Beamforming et détection pour signaux non circulaires et/ou non gaussiens (algorithmes et performance)

Le traitement d’antennes est la discipline du traitement du signal qui consiste à traiter les signaux spatio-temporels, échantillonnés en temps et en espace par un réseau de capteurs. Ces capteurs sont répartis dans l’espace et constituent une antenne [69, 50, 95, 97]. Ce traitement, réalisé en aval des antennes, a pour but d’optimiser la réception de signaux selon un certain critère et, en matière d’antennes, les critères sont variés. Parmi ceux-ci : la discrimination d’un signal utile parmi des signaux nuisibles (détection et formation de voies), la précision d’estimation des paramètres d’une source (goniométrie et guidage), la fidélité de reproduction d’un signal (communications et imagerie) ainsi que la classification des objets (reconnaissance des formes). Cette diversité, le développement rapide de la technologie des antennes ainsi que les capacités du traitement du signal, permettent de concevoir des antennes et des méthodes de traitement performantes qui ouvrent de nouveaux horizons applicatifs. Ces innovations ont, ou auront dans un avenir proche, des impacts importants dans de nombreux domaines d’applications civils et militaires, tels que : les communications, la navigation, la détection (radar, sonar), la médecine (imagerie, monitoring), l’astronomie, l’observation spatiale, la sismographie, l’astrophysique,… Durant ces trois dernières décennies, le traitement d’antennes a suscité un grand intérêt pour la communauté scientifique. A travers plusieurs travaux menés, la modélisation des signaux a évolué et plusieurs hypothèses ont été introduites afin de se rapprocher des situations réelles. Cette évolution de la modélisation a poussé la communauté scientifique à prendre en considération certaines propriétés. Parmi ces propriétés, on note celles non gaussianité et de non circularité qui conduisent respectivement à des traitements non linéaires [83] et widely linear [75, 33]. . L’objectif principal du traitement d’antenne est d’extraire de l’information utile contenue dans des observations bruitées en exploitant certaines caractéristiques statistiques et spatiales. Les propriétés de non gaussianité et de non circularité font partie et ont été exploitées. Ainsi, pour certains objectifs de recherche, ces caractères non circulaire et/ou non gaussien pourraient ne pas être gênants si les performances des récepteurs fondés sur l’hypothèse gaussienne et/ou circulaire étaient suffisantes. Malheureusement, ce n’est pas toujours le cas en pratique. En effet, avec la forte croissance du secteur des télécommunications, la tendance actuelle est de reculer les frontières du possible. C’est pour cela que dans cette thèse, nous nous intéressons à l’exploitation de ces propriétés de non circularité et de non gaussianité particulièrement en beamforming et en détection.

Circularité et modulations 

Les variables, vecteurs ou signaux aléatoires complexes sont largement utilisés dans plusieurs branches du traitement du signal. Dans le domaine temporel, le meilleur exemple de signal aléatoire complexe est le signal analytique qui apparait dans la définition de l’amplitude et de la phase instantanée. Dans le domaine fréquentiel, il est évident que les composantes de Fourier d’un signal aléatoire sont souvent des variables aléatoires complexes.

L’étude statistique au second ordre des variables ou vecteurs aléatoires complexes n’a pas introduit de difficultés supplémentaires par-rapport au cas réel dans les premiers travaux. Dans ce contexte, la variance d’une variable aléatoire complexe centrée z est E[zz∗ ] au lieu de E[z2 ] pour une variable aléatoire réelle. De même la matrice de covariance d’un vecteur aléatoire complexe centré z est E[zzH] au lieu de E[zzT ] dans le cas réel. En outre, tous les concepts de convergence en moyenne quadratique, donc les espace de Hilbert des variables aléatoire peut facilement être étendu au second ordre du cas réel au cas complexe. Cependant, quelques problèmes apparaissent en traitant les concepts de fonction de répartition, de densité de probabilité ou de fonction caractéristique.

En effet, la fonction de répartition F(Z) d’une variable aléatoire réelle z correspond à la probabilité p(z ≤ Z), or le concept d’inégalité est dépourvu de sens dans le cas complexe. Dans ce cas, puisque l’application qui relie les corps de nombres complexes C et R2 est un isomorphisme, la procédure standard est d’utiliser la partie réelle et imaginaire z = x + iy pour former un vecteur à deux dimensions (x y). De même pour un vecteur aléatoire complexe z = x + iy, il peut être remplacé par un couple de vecteurs aléatoires réelles (x y). Par exemple, dans l’étude de la densité de probabilité d’un vecteur aléatoire complexe gaussien z = x + iy, il est toujours possible de considérer que de tels vecteurs peuvent être décrits par une paire de deux vecteurs aléatoires réels gaussiens où on associe à ce couple une fonction densité de probabilité f(x, y) qui doit induire la densité de probabilité de z notée f(z, z∗ ), car toute fonction de x et y peut de représenter comme une fonction de z et de son conjugué z∗ . C’est ainsi, qu’au second ordre, pour obtenir toute l’information que véhicule le vecteur complexe z on doit considérer simultanément z et z∗ . Par conséquent la matrice de covariance E[zzH] ne suffit pas pour décrire cette information dans le cas où z et z∗ sont corrélés. C’est pour cela qu’une autre quantité définie comme la seconde matrice de covariance E[zzT ] doit être prise en considération. C’est pour cette raison que la notion de signal circulaire a été introduite [75, 33]. Ainsi, un vecteur aléatoire est dit circulaire au second ordre si E[zzT ] = O.

La circularité est une hypothèse qui, à l’origine, était introduite pour la définition de la fonction de densité de probabilité des vecteur complexes gaussiens. Néanmoins, ce concept est étendu, de différentes manières, aux vecteurs complexes non gaussiens. Les signaux non circulaires dont la deuxième matrice de covariance est non nulle ont été étudiés par exemple : dans [86] en radiocommunications, dans [70] en théorie de l’information et dans [87] en détection et estimation. Dans les systèmes de communications numériques, les signaux non circulaires au second ordre ont été étudiés avec un grand intérêt dans ces dernières années, par exemple dans [19, 32, 21, 96]. Parmi ces signaux, on trouve les signaux de modulation ASK, BPSK, OQPSK et certaines modulations CPM d’indice 1/2 , telles que les modulations MSK et GMSK. La première partie de ce chapitre est consacrée au rappel des diverses définitions de la circularité des variables et des vecteurs aléatoires complexes et à la définition de quelques propriétés statistiques aux ordres supérieurs que nous utiliserons dans ce document. La deuxième partie est consacrée à une typologie des signaux non circulaires du second ordre et à l’étude de leurs circularités, en particulier à un rappel des modulations CPM.

Beamforming linéaire 

La formation de faisceaux ou beamforming est l’une des plus importantes techniques de traitement d’antennes, utilisée pour l’estimation des signaux et des directions d’arrivée (DOA) ainsi que dans la suppression d’interférences. Les applications du beamforming sont diverses et concernent divers secteurs comme le radar, le sonar, les communications sans fil, l’écoute passive et l’imagerie biomédicale (voir [97], [95] et leurs références). L’objectif principal du beamforming est de trouver un filtre spatial dont la sortie correspond à une estimée du signal utile venant d’une direction particulière et potentiellement corrompu par des interférences et d’un bruit additif gaussien.

Modélisation en bande étroite

Supposons que le milieu de propagation des ondes est homogène, c’est-à-dire que la vitesse de propagation c est constante. De plus, supposons que les sources sont très éloignées de l’antenne, de sorte que l’on peut considérer un modèle d’ondes planes. Ainsi les rayons reçus par les différents capteurs peuvent ainsi être supposés parallèles. On considère un signal de cible complexe de fréquence porteuse f0 et de bande passante B reçu par un réseau d’antennes composé de N capteurs. Notons s(t) l’enveloppe complexe de ce signal à l’instant t.

Modèle classique des signaux reçus
On considère une antenne arbitraire de N capteurs à bande étroite recevant la contribution de M sources venant de différentes directions et d’un bruit spatialement blanc, gaussien, centré et circulaire au second ordre. On note x(t) le vecteur des amplitudes complexes des signaux reçus à la sortie de ces capteurs. Chaque capteur reçoit la contribution d’un signal utile (SOI) mélangé à un bruit total composé d’interférences et d’un bruit de fond gaussien, centré et circulaire .

Les différents critères du beamforming linéaire

La principale problématique du filtrage d’antennes optimal consiste à mettre en œuvre un filtre complexe, spatial ou spatio-temporel, linéaire et invariant dans le temps (IT), noté dans tout le document w, et dont la sortie y(t) = w Hx(t) optimise un critère à l’ordre deux sous d’éventuelles contraintes. Nous allons présenter dans ce qui suit les différents critères à optimiser par filtrage spatial linéaire et nous allons voir que certains critère nécessitent la connaissance a priori de certaines informations sur le signal utile comme sa direction d’arrivée s et sa puissance πs et cela dépendra de l’application.

Minimisation de la puissance de sortie sous contraintes linéaires
Appelé aussi critère LCMV (Linearly Constrained Minimum Variance) [97] [42], ce critère est considéré comme une extension du critère MVDR (2.8) à plusieurs contraintes. Le principe de base du critère LCMV est de contraindre la réponse du filtre (du beamformer) de telle manière que ce dernier laisse passer, avec un gain et une phase spécifiée, les signaux venant de la direction du signal utile. Le beamformer est choisi de manière à minimiser la puissance de sortie sous les contraintes imposées, ceci tend à préserver le signal utile en minimisant la contribution en sortie du bruit et des interférences arrivant d’autres directions que celle de l’utile.

Annulateur de lobes latéraux généralisé (GSC) 

L’annulateur de lobes latéraux généralisé GSC (Generalized Side-lobe Canceller) est une mise en œuvre efficace pour un filtrage d’antenne adaptatif avec contraintes linéaires. Le GSC conventionnel décrit dans [51] est constitué d’un vecteur de poids qui fournit au réseau des informations sur des réponses spécifiées dans certaines directions et d’une matrice bloquante du signal utile conçue sur des connaissances a priori des directions d’arrivée.

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Table des matières

Introduction
I Généralités
1 Circularité et modulations
1.1 Introduction
1.2 Circularité d’un vecteur aléatoire
1.2.1 Coefficient de non circularité d’ordre deux
1.3 Statistiques d’ordre supérieurs
1.3.1 Moments
1.3.2 Cumulants
1.4 Typologie des principales modulations présentant un caractère non circulaire à l’ordre deux
1.4.1 Famille F1 : Modulations rectilignes
1.4.2 Famille F2 : Modulations linéaires QAM rectangulaires
1.4.3 Famille F3 : Modulations linéaires décalées
1.4.3.1 La dérotation avant ou après le filtrage adapté ?
1.4.4 Famille F4 : Modulations à phase continue CPM
1.5 Étude de la non circularité d’ordre deux instantané de certaines modulations CPM
1.5.1 CPM à réponse totale
1.5.1.1 Indice de modulation h = 1/2
1.5.1.2 Indice de modulation h = 1
1.5.1.3 Indice de modulation h = 1/4
1.5.2 CPM à réponse partielle
1.5.2.1 Indice de modulation h = 1 /2
1.5.2.2 Indice de modulation h = 1
1.5.3 La modulation GMSK
1.5.4 Les CPM quaternaires
II Beamforming
2 Beamforming linéaire
2.1 Introduction
2.2 Modélisation en bande étroite
2.3 Modèle classique des signaux reçus
2.4 Les différents critères du beamforming linéaire
2.4.1 Maximisation du SINR
2.4.2 Minimisation de la puissance du bruit sous une contrainte directionnelle
2.4.3 Minimisation de la puissance de sortie sous contraintes linéaires
2.4.4 Annulateur de lobes latéraux généralisé (GSC)
2.4.5 Minimisation de l’erreur quadratique moyenne (MMSE) sans signal de référence
2.4.6 Minimisation de l’erreur pondérée au sens des moindres carrés (WLSE)
2.4.7 Estimation du signal utile au sens maximum de vraisemblance (ML)
2.4.8 Minimisation de l’erreur quadratique moyenne (MMSE) avec signal de référence
2.5 Conclusion
3 Beamforming linéaire au sens large WL
3.1 Introduction
3.2 Filtrage linéaire au sens large
3.3 Modèle WL des signaux et statistiques d’ordre deux
3.4 Modèle du bruit total
3.5 Beamformer WL avec γs inconnu
3.5.1 Beamformer WL au sens du maximum du SINR approché
3.5.2 Beamformer WL MVDR1
3.5.3 Beamformer WL WLSE1
3.5.4 Beamformer WL ML1
3.6 Beamformer WL avec γs connu
3.6.1 Décomposition orthogonale de s(t)
3.6.2 Beamformer WL MVDR2
3.6.3 Beamformer WL WLSE2
3.6.4 Beamformer WL MMSE
3.6.5 Beamformer WL ML2
3.6.6 Beamformer WL au sens maximum du SINR
3.6.7 Beamformer WL annulateur de brouilleurs
3.7 Étude du beamformer MVDR2
3.7.1 Capacité de traitement
3.7.2 Structure TI WL GSC équivalente
3.7.3 Performances en SINR du beamformer MVDR2
3.7.3.1 Calcul du SINR en sortie
3.7.3.2 SINR et MSE
3.7.3.3 Analyse du SINR en sortie
3.7.3.4 Performances pour une seule interférence
3.7.3.5 Illustrations
3.7.4 Performances en taux d’erreur symbole SER du beamformer MVDR2
3.7.4.1 Cas où le signal utile et l’interférence sont BPSK
3.7.4.2 Cas où le signal utile est BPSK et l’interférence est QPSK
3.7.4.3 Cas où le signal utile est QPSK et l’interférence est BPSK
3.7.4.4 Illustrations
3.7.5 Mise en œuvre du beamformer MVDR2
3.7.5.1 Cas où sγ est connu
3.7.5.2 Cas où s et γ sont inconnus
3.7.5.3 Cas où s est connu et γs est inconnu
3.7.5.4 Simulations
3.8 Conclusion
4 Beamforming non linéaires GSC et MVDR de Volterra
4.1 Introduction
4.2 Intérêt des récepteurs non linéaires
4.3 Hypothèses et formulation du problème
4.3.1 Modèle et hypothèses
4.3.2 Formulation du problème
4.4 Récepteurs MVDR IT de Volterra
4.4.1 Présentation des filtres de Volterra
4.4.2 Récepteurs IT MVDR de Volterra d’ordre 3 à structure complète
4.4.2.1 Contraintes pour le terme linéaire-conjugué
4.4.2.2 Contraintes pour les termes cubiques
4.4.2.3 Écriture des contraintes
4.4.2.4 Expression du récepteur MVDR non linéaire
4.5 Interprétation GSC de Volterra à structure complète
4.5.1 Présentation de la structure complète
4.5.2 Inversibilité sans retirer les redondances
4.5.3 Cas particulier de structures partielles
4.5.4 Implémentation adaptative
4.5.5 Analyse des performances en SINR en sortie
4.6 Illustrations et simulations par ordinateur
4.7 Extension aux critères maximum de SINR et MMSE
4.7.1 Expression du filtre MMSE de Volterra
4.7.2 Implantation du filtre de Volterra MMSE
4.8 Conclusion
Conclusion

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