Approximation diophantienne dans les variétés abéliennes

Aperçu du problème

Soit A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k. Une fois A plongée dans un espace projectif Pn , on dispose de deux notions héritées de l’espace projectif ambiant : une hauteur, et (pour tout place v de k) une distance v-adique (définie en section 1.5.5 page 17) entre un point et une variété. Dans ces conditions, Faltings a démontré le théorème d’approximation suivant [Fal91, Theorem II].

Théorème 1.1.1 (Faltings). Soit V une sous-variété quelconque de A, v une place de k, et ε > 0. Il n’existe qu’un nombre fini de points x dans A(k) tels que

0 < distv(x, V) 6 H(x) −ε .(1.1)

Comme de nombreux énoncés de géométrie diophantienne, ce résultat n’est malheureusement pas effectif au sens suivant : on ne voit à l’heure actuelle pas de moyen de borner la hauteur des points satisfaisant à l’hypothèse d’approximation (1.1). Ainsi que le fait remarquer Faltings dans l’introduction de son article : « As far as I can see, everything here is ineffective beyond hope. » Néanmoins, il semble a priori raisonnable de vouloir majorer explicitement le nombre de points rationnels satisfaisant à (1.1) (que nous appellerons à l’occasion les approximations exceptionnelles). Pour les courbes elliptiques, ce travail a été accompli dans [GS95] pour les courbes de hauteur assez grande, puis de façon indépendante par Farhi ([Far03, chap. 2] ou [Far05a]) pour toutes les courbes, avec des constantes d’apparence assez différente. L’objet du présent mémoire, qui s’inscrit dans la lignée des travaux de Farhi, est de généraliser ce résultat en dimension supérieure, c’est-à dire d’obtenir, autant que possible, une version quantitative explicite du théorème d’approximation de Faltings.

Plus précisément, ce type d’énoncé quantitatif est généralement obtenu en combinant une inégalité à la Vojta et une inégalité à la Mumford, dont nous rappelons brièvement des énoncés possibles, formulés de façon générique avec une condition (C) qui peut être par exemple l’hypothèse d’approximation (1.1) ci-dessus, ou une autre condition pour l’ex-conjecture de Mordell-Lang. Les deux inégalités s’énoncent dans l’espace de Mordell-Weil de A muni de la forme quadratique donnée par la hauteur normalisée de Néron-Tate.

L’inégalité de Vojta affirme qu’il n’existe pas de suite x1, . . . , xm de points satisfaisant simultanément à la condition (C) et aux trois conditions suivantes :

(i) ˆh(x1) > αV ;
(ii) ˆh(xi) > βV ˆh(xi−1) pour i > 1 ;
(iii) cos(xi , xj) > 1 − γV pour tous i et j ;

où l’angle est relatif à la structure euclidienne de l’espace. Nous appellerons cône tronqué une partie de l’espace délimitée par les conditions (i) et (iii) ci-dessus. Il est clair que l’espace privé d’une boule de rayon √ αV peut être recouvert par un nombre fini de tels cônes tronqués dès qu’il est de dimension finie (ce qui est le cas si on se place sur un corps de nombres). L’inégalité de Vojta assure que, sous la condition (C), il n’y a qu’un nombre fini de points dans chaque cône, et permet donc de conclure à la finitude de l’ensemble des points satisfaisant (C). L’inégalité de Mumford peut s’énoncer de façon très similaire. Elle dit qu’il n’existe pas de suite x1, . . . , xm de points satisfaisant simultanément à la condition (C) et aux trois conditions suivantes :

(i) ˆh(xi) > αM pour tout i ;
(ii) | ˆh(xi) − ˆh(xj)| < βM ˆh(x1) pour tous i et j.
(iii) cos(xi , xj) > 1 − γM pour tous i et j ;

Utilisée conjointement avec l’inégalité de Vojta, et à condition que les constantes apparaissant dans ces deux inégalités soient effectives, elle permet de majorer le nombre de points dans chaque cône tronqué, donc le nombre total de points (modulo un résultat, assez indépendant, de décompte des « petits » points). La démonstration de Faltings consiste précisément à démontrer une inégalité de Vojta, non effective, qui suffit à assurer la finitude. L’objectif consiste donc à rendre effective cette inégalité de Vojta et à lui adjoindre une inégalité de Mumford, elle aussi effective.

L’ex-conjecture de Mordell-Lang

Dès 1922, Mordell avait conjecturé l’énoncé suivant.

Théorème 1.2.4 (Faltings, ex-conjecture de Mordell). Soit C une courbe projective lisse de genre g > 2, définie sur un corps de nombres k. L’ensemble C(k) des points rationnels de C est fini.

Ce résultat a d’abord été prouvé par Faltings en 1983 comme conséquence d’une conjecture de Shafarevitch [Fal83]. La preuve fait intervenir des espaces de modules de variétés abéliennes, et c’est à cette occasion que Faltings a introduit la hauteur qui porte désormais son nom, sur ces espaces. Néanmoins, cette preuve reste assez éloignée des méthodes traditionnelles de l’approximation diophantienne. Une preuve totalement indépendante a été publiée en 1991 par Vojta [Voj91]. Elle se rapproche grandement des idées habituelles de l’approximation diophantienne, en introduisant ce qu’on appelle maintenant l’inégalité de Vojta. La preuve est ensuite simplifiée (« avoid[ing] the difficult Arakelov theory in Vojta’s paper ») et étendue par Faltings [Fal91] pour prouver une conjecture de Lang, généralisant celle de Mordell, et qui s’énonce ainsi.

Théorème 1.2.5 (Faltings, ex-conjecture de Mordell-Lang). Soit V une sous-variété d’une variété abélienne A, définie sur un corps de nombres k. Si V ne contient pas de translaté de sous-variété abélienne non nulle, alors V(k) est fini.

Ceci généralise la conjecture de Mordell, qui correspond au cas où V est une courbe et A sa jacobienne. Ce résultat est proche de notre problème d’approximation dans le sens suivant : il consiste à montrer la finitude des points rationnels sur une sous variété de variété abélienne, alors que nous nous intéressons aux points proches d’une telle sous-variété. Il est d’ailleurs significatif que Faltings a prouvé ces deux théorèmes (la conjecture de Mordell-Lang et celui que ce mémoire cherche à rendre quantitatif) dans le même article : une bonne partie des outils est commune aux deux preuves.

Une différence notable entre les deux situations est toutefois la suivante : pour étudier les points qui sont proches d’une sous-variété, sans appartenir à cette variété, on n’a pas besoin de supposer que celle-ci ne contient pas de translaté de sous-groupe. En fait, le résultat reste valable même pour les approximations d’une sous-variété abélienne. Des versions quantitatives du théorème 1.2.5 page précédente ont été établies ensuite en suivant la méthode de Vojta. Signalons la relecture de la preuve par Bombieri [Bom90], qui simplifie certains arguments en les  rapprochant de l’effectivité, et le travail de De Diego [Die97] sur les familles de courbes. Rémond obtient, dans la lignée de travaux de Faltings et Bombieri, une version totalement effective de l’inégalité de Vojta [Rém00b], puis lui adjoint une inégalité à la Mumford, établissant ainsi une version quantitative explicite [Rém00a] de l’exconjecture de Mordell-Lang. Enfin, Farhi [Far03, chap. 3] et [Far05b] donne une version quantitative de l’ex-conjecture de Mordell, démontrée dans un formalisme plus élémentaire que celui de Rémond, et légèrement plus précise que son application directe au cas des courbes.

Le théorème de Siegel et une ex-conjecture de Lang 

Le théorème de Siegel [Sie29] affirme qu’une courbe de genre supérieur ou égal à 1 ne possède qu’un nombre fini de points entiers. Sa démonstration repose sur le théorème de Roth énoncé plus haut, et avait été obtenu par Siegel avec la version faible de cet énoncé dont il disposait en 1929. Pour les courbes de genre supérieur ou égal à 2, ce théorème est en quelque sorte surpassé par l’ex-conjecture de Mordell, mais il conserve un intérêt pour les courbes elliptiques. La généralisation suivante du théorème avait été conjecturée par Lang [Lan60].

Théorème 1.2.6 (Faltings, ex-conjecture de Lang). Soit A une variété abélienne plongée dans Pn et E un hyperplan de Pn . Alors A \ E ne possède qu’un nombre fini de points entiers.

C’est en fait un corollaire [Fal91, cor. 6.2, p. 576] du théorème d’approximation de Faltings : on remarque que la hauteur (relative à E) d’un point entier x est égale au produit des inverses des distances v-adiques de x à E quand v parcourt les places archimédiennes de k. Ainsi, les points entiers de A \ E sont des approximations exceptionnelles de E au sens du théorème 1.1.1 page 1 pour ε = 1, elles sont donc en nombre fini. C’est pour ce type d’applications qu’il devient essentiel dans le théorème d’approximation de pouvoir prendre ε 6 1 et que l’inégalité de Liouville (corollaire 1.2.3 page 3) ne suffit pas. Les résultats obtenus ici permettent de donner un décompte explicite des points entiers, malheureusement pas dans le cas général, mais au moins lorsque A est simple (et principalement polarisée). À notre connaissance, une telle version quantitative explicite de cette ex-conjecture de Lang, même dans un cas particulier, est nouvelle pour une variété abélienne de dimension au moins 2 ; néanmoins, les constantes que nous obtenons ne sont pas satisfaisantes (corollaire 4.4.5 page 129).

Énoncés des résultats principaux

Comme on l’a mentionné précédemment, il semble a priori difficile de borner la hauteur des approximations exceptionnelles, mais plus réaliste de borner leur nombre. En fait, il apparaît que dans notre situation, ces deux questions sont en général intimement liées : en effet, comme le montrera en détails le corollaire 4.1.4 page 116, certaines approximations exceptionnelles n’arrivent pas seules mais engendrent en fait une « grappe » d’approximations de qualité semblable, dont le cardinal est minoré en fonction de la hauteur de l’approximation qui engendre cette grappe. Ce phénomène est directement lié à l’existence possible de translatés de sous-variétés abéliennes contenus dans la variété approchée. Ainsi, majorer le cardinal de l’ensemble des approximations exceptionnelles, donc de chaque grappe, reviendrait à majorer la hauteur de certains approximations exceptionnelles, voire de toutes les approximations exceptionnelles, résultat qui ne semble pas accessible à l’heure actuelle. Par contre, on peut compter les grappes d’approximations exceptionnelles ou, autrement dit majorer le cardinal d’ensembles d’approximations exceptionnelles ne contenant qu’un point dans chaque grappe. On introduit dans ce but la définition suivante.

Définition 1.3.1. Soient F un sous-ensemble de A(Q) et τ un réel positif. On dit que F satisfait C(τ) s’il existe une sous-variété abélienne B de A dont un translaté est contenu dans V et deux points distincts x et y dans F, tels que x − y ∈ B et ˆh(x − y) 6 τ ˆh(x).

On dit que F satisfait la condition C(τ) si F ne satisfait pas C(τ).

Nous allons donc nous attacher à contrôler le cardinal d’ensemble d’approximations exceptionnelles satisfaisant C(τ) pour un certain τ explicite. La section 4.1 page 113 discute plus en détails ce phénomène de grappe et le choix de la condition utilisée pour le mettre de côté. Signalons tout de même avant de continuer que, si A est simple, il n’y a pas de grappes, la condition ci-dessus est vide et les résultats ci dessous donnent donc des décomptes complets de toutes les approximations exceptionnelles. Le premier résultat de décompte que nous donnons concerne le cas particulier où la variété approchée est un translaté d’une sous-variété abélienne de A. Pour simplifier, on note cA une constante ne dépendant que de A plongée, qui peut être explicitée totalement dans certains plongements (voir l’énoncé complet pour la valeur en fonction de constantes liées au plongement et la section 1.5.4 page 13 pour ces constantes).

Stratégie général

Il s’agit essentiellement d’employer la méthode de Vojta, en s’inspirant des travaux de Rémond [Rém00a ; Rém00b ; Rém05], de Farhi [Far03, chap. 2], et de la preuve originale de Faltings [Fal91]. Dans les grandes lignes, la preuve consistera donc à établir une version explicite de l’inégalité à la Vojta obtenue par Faltings et à lui adjoindre une inégalité à la Mumford, elle aussi explicite. Les arguments utiliseront un formalisme simple : plongements, coordonnées et polynômes plutôt que fibrés (métrisés) et sections globales. Les outils techniques essentiels sont ceux de la théorie de l’élimination tels que rappelés par exemple dans [NP01, chap. 5 à 7]. Le plan de la thèse est le suivant :
– les sections suivantes du présent chapitre introduisent les principales notations et le cadre général dans lequel on se place, en rappelant les propriétés essentielles des notions utilisées ainsi qu’en prouvant au besoin quelque propriétés nouvelles mais assez simples ;
– le chapitre deux établit une inégalité de Vojta, en commençant par un cas particulier avant d’en déduire le cas général ;
– le chapitre trois établit une inégalité de Liouville et deux inégalités de Mumford : la première concerne un cas particulier mais présente de bien meilleures constantes que la seconde, traitant le cas général ;
– enfin, le chapitre quatre déduit de ces inégalités des décomptes de grands points avec certaines restrictions, après avoir détaillé les obstructions qui nous obligent à imposer lesdites restrictions. Présentons maintenant un peu plus en détail les stratégies mises en œuvre pour établir les résultats techniques principaux que sont les inégalités de Vojta et Mumford, en commençant par cette dernière, qui est la plus directe.

Le remarque essentielle pour l’inégalité de Mumford est que si deux points satisfont à ses hypothèses, leur différence sera de hauteur très petite relativement aux points initiaux. Une proposition clé contrôle l’action de la soustraction sur la distance ; on voit alors que cette différence est ainsi très proche d’une nouvelle variété : dans le cas où la variété approchée est un translaté de sous-variété abélienne, il s’agit de la sous-variété abélienne en question, dans le cas général on contrôle le degré et la hauteur de la variété projective obtenue. Ainsi, la différence est une approximation exceptionnelle d’une nouvelle variété et comme sa hauteur a chuté, elle est en fait tellement exceptionnelle que l’inégalité de Liouville la contraint à être sur cette variété. Dans le cas d’une sous-variété abélienne, c’est la conclusion voulue ; dans le cas général, on doit invoquer la version quantitative de l’ex-conjecture de Mordell Lang donnée par Rémond pour conclure.

Pour l’inégalité de Vojta, on se ramène au cas particulier où la variété approchée est un hyperplan standard de la façon suivante. Si V est une variété quelconque, on choisit une hypersurface qui la contient, puis par un plongement de Veronese on transforme cette hypersurface en hyperplan, et un changement de coordonnées linéaire transforme ce dernier en l’hyperplan standard X0 = 0. À chaque étape on contrôle explicitement l’action sur la distance, le degré et la hauteur des objets en jeu, et les différentes constantes associées au plongement. L’idée principale de cette partie est alors la suivante : en supposant qu’il existe un m-uplet d’approximations exceptionnelles satisfaisant aux hypothèses du théorème, on le regarde comme un point dans Am et on l’enferme dans des sousvariétés produit de Am de dimension décroissante et de degrés et hauteurs contrôlés. Au final, l’un des facteurs de cette variété sera réduit à un point, et le contrôle obtenu sur sa hauteur contredira les hypothèses, achevant la preuve. Pour cela, il s’agit, étant donné une telle variété, de produire une forme sur un des facteurs, s’annulant au point étudié, par laquelle couper pour faire décroître la dimension de la variété dans laquelle on l’a enfermé ; nous l’appellerons forme motrice. Si cette forme est suffisamment bien contrôlée, le théorème de Bézout, dans ses versions géométrique et arithmétique, permet alors de contrôler le degré et la hauteur de l’intersection. Le cœur technique de la preuve est donc la construction de cette forme motrice, pour laquelle on utilise la méthode de Thue. De façon classique, on commence par utiliser un lemme de Siegel pour produire une forme auxiliaire de multidegré prescrit (et étagé sur les différents facteurs) et de hauteur contrôlée, qui s’annule avec un indice (lui aussi étagé) élevé le long de l’hyperplan approché. L’étape d’extrapolation montre alors que la forme auxiliaire s’annule au point étudié, puis un lemme de zéros (en l’occurrence, une variante du théorème du produit) permet de conclure à l’existence de la forme motrice, ce qui clôt la preuve.

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Aperçu du problème
1.2 Relation avec d’autres énoncés
1.3 Énoncés des résultats principaux
1.4 Stratégie générale
1.5 Définitions et notations
1.6 Compléments sur les distances
2 Inégalité de Vojta
2.1 Cas particulier fondamental
2.2 Réduction et autres préliminaires
2.3 Construction d’une forme auxiliaire
2.4 Extrapolation
2.5 Application du théorème du produit et conclusion
2.6 Valeurs des paramètres et estimations reliées
2.7 Déduction du cas général
3 Inégalité de Mumford
3.1 Énoncés principaux
3.2 Inégalité de Liouville
3.3 Comportement métrique des opérations
3.4 Cas des translatés de sous-variétés abéliennes
3.5 Étude du morphisme des différences
3.6 Cas général
3.7 Questions d’optimalité et énoncé conjectural
4 Résultats de décompte
4.1 Conditions pour les décomptes
4.2 Hypothèse d’approximation produit
4.3 Grands points, cas des sous-groupes
4.4 Grands points, cas général
4.5 Options pour les petits points
Références bibliographiques

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