Approche analytique pour le mouvement brownien réfléchi dans des cônes

Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices.

Mouvement brownien réfléchi dans le quart de plan

Panorama

Il existe une vaste littérature sur le mouvement Brownien réfléchi dans le quart de plan ou quadrant (mais aussi dans des orthants, une généralisation en dimension supérieure du quadrant). Tout d’abord, il sert d’approximation aux grands réseaux de files d’attentes (large queuing networks), voir Foddy [42], Baccelli et Fayolle [5], Foschini [43] et Reiman [86]) ; c’était la motivation initiale de son étude, voir l’annexe D. Dans le même genre, c’est l’analogue continu des marches aléatoires dans le quart de plan, voir l’annexe A. De manière différente, il est aussi étudié pour ses fonctions de Lyapunov dans Dupuis et Williams [35], ses points cônes du mouvement Brownien dans Le Gall [69], ses relations d’entrelacement et ses probabilités croisées dans Dubédat [34], et pour un aspect qui nous intéresse particulièrement ici, pour sa récurrence/transience dans Hobson et Rogers [57]. Le comportement asymptotique de la distribution stationnaire a été récement étudié dans divers articles comme Harrison et Hasenbein [52], Dai et Miyazawa [28, 29] et enfin dans le chapitre 4 de cette thèse issu de [44] qui détermine un développement asymptotique complet selon toutes directions. Il existait jusqu’ici peu de résultats donnant des expressions exactes de la distribution stationnaire. On mentionnera tout de même Foddy [42], Foschini [43] (s’occupant du cas particulier où le mouvement Brownien a pour matrice de covariance l’identité dans [42] et avec des conditions de symétrie très fortes sur la dérive et les vecteurs de réflexion dans [43]), Baccelli et Fayolle [5] (sur une diffusion ayant un comportement assez spécial aux bords), Harrison et Williams [56], Dieker et Moriarty [31] (au sujet du cas spécial où la mesure stationnaire est exponentielle).

Problème de sous-martingale

Contrairement à ce que nous avons fait jusqu’ici, on pourrait définir le processus non pas comme une semi-martingale mais à l’aide d’un problème de sousmartingale. On pourra consulter l’article de Varadhan et Williams [97] pour une étude rigoureuse d’un tel processus sans dérive défini de cette manière. Ce problème de sousmartingale traduit mathématiquement les propriétés suivantes. Pour un processus de Markov fort à trajectoire continue :
• le processus évolue dans un cône et se comporte comme un mouvement Brownien à l’intérieur de celui ci,
• le processus se réfléchit instantanément sur les frontières du cône, les directions de rebonds étant constantes le long de chaque coté,
• la quantité de temps que le processus passe dans le coin du cône est nulle.

Approche analytique et résultats

Principes

Comme nous l’avons fait dans l’article [45] écrit pour la conférence AofA 2016, nous détaillons ici les grandes étapes de l’approche analytique qui nous guidera pendant toute cette thèse. Dans la littérature (voir par exemple Malyshev [79], Fayolle et Iasnogorodski [36], Fayolle et al. [37], Kourkova et Raschel [64, 65]), l’approche analytique repose sur six étapes :

(i) Trouver l’équation fonctionnelle reliant les fonctions génératrices ou les transformées de Laplace des fonctions étudiées (fonctions de Green, mesures invariantes, …) ;

(ii) Définir la surface de Riemann associée au noyau, prolonger méromorphiquement les fonctions génératrices, trouver les fonctions de collage conformes ;

(iii) Introduire le groupe lié au processus ;

(iv) Déduire de l’équation fonctionnelle un problème frontière (boundary value problem) ;

(v) Résoudre ce problème frontière ;

(vi) Étudier les singularités des fonctions étudiées (fonctions de Green, mesures invariantes, etc.), inverser les transformées de Laplace et appliquer la méthode du point col sur la surface de Riemann.

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Temps d’occupation et réflexion
1.1.1 Temps local et réflexion
1.1.2 Fonctions de Green et mesures invariantes
1.1.3 Mouvement Brownien avec dérive réfléchi en dimension un
1.2 Mouvement brownien réfléchi dans le quart de plan
1.2.1 Panorama
1.2.2 Définition, existence et unicité
1.2.3 Du quart de plan aux cônes convexes
1.2.4 Problème de sous-martingale
1.2.5 Récurrence et transience
1.2.6 Mesures invariantes et fonctions de Green
1.2.7 Fonctions génératrices et équation fonctionnelle
1.3 Approche analytique et résultats
1.3.1 Principes
1.3.2 Surface de Riemann
1.3.3 Calcul de la mesure invariante et problème frontière
1.3.4 Asymptotique, singularités et méthode du point col
1.3.5 Fonctions de Green et perspectives
2 Tutte’s invariant approach
2.1 Introduction and main results
2.1.1 Reflected Brownian motion in the quadrant
2.1.2 Laplace transform of the stationary distribution
2.1.3 Main result
2.2 Analytic preliminaries and continuation of the Laplace transforms
2.2.1 A kernel functional equation
2.2.2 Kernel
2.2.3 Continuation of the Laplace transforms
2.3 Statement of the boundary value problem
2.3.1 An important hyperbola
2.3.2 BVP for orthogonal reflections
2.3.3 Conformal gluing function and invariant theorem
2.3.4 Proof of Theorem 61
2.3.5 Diagonal covariance and dimension one
2.3.6 Statement of the BVP in the general case
2.4 Singularity analysis
2.4.1 Statement of the result
2.4.2 Proof of Proposition
2.5 Riemann sphere and related facts
2.5.1 Uniformisation
2.5.2 Conformal mapping
2.5.3 Group of the model and nature of the solution
3 Explicit expression for the stationary distribution
3.1 Introduction and main results
3.2 Functional equation and continuation of the Laplace transforms
3.2.1 Kernel
3.2.2 Meromorphic continuation and poles of the Laplace transforms
3.2.3 An important hyperbola
3.3 A proof of the main Theorem via reduction to BVPs
3.3.1 Methodology
3.3.2 Carleman BVP
3.3.3 Conformal gluing
3.3.4 Reduction to a standard BVP
3.3.5 Index of the BVP
3.3.6 Resolution of the BVP
3.3.7 Generalizations
3.4 Singularity analysis and asymptotics of the boundary distribution
3.4.1 Asymptotic results
3.4.2 Sketch of the proof of Theorem 90
3.5 Algebraic nature and simplification of the Laplace transforms
3.5.1 Dieker and Moriarty’s criterion
3.5.2 Skew-symmetric case
3.5.3 Structural form of the Laplace transforms and finite group
3.5.4 An algebraicity criterion for finite group models
3.5.5 Orthogonal reflections
3.6 Appendix
4 Conclusion