les matériaux plastiques en fonction de leur dépendance au temps, c’est-à-dire s’il est visqueux ou non. Le comportement de ce type de matériaux est élastique tant que la contrainte est inférieure à un seuil, puis élastoplastique dès que celui-ci est dépassé. On peut noter que la décharge est elle aussi élastique et qu’il subsiste une déformation résiduelle irréversible, dont l’amplitude dépend du chargement.
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Table des matières
Table des figures
Liste des tableaux
Introduction
1 État de l’art des estimateurs d’erreur
1 Préliminaires
1.1 Définition du problème continu
1.2 Définition du problème approché
1.3 Étude de la solution approchée et notion d’erreur
2 Estimateurs d’erreur globale
2.1 Estimateurs basés sur le lissage des contraintes
2.2 Estimateurs basés sur les résidus d’équilibre
2.3 Estimateurs basés sur la non-vérification de la relation de comportement
3 Estimateurs d’erreur locale
3.1 Erreur en pollution
3.2 Méthodes utilisant les techniques d’extraction
4 Bilan
2 Mise en oeuvre de l’erreur en dissipation sur un problème de référence
1 Problèmes d’élastoplasticité
1.1 Aspects phénoménologiques
1.2 Formulation du comportement
2 Problème de référence
2.1 Écriture du problème continu
2.2 Résolution numérique du problème
2.3 Exemple
3 Calcul de l’erreur en dissipation
3.1 Présentation de l’erreur en dissipation dans le cas élastoplastique
3.2 Calcul des champs admissibles
3.3 Illustration
4 Bilan
3 Technique d’encadrement de l’erreur locale
1 Mise en place de la technique d’extraction
1.1 Définition d’une quantité d’intérêt
1.2 Le problème miroir
1.3 Réécriture de l’erreur
2 Encadrement de l’erreur sur une quantité locale
2.1 Proposition d’un encadrement
2.2 Étude des bornes dans un cadre d’élastoplasticité
3 Bilan
4 Problème miroir
1 Changement de discrétisation
1.1 Projection de xh
1.2 Projection de xˆh
2 Première approche et instabilité numérique
2.1 Extension directe du retour radial au problème miroir
2.2 Étude de la solution
3 Vers une réécriture du retour radial
3.1 Écriture de la loi d’évolution au premier ordre
3.2 Proposition d’un retour radial dédié au problème miroir
3.3 Illustration
4 Calcul d’une solution admissible δxˆh
4.1 Calcul d’une contrainte admissible δ✛ˆh
4.2 Calcul des variables internes
5 Comportement de la solution en fonction du paramètre d’extraction
6 Bilan
5 Calcul de l’erreur locale
1 Rappel : définition du problème central
2 Un problème de complémentarité linéaire
2.1 Écriture matricielle du problème
2.2 Résolution
3 Proposition d’une méthode de résolution dédiée
3.1 Établissement d’équations locales
3.2 Une résolution géométrique
3.3 Illustration
3.4 Conséquences de la discrétisation de p¯˙ sur le calcul des bornes
4 Calcul du α optimal
4.1 Comportement quadratique des bornes
4.2 Calcul de αopti
5 Bilan
6 Étude des premières bornes
1 Vérification de l’encadrement proposé
1.1 Définition du problème direct et de la quantité d’intérêt
1.2 Étude des bornes
2 Étude des paramètres associés au problème miroir
2.1 Définition du problème direct et de la quantité d’intérêt
2.2 Influence du remaillage
2.3 Influence du paramètre d’extraction
2.4 Conclusion
3 Second cas-test : Étude d’une structure en flexion
3.1 Description du problème direct
3.2 Premiers résultats
3.3 Étude de l’encadrement
4 Bilan
7 Amélioration de la pertinence de l’encadrement
1 Prise en compte du terme élastique
1.1 Réécriture du problème central
1.2 Résultats
2 Introduction d’une nouvelle fonction de pondération
2.1 Introduction d’une nouvelle fonction de pondération
2.2 Réécriture sous une forme de problème central
2.3 Résolution géométrique
2.4 Conséquences sur l’encadrement
3 Bilan
Conclusion
A Etude du problème adjoint
1 Problème de référence
2 Quantité d’intérêt
3 Problème adjoint
B Calcul de l’erreur en dissipation ǫˆCRE dans le cas particulier élastoplastique
C Manipulation sur les bornes
1 Découpage
2 Etude de l’ordre de grandeur des différents termes
D Quelques propriétés d’intégrales
Bibliographie
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