Applications mathématiques de l'axiome du choix

Applications mathématiques de l’axiome du choix

La pertinence de l’axiome du choix

• On discute briévement le statut de l’axiome du choix et l’opportunité ou non de l’inclure dans les axiomes de base de la théorie des ensembles. •Dégagé et énoncé explicitement au début du XXe siécle, l’axiome du choix a suscité des discussions innombrables où partisans et adversaires se sontparfois violemment opposés.
Aujourd’hui, les positions sont plus nuancées : on sait que (AC) n’est niprouvable ni réfutable à partir des axiomes de (ZF), mais ceci ne dit rienquant à l’opportunité de l’adopter ou non comme axiome additionnel. Cedernier point dépend surtout du type d’objet, eectif ou non, auquel on
s’intéresse.”124 Logique (Patrick Dehornoy)

Une question ambiguë

• La question brutale l’axiome du choix est-il vrai? n’est pas bien posée, et elle recouvre deux questions de natures complétement différentes,
l’une objet d’une possible démonstration, l’autre seulement objet d’un possible consensus. • Avant de pouvoir éventuellement répondre à la question de la vérité de l’axiome du choix, il convient de s’entendre sur ce que signifie la vérité d’un enoncé mathématique. Un énoncé peut certainement être tenu pourvrai s’il en existe une démonstration convaincante. Le probléme est qu’unedémonstration ne procéde pas ex nihilo, mais consiste à dériver de nouvellespropriétés à partir d’autres qui soit ont été démontrées antérieurement, soitont fait l’objet d’un consensus pour être prises comme point de départ axiomatique. Dés lors que le systéme (ZF) constitue une base possible pour la théorie des ensembles, deux questions distinctes se posent donc en présence d’un énoncé tel que l’axiome du choix : ∗ Question 1 : L’axiome du choix ou sa négation est-il conséquence des autres principes de base, donc, dans le contexte présent, des axiomes du systéme (ZF)? ∗ Question 2 : Est-il opportun ou, au contraire, déconseillé d’inclure l’axiome du choix dans les principes de base des mathématiques?

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Table des matières

1 Introduction
2 Historique
3 Axiome du choix
3.1 Les différentes formes équivalentes de l’axiome du choix
3.2 Le lemme de Zorn et le théorème de Zermelo
4 Formes faibles de l’axiome du choix
5 Quelques applications mathématiques de l’axiome du choix
5.1 En Algébre Linéaire
5.2 En Topologie Générale
5.3 En Analyse
5.4 En géométrie
6 Le lemme de Baire et l’axiome du choix
7 La pertinence de l’axiome du choix
7.1 Une question ambiguë
7.2 L’axiome du choix est-il une conséquence de (ZF)?
8 Est-il opportun d’adopter l’axiome du choix ?
8.1 Le système (ZFC)