Soutenance mémoire
Analyse d’un capteur
En partie deux nous avons détaillé plusieurs techniques de traitement de signaux d’une voie.
Nous avons dégagé les avantages et inconvénients de chaque méthode de traitement. Nous allons utiliser une méthode d’analyse fréquentielle du signal et une méthode d’analyse paramètrique du signal. La méthode qui sera utilisée pour l’analyse fréquentielle d’un signal sera le ’peak picking’. Or comme on l’a vu lors de la partie précédente, l’estimation des fréquences par ’peak picking’ est plus fiable si l’estimation de la densité spectrale de puissance est faite par corrélogramme lissé ou périodogramme lissé. Ainsi nous choisissons comme premier traitement un peak picking sur le périodogramme de Welch de ces signaux. La méthode qui sera utilisée pour l’analyse paramétrique du signal sera un modèle d’AR-Prony. Les modèles auto-régressifs classiques sont écartés car ils ne donnent pas d’informations sur l’amplitude des fréquences. En particulier on étudiera les différences de résultats entre plusieurs ordres (60, 200, 300, 400).
Périodogramme de Welch
Le périodogramme de Welch est un périodogramme lissé, il possède donc un fenêtrage. Le fenêtrage utilisé est un fenêtrage de Hann. La longueur du signal est de un million de points.
La fenêtre correspond à un nombre de points dans le domaine temporel. Ainsi plus la fenêtre sera longue dans le domaine temporelle plus elle sera étroite dans le domaine fréquentiel et plus l’estimation de la dsp sera précise. Il est donc nécessaire de sélectionner un fenêtrage optimal. Figure 6.2 – Périodogramme de Welch (2017, PM 200, capteur 76, voie verticale). L’amplitude correspond à la puissance de la densité spectrale. Il est renseigné unite2.(Hz)−1 comme unité. Cette unité est de mm.s−1 pour la densité spectrale de puissance obtenue par FDD. Cependant pour la DSP obtenue par spectre de Prony tout ce que ’on sait c’est que cette unité est relative à une vitesse. En effet on ne peut qu’avoir une amplitude à un coefficient multiplicatif près ainsi l’ordre de grandeur de l’unité ne peut être identifié clairement. Cependant cela n’a qu’une importance relative car nous cherchons à retrouver les pics de la densité spectrale de puissance. long possible mais doit rester très inférieur à la longueur du signal (10 fois plus court que la longueur du signal). Dans le cadre de mon travail de fin d’études on choisit un nombre de points en 2x et on choisit x tel que 2x 10 × lsignal avec x 2 N (la longueur est en 2x car les fonctions utilisées sur informatique sont optimisées en temps pour de telles longueurs). La densité spectrale de puissance peut paraître brouillée pour des fenêtrage long. Pour que celle-ci paraisse moins aléatoire il faut utiliser un fenêtrage court. Par exemple si on utilise un fenêtrage de 256 points on obtient la densité spectrale de puissance de la figure 6.2. La densité spectrale de puissance est lisible mais le pas est de 0.5 hertz. La sélection des fréquences propres est donc plus facile (lisibilité de la densité spectrale de puissance (dsp)) mais les fréquences sélectionnées seront moins précises. Les fréquences propres obtenus avec ce fenêtrage sont 10.5, 14, 8.5, 18, 5.5 Hertz. Ces fréquences sont estimées par ’peak picking’ avec un pas de 2 Hertz. C’est à dire que tous les 2 hertz on relève une fréquence maximale (le détail du programme utilisé est disponible en annexe …). Les fréquences estimées avec une dsp ’lisible’ sont donc moins précise(pas de fréquence large). Il est donc nécessaire de sélectionner un fenêtrage optimal.
Cependant pour une longueur de segments optimale la sélection de pics peut être compliquée car il y a énormément de variations comme on peut le voir sur la figure 6.5. Pour sélectionner les fréquences propres nous utilisons une méthode de ’peak picking’. Pour la campagne de 2017 on a x = 16 donc la longueur du fenêtrage est 216 = 65536 points. Les cinq premières fréquences propres sont 14.79, 0.80, 10.98, 8.70, 18.14 Hertz. On compare maintenant ces fréquences à une modélisation AR-Prony.
Modélisation AR-Prony
L’objectif de cette partie est de sélectionner plusieurs ordres pour la modélisation autorégressive et de comparer les résultats de ces différents ordres. Ces ordres ont été choisis arbitrairement (en réalité on prend des ordres élevés pour observer si les fréquences convergent).
Ainsi on s’intéresse aux ordres 60, 200, 300 et 400. Ces ordres sont assez élevés car on sait que pour un ordre p le nombre de fréquences propres maximal que l’on trouvera sera de p2 . On s’intéressera pour chacun de ces modes aux cinq fréquences propres d’amplitudes maximales et à leur spectre de Prony. Le spectre de Prony ne correspond pas réellement à la densité spectrale de puissance du signal, il correspond à la densité spectrale de puissance de la modélisation du signal. Si on considère que le signal est symétrique autour de l’origine, la valeur de la transformée de Fourier de ce signal est.
Différences entre les méthodes d’estimations des fréquences propres
On va comparer les cinq premières fréquences propres estimées par modèles AR d’ordre 200, 300, 400 et celles estimées par relevé de pics du péridiogramme de Welch. On calculera ensuite l’écart relatif entre ces méthodes sur trois fréquences propres.
Les cinq premières fréquences semblent assez proches seulement le classement de ces fréquences n’est pas le même selon les méthodes d’estimations. Quatre fréquences semblent être redondantes. On sélectionne donc les trois premières fréquences propres estimées par relevé de pics du périodogramme de Welch. On les compare aux fréquences propres les plus proches dans les cinq premières fréquences des différents ordre AR.
Globalement les écarts (pour l’estimation des 3 premières fréquences) entre les modèles AR et les méthodes d’estimations de Welch semblent diminuer avec l’ordre. L’idée pour déterminer ou non l’endommagement est de comparer les fréquences estimées par modélisation AR et par périodogramme de Welch durant la campagne de 2017 et de 2019. Pour cela on détermine un ordre pour lequel on obtient à peu près les mêmes fréquences que pour un relevé de pics sur le périodogramme de Welch. Un ordre 300 semble convenir. Après avoir déterminé cet ordre on peut éliminer les modes liés à la structure des modes liés au système source-structure à partir d’un critère sur l’amortissement. En effet, les modes liés à une structure de génie civil possèdent un coefficient d’amortissement de l’ordre de 5%. Les trois premiers modes obtenus pour la poutre PM200 de ce capteur sont 8.98, 10.74, 12.01 Hertz. Analytiquement les trois premières fréquences propres étaient de 7.74, 11.44 et 12.35 Hertz. Ces résultats sont relativement proche de ce qui avait été calculer analytiquement. On remarque que la fréquence propre estimée à 0.80 Hertz a été écarté. Son coefficient d’amortissement était de 30%. Cela est rassurant car une fréquence propre aussi faible pour la structure est trop éloignée des résultats des modélisations analytique et numérique. En effectuant cette même méthode pour ce capteur de la poutre PM380 en 2017 on obtient 14.75, 10.85 et 12.06. La fréquence autour de 9 Hertz est présente dans les ’bons modes’ cependant elle possède une amplitude plus faible. Cela peut s’expliquer par la différence de placement exact sur les deux poutres. Pour la poutre PM570 on a 9.71, 11.28 et 12.81. Pour la poutre PM741 on a 9.65, 16.17, 17.07. Entre les poutres les modes principaux ne sont pas les mêmes et ceux-ci pour les deux méthodes d’estimations. Cependant entre les deux méthodes on retrouve quasiment les mêmes résultats. Les caractéristiques des quatre poutres en 2017 ne sont donc pas exactement les mêmes. L’étude précise de ces différences n’a pas été réalisée pendant mon TFE mais ces écarts peuvent s’expliquer par la différences de contexte et de géométries exactes.
Périodogramme de Welch
On garde un fenêtrage de 216 points. La figure 6.7 correspond au périodogramme de Welch obtenu pour le signal de 2019.
Les cinq premières fréquences propres obtenues sont 10.80, 13.90, 8.54, 18.08 et 16.07 Hertz (Celles-sont pointées sur la figure 6.8).
Modèle AR-Prony campagne 2019
On s’intéresse seulement à un modèle Prony d’ordre 300. Les cinq premières fréquences propres sont 14.32, 2.33, 17.69, 5.06, 10.89 Hertz. Trois sont proches des fréquences retrouvées.
Théoriquement ces capteurs sont écartés de trois centimètres ce qui signifie que les amplitudes des différents modes peuvent être différents. deux ’modes propres’ (içi en ne s’intéressant qu’aux fréquences) semblent redondants parmi ces séries de résultats. L’une aux alentours de 14 Hertz et l’autre proche de 11 Hertz. Il est notable que ces deux fréquences se situent toujours dans ce qui a été défini comme étant des ’bons modes’. On peut donc vraisemblablement considérer que ces deux modes correspondent à des modes de la structure.
Pour ce qui est de la fréquence autour de 14 Hertz, entre 2017 et 2019 cette fréquence a chuté de 5.9 % selon la méthode de Welch et de 2.7 % selon la méthode de Prony. La fréquence autour de 11 Hertz a baissé de 1,7 % selon la méthode de Welch et a augmenté de 1,2 % selon la méthode de Prony. Une baisse de fréquence significative pourrait selon notre modèle de poutre en flexion signifier que les caractéristiques mécaniques (Module d’Young) pourraient avoir changé.
Dans notre cas en s’intéressant à deux modes nous ne remarquons pas une baisse systématique pour les 2 modèles. Si on regarde plus précisément autour de 11 Hertz spectre de Prony (pour la campagne de 2019) on observe un autre pic avec une amplitude significative à 10.10 Hertz. Admettons que cette fréquence de 10.10 Hz corresponde au mode autour de 11 Hertz, dans ce cas nous n’aurions plus une augmentation mais bien une baisse de 6 % de la fréquence propre. Alors dans ce cas il y aurait deux modes propres de la structure identifiés qui auraient une baisse de fréquence. Cette baisse serait estimée entre 2.7 et 5.9 % pour le premier mode. Pour le second mode elle serait comprise entre 1.7 et 6 %. Or ces changements de fréquences ne sauraient en elles mêmes assurer un endommagement. En effet selon Creed(1987) de telles variations (inférieurs à 5 %) ne permettent pas conclure sur un quelconque endommagement. De plus Wahab et De Roek (1997) ont démontré qu’un changement de température (de l’ordre de 15 °C) peut entraîner une baisse de fréquence entre 4 et 5 % (cependant en tunnel la température est constante pendant toute l’année). Enfin ces changements de fréquences ne peuvent ne pas être dues seulement à un endommagement mais pourraient également être dues à des changements de conditions aux limites. Comme expliqué en introduction, nous ne sommes pas sûrs que les travaux avoisinants n’engendrent pas de phénomènes de convergences du tunnel qui pourraient encastrer la dalle de ventilation.
Cette première analyse sur une voie d’un capteur possède des limites trop importantes pour pouvoir conclure sur un quelconque endommagement. C’est pourquoi nous développons par la suite une analyse multi-capteurs.
Analyse multi-capteurs
Dans le chapitre précédent nous avons essayé d’analyser le signal selon le point de vue d’un capteur. Nous n’avons pas pu conclure sur un quelconque endommagement de la structure. De plus l’analyse sur un capteur nous prive d’une donnée importante à savoir les déformées modales.
L’objectif de cette partie est d’analyser la poutre par les données de plusieurs capteurs. Tout d’abord nous allons analyser les données de la campagne 2017 selon la méthode de Prony et par frequency domain decomposition (FDD). Puis nous analyserons les données de 2019 (Nous nous intéressons seulement à la poutre située au point métrique 200).
Campagne de 2017
Méthode de Prony multi-capteurs
La modélisation de Prony s’applique à un seul signal. L’idée de cette méthode est de recueillir tous les modes de tous les capteurs et de retrouver les modes communs à plusieurs capteurs.
De cette manière nous sommes censés obtenir les déformées de la structure en retenant les amplitudes des modes communs aux différents capteurs. Cependant en pratique les déformées obtenues ne sont pas vraisemblables. Cela peut provenir de la façon dont est résolu le système de
Vandermonde pour retrouver les amplitudes. En effet les différents systèmes à résoudre diffèrent selon les capteurs et les ordres de grandeur des amplitudes ne sont donc pas forcément les mêmes. Cependant les résultats de cette méthode pour les fréquences semble assez cohérent.
Nous intéressons seulement aux données des voies verticales des capteurs ainsi nous ne pourrons pas avoir accès aux modes en compression et aux modes hors plan. L’intérêt de cette méthode est d’éliminer les ’faux modes’ dus au modèle de Prony.
Frequency Domain Decomposition
La longueur des signaux est d’un million de points. La longueur du fenêtrage utilisé est donc de 216 = 65536 points. Comme expliqué dans la partie deux on calcule la matrice de densité spectrale puis on effectue la décomposition en valeurs singulières. Nous ne relèverons pas la valeur des amortissements par EFDD car ceux-ci paraissent faux pour les modes propres estimés(amortissements faibles). Nous effectuons comme pour l’analyse d’un capteur un ’peak
Analyse multi-capteurs
picking’ des principales fréquences propres avec un pas de deux hertz (sélection d’un maximum local tous les 2 Hertz). Puis nous trions ces maximums par amplitudes décroissantes. Les fréquences propres obtenues sont 14.78, 0.73, 9.30, 11.30, 142.45 et 145.18 hertz (classée par amplitude de densité spectrale de puissance). On peut d’ores et déjà éliminer la fréquence à 0.73 Hertz qui est trop faible pour notre structure compte tenu de notre modèle analytique.
L’avantage de la FDD est qu’elle permet de récupérer les déformées pour chaque fréquence propre selon les directions L, T et V. On va donc analyser les déformées de chaque fréquence propre séparément.
On rappelle que la déformée correspond à la déformée d’une des deux poutres bétons constituant la structure décrite en partie 1. En rouge il s’agit du déplacement vertical, en bleu le déplacement horizontal et en vert le déplacement hors plan. Cependant le déplacement horizontal ne correspond pas à ce que l’on est censé obtenir pour le premier mode la structure. Il se peut que l’on soit proche du premier mode en fréquence. Si on se place à 8.78 Hertz (la fréquence propre obtenue par la méthode de Prony d’ordre 400) on obtient la déformée de la figure 2.1. Ce qui correspond exactement à ce l’on est censé trouver (petit déplacement horizontal négatif et grands déplacements verticaux : résultat du modèle numérique de la structure sur deux appuis simples). De plus l’amortissement de ce mode obtenu par méthode de Prony est dans le bon ordre de grandeur que l’on est censé trouver (4.93 %). Toutes ces informations démontrent que ce mode correspond au premier mode de la structure. Analytiquement ce mode avait été estimé à 7.44 hz.
Fréquence de 11.30 Hertz
Première remarque ce mode est proche en fréquence d’un mode estimée par la méthode de Prony d’ordre 400. Avec la méthode de Prony nous avions trouvé une fréquence de 11 Hz soit un écart relatif de 2.5 % entre les deux méthodes. De plus la déformée ressemble fortement à ce que l’on est censé obtenir pour la déformée du deuxième mode analytiquement. De plus pour la fréquence à 11 Hz selon la méthode de Prony, le coefficient d’amortissement est de 3.37 %. Ce qui est tout à fait plausible pour une structure de génie civil. Ainsi la combinaison des informations de la méthode de Prony et de la déformée obtenue par FDD permet d’affirmer qu’il s’agit du second mode. On rappelle que analytiquement et numériquement nous avions trouvé un mode à 11.44 Hertz.
En observant la déformée on remarque qu’il n’y a pas de déformations verticales (pas de tracé rouge). Il y a seulement du déplacement selon la direction transversale et la direction hors plan. Compte-tenu de la valeur du déplacement transversal (déplacement horizontal au noeud) de la poutre on suppose qu’il s’agit d’un mode en compression estimé analytiquement et numériquement. Nous ne le retrouvons pas par modèle de Prony puisque le modèle de Prony calcule les modes en fonction des données des voies verticales. Il n’est pas possible de trouver numériquement une solution au système de Vandermonde pour les modes horizontaux car les valeurs numériques du signal sont trop faible (peu de déplacement selon u). La déformée et l’ordre de grandeur de la fréquence propre de ce mode permettent de conclure qu’il s’agit d’un mode en compression.
Conclusion campagne 2017 et critiques
Les résultats en tant que tels des traitements de signaux sont difficilement interprétables.
En effet à première vue nous obtenons des fréquences extrêmement faibles (autour de 0.8 hertz) qui, sans la modélisation analytique, auraient pus être conservées. La méthode de Prony permet également de discriminer ce mode à faible fréquence car il possède un amortissement trop élevé (30%). Ensuite le modèle analytique permet d’avoir un ordre de grandeur des résultats que nous sommes censés trouver pour les différents modes. Néanmoins, la méthode de Prony seule nous prive d’une information importante à savoir les déformées. Or elles sont primordiales pour la détermination des modes. La méthode de Prony constitue par contre un bon complément de vérification des modes obtenus par FDD. Tout comme la modélisation analytique de la structure permet une interprétation des résultats obtenus par FDD. Les différences entre les différentes et 5.5 %. Des résultats proches pour deux méhodes différentes sont rassurants.
Grâce à la connaissance du modèle analytique (et numérique) de la structure, des données issues de la méthode de Prony et de la FDD nous avons pu déterminer opérationnellement les trois premiers modes et le premier mode en compression de la structure en 2017. Cependant on remarque tout de même une cinématique hors plan qui ne peut être décelée que par FDD. Le modèle analytique ne prévoyait pas de tels modes du fait des hypothèses liées à celui-ci.
Campagne de 2019
A l’instar de la section 7.1, l’objectif de cette partie est dédiée à la compréhension de la dynamique de la structure en 2019. Par souci d’efficacité nous n’analyserons qu’un ordre par modèle de Prony à savoir l’ordre 400. Puis nous effectuerons un traitement du signal par FDD.
Comme précédemment nous essayerons de dégager les modes principaux de la structure tout en évaluant les résultats des différents modèles. Enfin nous comparerons les résultats de l’analyse 2017 à ceux de l’analyse de 2019 de façon à conclure sur un quelconque endommagement de la structure dû aux travaux réalisés entre 2017 et 2019 dans le tunnel (creusement d’un rameau de raccordement à la galerie de sécurité).
Méthode de Prony d’ordre 400
Nous conservons la même méthode que celle explicitée en 7.1.1. Nous ne calculons qu’un ordre 400 car nous avions vu précédemment qu’il permettait d’avoir des résultats plus cohérent avec ceux de la FDD et également car il détectait plus de modes que des ordres moins élevés.
Les modes relevés sont répertoriés dans le tableau qui suit.
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Table des matières
Introduction
I Modélisation dynamique de la structure
1 Modèle dynamique de poutre de flexion
1.1 Hypothèses
1.1.1 Hypothèses liées au modèle
1.1.2 Caractéristiques géométriques et mécaniques des poutres
1.2 Résolution des équations
1.2.1 Présentation des équations
1.2.2 Détermination de u
1.2.3 détermination de v
1.2.4 Comparaison des longueurs d’ondes
1.3 Détermination des matrices élasto-dynamiques
1.3.1 Présentation
1.3.2 Mise en équation
1.3.3 Extraction des matrices
2 Modélisation de la dalle de ventilation par modèle de poutre de flexion
2.1 Modèle appui simple et encastrement
2.1.1 Présentation du modèle à deux appuis et un encastrement
2.1.2 Équilibre aux noeuds et équation aux valeurs propres
2.1.3 Détermination des modes propres
2.1.4 Comparaison avec un modèle numérique
2.2 Modèle à trois encastrements
2.2.1 Conditions aux limites et équilibres noeuds
2.2.2 Cinématique par rapport à vM
2.2.3 Cinématique par rapport à uM, M
2.3 Limites du modèle et conclusion partielle
2.3.1 Critique 1
2.3.2 Critique 2
2.3.3 Critique 3
2.3.4 Conclusion partielle
II Analyse Modale Opérationnelle
3 Revue des principales techniques d’analyse modale opérationnelle
3.1 OMA dans le domaine temporel
3.1.1 Natural Excitation Technique (Next)
3.1.2 Procédures auto-régressives(AR) et auto-régressives à moyennes mobiles (ARMA)
3.1.3 Méthode du décrément aléatoire
3.2 OMA dans le domaine fréquentiel
3.2.1 Le ’Peak Picking’ ou relevé de pics
3.2.2 La Frequency Domain Decomposition (FDD)
4 Application de la frequency domain decomposition (FDD)
4.1 Peak Picking appliqué à un cas d’étude simple
4.1.1 Périodogramme de la fonction test
4.1.2 Corrélogramme de la fonction test
4.1.3 Périodogramme lissé ou de Welch
4.2 Frequency Domain Decomposition appliquée au cas d’étude
4.3 Ehanced Frequency Domain Decomposition
5 Application de procédures auto-régressive (AR) et auto-régressive à moyenne mobile(ARMA) pour la détection de modes propres
5.1 Exemple d’utilisation de modèle AR et ARMA
5.1.1 Exemple d’utilisation modèle AR
5.1.2 Exemple d’utilisation d’un modèle ARMA
5.2 Procédure AR appliquée au cas d’étude
5.2.1 Récupération des paramètres AR et identification des modes par diagramme de comparaison
5.2.2 Utilisation de la FDD sur les paramètres AR pour récupérer les modes de la structure
5.2.3 Modélisation auto-régressive appliquée à la transformée de Fourier inverse
de la première valeur singulière
5.2.4 Modèle de Prony moindres carrés
III Analyse modale opérationnelle appliquée à la dalle de ventilation du tunnel du Siaix
6 Analyse d’un capteur
6.1 Campagne de 2017
6.1.1 Périodogramme de Welch
6.1.2 Modélisation AR-Prony
6.1.3 Différences entre les méthodes d’estimations des fréquences propres
6.2 Campagne de 2019
6.2.1 Périodogramme de Welch
6.2.2 Modèle AR-Prony campagne 2019
6.2.3 Comparaison des résultats sur les 2 campagnes de mesures par rapport à un capteur
7 Analyse multi-capteurs
7.1 Campagne de 2017
7.1.1 Méthode de Prony multi-capteurs
7.1.2 ordre 300
7.1.3 ordre 400
7.1.4 Frequency Domain Decomposition
7.1.5 Conclusion campagne 2017 et critiques
7.2 Campagne de 2019
7.2.1 Méthode de Prony d’ordre 400
7.2.2 FDD appliqué à la campagne de 2019
7.2.3 Conclusion campagne 2019 et critiques
Conclusion
Bibliographie
Annexes
Liste des Programmes
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