ANALYSE MULTIFRACTALE DE DONNEES DE PRECIPITATIONS A HAUTE RESOLUTION SPATIALE ET TEMPORELLE

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Cadre de l’étude

Le présent travail se positionne sur la thématique de la modélisation statistique des précipitations à la méso-échelle. L’étude porte àal fois sur la variabilité spatiale et temporelle de la pluie, et utilise des jeux de données originaux et haute résolution disponibles au LATMOS (Laboratoire Océan Atmosphère Observations Spatiales) et représentatifs de plusieurs climats. Plus particulièrement, nous nous intéresserons aux mesures d’un radar météorologique, le RONSARD, ayant fonctionné en 2006 au Bénin durant la mousson ouest-africaine. Nous étudierons aussi des mesures effectuées au sol à Palaiseau à l’aide d’un instrument spécifique fournissant des données à très haute résolution temporelle (inférieure à la minute).
On se propose dans cette étude de quantifier certaines propriétés statistiques de la pluie et de vérifier l’adéquation d’une représentation stochastique particulière aux propriétés empirique. Le modèle mathématique choisi relève des « cascadesmultiplicatives », dont le principe est basé sur la construction itérative d’un champ par une suite de modulations aléatoires de résolution croissante. Cette suite de modulations est par construction autosimilaire et fait apparaître des propriétés fractales. Plus précisément, les symétries statistiques du modèle peuvent être associées à une infinité d’objets fractals aléatoires sous-jacents: on parle de propriétés « multifractales ». Les modèles de cascades multiplicatives apparaissent comme des candidats rationnels pour la modélisation de lapluie pour plusieurs raisons. Tout d’abord, ces modèles sont issus de la mécanique statistiquede la turbulence et des champs passifs advectés où ils jouent un rôle important. D’autre part, il a été prouvé empiriquement que ces modèles sont adaptés à la modélisation de la variabil té de nombreux champs géophysiques (vent, nuages, polluants, topographie). Ces modèles présentent en outre l’avantage de prendre en compte explicitement les relations statistiques entre les échelles et sont susceptibles de générer des extrema très intenses. Dans le cadre de cette thèse effectuée au LATMOS, nous étudions donc les propriétés statistiques de la pluie en nous appuyant sur les outils liés au formalisme des cascades multiplicatives et des champs « multifractals ».

But de la thèse

Les travaux présentés dans ce manuscrit visent à améliorer la connaissance des propriétés statistiques des précipitations à la méso-échelle teà la sub-mésoéchelle et à faire ressortir l’existence et la portée de symétries multifractales des processus précipitants dans ces gammes d’échelles. Ce travail a pour ambition de recenser et de caractériser les gammes d’échelles spatiales et temporelles qui vérifient des lois statistiques remarquables.
Par rapport aux résultats existants, nous souhaitons améliorer l’adéquation du modèle des cascades multifractales à la description des précipitations en analysant les données haute résolution disponibles au LATMOS, lesquelles offrent une information précieuse relative à la variabilité sub-mésoéchelle pour laquelle peu de sultatsré relatifs au symétries d’échelle (scaling) sont disponibles dans la littérature. Nous nous proposons aussi de prendre en compte l’intermittence du phénomène précipitant (pluie ouabsence de pluie) plus explicitement dans le modèle.
Enfin, nous montrerons que l’existence de ces propriétés peut impacter des domaines plus « appliqués » : en particulier, la multifractalité peut faire émerger des comportements inattendus quant à la distribution des valeurs extr êmes de la pluie. Nous expliquerons également comment les outils de simulation de champsmultifractals peuvent être appliqués à la désagrégation de champs précipitants.

Plan de la thèse

Le chapitre 2 consiste en un état de l’art non technique recensant l’évolution de l’application des modèles fractals en modélisation statistique dela turbulence et de la pluie.
Le chapitre 3 offre une présentation détaillée duormalismef théorique des multifractals utilisé dans le cadre de cette étude.
Dans le chapitre 4, nous exposons succinctement une méthodologie d’analyse de champs permettant de démontrer et de caractériser l’existence de propriétés multifractales.
Le chapitre 5 présente le résultat de l’applicationde ces techniques aux jeux de données disponibles au LATMOS, ainsi qu’une interprétation statistique et physique. En particulier, nous montrons que les techniques usuelles des techniques usuelles du chapitre 4 peuvent conduire à des résultats erronés lorsque les champs étudiés contiennent une très grande proportion de valeurs nulles (ce qui est le cas de la pluie). Nous proposons une nouvelle paramétrisation multifractale en considérant des événements de pluie continus non assujettis à ce phénomène.
Dans le chapitre 6, nous étudions la sensibilité des techniques du chapitre 4 aux valeurs nulles au moyen de simulations et de calculs théoriques. Entre autres, nous proposons un modèle mathématique permettant d’estimer les erreurs de paramétrisation.
Les applications de la multifractalité à la désagrégation de champs et à la représentation des valeurs extrêmes font l’objet du chapitre 7.
Le chapitre 8 présente les conclusions du travail.

L’atmosphère comme système complexe

L’évolution de l’état de l’atmosphère est caractérisée par le couplage d’un grand nombre de processus complexes couvrant une très large gamme d’échelles. De façon générale, l’atmosphère présente un certain nombre de propriéts rappelant la structure typique d’un système complexe:
– son état évolue du fait de très nombreux processuset entités en interaction.
– les équations d’évolution de ces processus contiennent des termes non linéaires.
– l’hypothèse isotrope n’est pas toujours valide (ne serait-ce qu’en raison de l’action de la force de gravité et de la force de Coriolis, etdes conditions aux limites).
– les processus impliqués se développent sur une vaste gamme d’échelles, s’étendant des échelles synoptiques aux échelles (sub-)millimétriques.
– le comportement de ces systèmes est chaotique, malgré la connaissance d’équations déterministes locales. Notamment, il est bien connu depuis les travaux de Lorenz (1963) que même un système d’équations différentielles simples peut définir un comportement chaotique, à cause de la forte sensibi lité de son évolution aux perturbations sur les conditions initiales à petite échelle.
– les processus impliqués dans ces systèmes présententdes niveaux d’organisation hiérarchiques à différentes échelles (synoptique, méso-échelle, etc.). Il existe de plus des interactions entre les différentes échelles.
Pour caractériser la complexité du système atmosphérique, il est souhaitable d’estimer l’ordre de grandeur de son nombre de degrés de liberté (Schertzer & Lovejoy, 1991). Considérons donc une atmosphère académique de taille (en ordrede grandeur) 10000 km x 10000 km x 10 km. Dans cette atmosphère, des processus d’écoulements à très haut nombre de Reynolds vont définir des cascades turbulentes d’énergie qui vontse dissiper à des échelles inférieures au millimètre. Nous pouvons donc considérer comme un degré de liberté chaque boîte élémentaire de volume 1 mm contenue dans notre atmosphère. Le calcul du nombre de ces boîtes donne 1010 x 1010 x 107 = 1027. Soit évidemment un nombre gigantesque, supérieur même au nombre d’Avogadro qui représente pourtantéjàd un ordre de grandeur de l’ « infini en physique ». Le caractère chaotique de l’atmosphère apparaît à cause de ce nombre quasi-infini de degrés de liberté.

Conséquences sur la modélisation numérique

L’approche numérique est évidemment d’une importance fondamentale pour la prédiction de l’évolution de l’état de l’atmosphère. Cette approche nécessite entre autres de discrétiser sur une grille les équations différentielles régissantla dynamique atmosphérique. Pourtant, cette approche, ne représente pas à elle seule une résolution exhaustive du système atmosphérique, et ce pour deux raisons principales :
1. Les conditions initiales du modèle sont toujours insuffisamment connues pour effectuer une prédiction déterministe rigoureuse de l’évolution dusystème (qui est chaotique). C’est dans le but d’améliorer la connaissance de cette information qu’ont été développées des procédures d’assimilation de données, qui ont pour but d’inclure l’information issue des observations pour corriger l’évolution du modèle numérique. Pourune description des techniques et du vocabulaire de l’assimilation, il est possible de se référer à (Talagrand, 1997).
2. Pour des raisons de temps de calcul, la maille des grilles des modèles numériques globaux, qui est de l’ordre de quelques dizaines de km, est beaucoup plus grande que l’échelle de dissipation des cascades turbulentes (moins d’un mm). Il en résulte une inadéquation dans la représentation de la diffusion qui peut faire diverger le modèle. Des techniques de paramétrisation ont été proposées pour tenter demliter ce défaut – cf. (Sadourny & Maynard, 1995) pour une revue concernant la diffusion horizontale. De plus, la taille forcément grossière de la maille induit une « troncature d’échelle » qui implique un filtrage passe-bas très sélectif sur les résolutions. Ce filtrage estdoublement gênant car d’une part la représentation des événements météorologiques extrêmes et très localisés devient problématique, et d’autre part les effets des petites échelles sur les grandes échelles ne sont pas pris en compte. Surtout, ce filtrage réduit artificiellement le nombre de degrés de liberté, qui peut être approximé par le nombre de mailles dumodèle. Ce dernier peut être estimé, pour un modèle global possédant une résolution horizontale de 3x (kilomètres) et Nz niveaux sur la verticale, par la formule suivante : N = 20000 2 × N z (Eq. 2.1).
Pour les modèles de circulation générale,3x est de l’ordre de 10 à 100 km environ et Nz est de l’ordre de 25 à 100. Par conséquent, le nombre de degrés de liberté que peut représenter le modèle est très fortement réduit N: passe de 1027 à 10 6 – 108. Il en résulte nécessairement que le modèle ne peut reproduire toute la complexité du système et notamment certaines conséquences non triviales sur son évolution et surà l’apparition des événements extrêmes.
Si nous prenons l’exemple du modèle numérique globa – l’un des plus performants au monde à l’heure actuelle – du centre météorologique européen de Reading (ECMWF), ce modèle a une résolution de 16 km et 91 niveaux sur la verticale, ce qui donne un nombre de mailles voisin de 108. Ce chiffre peut être comparé avec la taille du vecteur d’état du modèle (1.5 x 109) qui est un peu plus grand du fait que plusieurs grandeurs physiques sont considérées en chaque point. Il est à noter que si l’assimilation de données aide à déterminer des conditions initiales plus réalistes et plus précise, elle ne eutp résoudre ce problème de filtrage de la complexité. En effet, la plus grande partie des observations assimilées sont satellitaires et leur nombre est d’environ 25 millions par jour en 2010 (cours O. Talagrand, LMD/ENS, 2011), ce qui est déjà considérable et pourtant très réduitneregard des ordres de grandeur représentatifs de la complexité atmosphérique.
Il est donc clair que la modélisation numérique prise isolément ne permet pas la résolution exhaustive de la dynamique et de la physique du système atmosphérique. Actuellement, il est possible d’effectuer une résolution numérique plusfine à l’échelle régionale en faisant tourner un modèle régional conditionné aux limites de son omained par les sorties d’un modèle global basse résolution. C’est le principe du « downscaling dynamique » qui permet d’augmenter localement la résolution par emboîtement de modèleset de prendre en compte certaines contraintes particulières (relief…). Néanmoins, cette approche, couramment utilisée par les modélisateurs, peut être difficile à implémenter etcoûteuse en temps de calcul. Surtout, elle ne permet pas un gain de résolution important (les modèles régionaux ne descendent pas en dessous de ~ 10 km). D’autres procédés, souvent qualifiés de « downscaling statistique », visent à prévoir certaines propriétés statistiquesà fine résolution à partir des sorties d’un modèle global à basse résolution. Des approches très diverses ont été considérées (e.g., Michelangeli, 2009) mais leur justification physique reste souvent floue. La difficulté empirique réside dans le fait que les grandeurs statistiques classiques sont très dépendantes de la résolution en géophysique (par exemple, la variance d’un champ change avec l’échelle à laquelle on la calcule). Les liens entre échelles et statistiques pourraient alors apparaître à première vue comme extrêmement difficiles à décrire.Cependant, l’étude de ces liens dans un formalisme adapté pourrait bien receler la clé d’une réduction de la complexité du système atmosphérique. Comme nous allons maintenant le voir, la dynamique atmosphérique fait émerger (au moins dans certaines gammes d’échelles)des symétries statistiques remarquables reliant les échelles entre elles.

Lois d’échelle pour les scalaires passifs

Considérons maintenant un champ de vitesse turbulen vérifiant une loi de type Kolmogorov (avec un flux d’énergie homogène). Supposons que l’on y ait distribué initialement un traceur (scalaire) passif, c’est-à-dire un ensemble de part icules supposées infiniment légères et n’agissant pas sur l’écoulement. Comment ce traceur est-il advecté par l’écoulement ? Il apparaît que les propriétés du traceur vont dépendrnon seulement de l’écoulement, mais aussi des propriétés de sa concentration notée1. Corrsin (1951) et Obukhov (1949) ont montré que cette concentration suit également une oil d’échelle, plus compliquée en ce sens qu’elle fait intervenir un second flux transmis vers les petites échelles : .d Δρl = χ 1 / 2ε −1 / 6 l1 / 3 (Eq. 2.7).
où χ est un flux de variance de concentration du traceur, supposé homogène : χ = − ∂ ρ 2 (Eq. 2.8).
En particulier, le spectre de puissance de la concentration doit vérifier une loi enk -5/3.
Si les flux d’énergie et de variance de concentration sont supposés inhomogènes, une loi « scalante » reste valable (mais la pente spectrale peut changer légèrement) :
d Δρl = χl 1 / 2ε l −1 / 6 l1 / 3 (Eq. 2.9).

La pluie suit-elle des lois de type Kolmogorov-Obukhov-Corrsin (KOC)?

En revanche, les gouttes de pluie ne peuvent pas être considérées comme des scalaires passifs. En effet, les gouttes présentent une inertie bien trop importante et sont fortement sujettes à l’influence de la force de gravitation. De plus, les gouttes interagissent entre elles par des mécanismes de collision, de coalescence et de breakup. Néanmoins, on peut s’attendre à ce que ces effets s’exercent principalement aux petites échelles. Aux grandes échelles, le taux précipitant dépend principalement de la concentration d’eau liquide et de la vitesse verticale du vent. La concentration d’eau liquide suit-elle une loi fractale à ces échelles ?
Des travaux récents (Lovejoy & Schertzer, 2008) répondent par l’affirmative à cette question. En utilisant des données 3D de positions et de masse de gouttes collectées à très petite échelle (volume de 10m3) au cours de quelques orages (expérience HYDROP, Desaulniers-Soucy et al., 2001), ces auteurs ont montré empiriquement que la masse volumique d’eau liquide ρ.

Interprétation en termes de fractals et de multifractals

Les lois d’autosimilarité évoquées ci-dessus constituent une variante « statistique » de la théorie des objets fractals, décrits notamment par(Mandelbrot, 1983). Ces objets présentent génériquement des propriétés d’invariance par zoom,telles qu’une ou plusieurs portions de l’objet ressemblent (à une contraction près) à l’ob jet entier. Néanmoins, le cas des champs de turbulence modélisés via des « cascades multiplicatives » diffère de la géométrie fractale dans la mesure où ce sont ici de véritables champs, d’intensité variable, et non de simples ensembles géométriques, qui présentent ces symétrieremarquables. La modélisation des champs aléatoires produits par des cascades multiplicatives peut alors se faire dans un cadre
« multifractal » pour lequel toute une hiérarchie d’objets fractals intervient, chaque objet étant associé à un niveau d’intensité du champ. Ces outils peuvent servir à modéliser des processus et champs extrêmement variables présentant notammen des spectres d’énergie et des fonctions d’autocorrélation en loi puissance mais aussi des propriétés remarquables pour des statistiques de tout ordre. Dès la fin des années 80, les processus (mono)fractals et multifractals sont ainsi apparus comme très pertinents voire incontournables pour une représentation stochastique multi-échelle de la turbulence ainsi que le montre la revue de (Sreenivasan, 1991), et semblent également fournir un outil très performant de caractérisation de la dynamique atmosphérique (Lovejoy et al., 2008 b,c,d; Lovejoy & Schertzer, 2010). D’après un vaste ensemble de résultats empiriques, la fractalité et la multifractalité sont omniprésents en géophysique, notamment, les champs« advectés » semblent vérifier ces propriétés : température (Schmitt et al., 1996), nuages (Tessier et al., 1993), polluants (Lilley et al., 2004), ou, en océanographie, la concentration de chlorophylle (Seuront et al., 1996) .

Preuves empiriques des propriétés de « scaling» de la pluie

Des fractals aux multifractals

Les premiers résultats empiriques prouvant l’existence de propriétés d’invariance d’échelle pour la pluie ont été établis dans un cadre monofractal. En particulier, plusieurs études (Lovejoy, 1981 ; 1982 ; Rhys & Waldvogel, 1986) ont montré que l’aire A et le périmètreP des régions précipitantes observées par radar (etesd nuages) étaient reliés par une loi de type fractale : P ∝ A1 / D f . D f est une « dimension fractale » non entière (qui étend la relation habituelle de la géométrie « classique » P ∝ A1 / 2 ) caractérisant la structure complexe et irrégulière de ces structures d’un point de vue multi-échelle. Des modèles monofractals stochastiques de pluie ont alors été proposés (Lovejoy & Mandelbrot, 1985, Lovejoy & Schertzer, 1985) pour tenter de reproduire les caractéristiques multi-échelle de la pluie. Dans le domaine temporel, le caractère fractal et autosimilaire des processus de pluie a été suggéré par la mise en évidence de spectres d’énergie suivant des lois puissances décroissantes dans une ou plusieurs gammes d’échelles (Crane, 1990 ; Fraedrich & Lardner, 1993 ; Fabry ; 1996). Par la suite, les scientifiques ont abandonné l’hypothèse restrictive de monofractalité pour se tourner vers des modèles multifractals. Différents modèles multifractals de pluie ont été proposés dans la littérature (Schertzer & Lovejoy, 1987 ; Gupta & Waymire, 1990 ; Over & Gupta, 1996 ; Veneziano et al., 1996 ; Schmitt et al., 1998 ; Deidda et al., 1999 ; Deidda, 2000 ; Gunter & Olsson, 2001 ; Paulson & Baxter, 2007; Rupp et al., 2009). Ces modèles partagent un certain nombre de caractéristiques communes et sont basés sur la phénoménologie des cascades multiplicatives. Nous llonsa maintenant décrire rapidement quelques résultats empiriques démontrant la validité de ces approches pour la pluie.

Multifractalité de la pluie : résultats empiriques

De nombreuses études de données de précipitations nto confirmé la validité de l’approche multifractale pour la représentation de la variabilité spatiale et temporelle de la pluie. Les premiers résultats ont été obtenus (à méso-échelle)par l’analyse multifractale (dans le domaine spatial) de cartes radar de réflectivité oude taux précipitant (Schertzer & Lovejoy, 1987 ; Lovejoy & Schertzer, 1990 ; Gupta & Waymire, 1990 ; 1993 ; Tessier et al., 1993) et ont été confirmés par la suite (Macor et al., 2007;Gires et al., 2010). La caractérisation de la variabilité spatiale a pu être affinée et étenduedesà gammes d’échelles plus larges que celles accessibles à un radar sol au moyen des radars de p récipitation satellitaires (Lovejoy et al., 2008 ; Sun & Barros, 2010). En particulier, Lovejoy et al. (2008) ont montré que les statistiques des réflectivités du radar du satellit TRMM obéissaient à des lois multifractales valables entre les échelles planétaires (20000 km)et la sub-mésoéchelle (~ quelques dizaines de km). Des résultats complémentaires, à des échelles spatiales plus réduites, ont été obtenus à l’aide d’autres types de mesures : lidars (Mandapak a et al., 2009) ou stéréophotographie dans un volume réduit (Lilley et al., 2006).
D’autre part, l’analyse multifractale de séries chronologiques de précipitations mesurées au moyen de pluviomètres a donné lieu à une large littérature, entre autres (Ladoy et al., 1993 ; Tessier et al., 1993 ; Svensson et al., 1996 ; Olsson & Niemczynowicz, 1996, Harris et al., 1996 ; Schmitt et al., 1998 ; de Lima & Grasman, 1999 ; Pathirana et al., 2004 ; de Montera et al., 2009) (voir aussi le tableau au début du chapitre 5). Dans le domaine temporel, la ou les gammes d’échelles où existent des propriétés multifractales se situent généralement à petite échelle (au plus quelques jours ou quelques semaines). En effet, au-delà d’une échelle allant de deux semaines à un mois, le spectre de la pluie est (presque) plat : on est alors dans un régime de « bruit météorologique » (Fraedrich & Larnder, 1993). Une telle décorrélation apparaît comme assez logique car ces échelles temporelles impliquées correspondraient à des échelles spatiales plus grandes que la demi-circonférence du globe. Au contraire, à petite échelle, le spectre de la pluie semble présenter unou plusieurs régimes en loi puissance (Fraedrich & Lardner, 1993 ; Fabry , 1996) qui sont parfaitement compatibles avec les prédictions des modèles fractals ou multifractals.
Enfin, d’autres études complètent les précédentesnecherchant à caractériser la multifractalité de la pluie à la fois en espace et en temps notamme nt à partir de données radar (Pavlopoulos et al., 1998 ; Deidda et al., 1999 ; Deidda, 2000).

La multifractalité « universelle »

Parmi les différents modèles multifractals considérés pour la pluie, certaines représentations stochastiques bénéficient d’une justification mathématique fondée sur la continuité des échelles (Schertzer & Lovejoy, 1997). Entre autres,le modèle log-Poisson et le modèle log-beta qui vérifient ces contraintes ont été appliqués pour l’étude des précipitations (Deidda, 2000 ; Paulson & Baxter, 2007). Toutefois, c’est sans doute le modèle dit des « multifractales universelles » (Schertzer & Lovejoy, 1987 ; 1991) est celui qui a été confirmé empiriquement de la façon la plus convaincante. (cf. notamment le s références Lovejoy et al. ; Tessier et al. ci-dessus). Ce modèle est dit universel car les générateurs stochastiques qui lui sont sous-jacents constituent une classe d’attracteurs parmi les différents générateurs possibles. Nous reviendrons sur ce point dans le chapitre suivant. D’autre part, il est paramétré par un jeu réduit d’exposants fondamentaux (au plus 3). Enfin, un certain nombre d’évolutions intéressantes s’inscrivent assez aisément dans ce modèle. En particulier, il est possible d’inclure des effets de stratification et de rotation (Schertzer & Lovejoy, 1985) ainsi qu’une dynamique temporelle causale (Marsan et al., 1996). Notamment, cette dernière conduit à des propriétés scalantes espace-temps intéressantes pour l’étude de la prédictibilité de la pluie, en définissant sans ambiguïté la durée de vie des structures de pluie imbriquées en fonction de leur extension spatiale. Potentiellement, l’existence espace-temps pourrait même fournir un cadre permettant de définir une approche de prévision stochastique à très court terme (Macor, 2007 ; Macor et al., 2007).

Multifractalité et pluie : problématiques à résoudre

Malgré son succès, l’application de l’approche multifractale pour la pluie reste encore un sujet très ouvert tant du point de vue de la modélisation mathématique que de celui des applications. Durant mon travail bibliographique (voir notamment l’état de l’art, plus technique, au début du chapitre 5), j’ai pu remarquer que la littérature existante, bien que constituée d’un corpus déjà assez vaste, présentaitencore des zones d’ombre. J’ai donc cherché à orienter mon travail de thèse de façon à pouvoir apporter des réponses ou du moins des pistes vis-à-vis des points suivants :
• Le lien entre la physique et les propriétés multifractales de la pluie est un point très délicat qui reste encore à clarifier. Bien qu’il paraisse très vraisemblable que les propriétés multi-échelle de la pluie soient une conséquence de celles de la turbulence qui sont caractérisées par la loi de Kolmogorov, iln’existe pas pour l’instant de formalisation mathématique rigoureuse des champs précipitants du point de vue de la physique statistique. Les travaux de Lovejoy et al. (2008) établissant l’existence de lois d’échelle pour le nombre de gouttes et la masse volumique constituent une avancée importante sur cette question, mais l’existence de lois d’échelle pour le taux précipitant (qui dépend également de la vitesse verticale des gouttes) reste à démontrer d’un point de vue théorique.
• Les paramètres multifractals de la pluie sont très différents de ceux estimés pour la turbulence. En particulier, l’un de ces paramètres (universels), noté H, est fondamentalement lié à la physique car les lois de Kolmogorov et de Corrsin-Obukhov imposent la valeur de ce paramètre : Δv ∝ l H et H = 1/3. Or dans le cas de la pluie, et contrairement à celui du vent ou des polluants (qui sont des traceurs passifs), la plupart des études concluent à H = 0 (Lovejoy & Schertzer, 2010). Il semblerait que ce soit un résultat contradictoire car le choix d’une approche multifractale pour la pluie était fondé sur le conditionnement de ses propriétés multi-échelle par l’advection turbulente.
• Les résultats obtenus dans les études existantes sont généralement si différents dans le domaine temporel et dans le domaine spatial (Lovejoy & Schertzer, 1995) qu’il paraît difficile de pouvoir proposer une approche unifiée de cascades multifractales spatio-temporelles- on pourra cependant se référer à (Biaou, 2004) pour un exemple d’étude couvrant simultanément les domaines spatialet temporel.
• La majorité des études effectuées dans le domaineemporelt n’explorent pas les fines échelles, i.e. de l’ordre de la minute ou de quelques dizaines de minutes, en raison d’une résolution instrumentale insuffisante (voir le Tableau 5.1 dans le chapitre 5 de cette thèse pour une revue détaillée). Cette imitationl pourrait en outre être accentuée par le fait que les pluviomètres à auget basculant peuvent donner des résultats biaisés aux fines échelles (< 15 min) enraison même du principe de la bascule (Habib et al., 2001). Ces limitations posent problème : ces fines échelles sont en effet intéressantes car ce sont elles qui correspondent à la variabilité interne aux événements de pluie dont la durée typique, bien quevariable suivant le climat, est de l’ordre d’une heure.
• La grande majorité des études existantes ne cherchent pas à distinguer les contributions respectives de chacun des deux aspects de la variabilité des précipitations, à savoir leur processus d’occurrence (présence ou absence de pluie) et la variabilité des intensités à l’intérieur des événements. Cette problématique commence à focaliser l’attention des chercheurs (Mo lini et al., 2009 ; de Montera et al., 2009) car elle est liée au fait que les modèles multiplicatifs qui produisent des champs multifractals sont, à moins de modifications appropriées (Over & Gupta, 1996), assez mal adaptés à la construction de champs présentant une écrasante majorité de zéros, ce qui est le cas de la pluie.
• Sous certaines hypothèses, les modèles de cascades multiplicatives prédisent des queues de distribution hyperbolique de probabilité en x −qD où qD est un exposant critique lié aux paramètres du modèle (plus de détails théoriques sont données dans le paragraphe 3.6). Ces queues de distribution « multifractales » sont associées à un temps de retour nettement plus réduit pour les événements précipitants extrêmes comparativement au temps de retour prédits par les modèles hydrologiques opérationnels (qui présupposent des queues de distribution de type exponentielle décroissante ou équivalent)Si,. actuellement, de telles distributions hyperboliques semblent correspondre assez bien aux observations (Hubert, 2001 ; Lovejoy et al., 2011), la valeur de l’exposant critique estimée empiriquement semble assez peu cohérente avec les paramètres multifractals de la ittératurel. En outre, les conditions d’observabilité du phénomène en terme de longueur inimale de série ne sont pas encore clairement établies. Nous y reviendrons au chapitre 7 du présent travail.

Vocabulaire : échelles et résolutions

L’objet fractal étant généralement défini par un océdépr itératif infini qui considère des échelles de plus en plus réduites, nous l’étudierons telle qu’il se présente à diverses échelles. Si l’hyperespace contenant la fractale est de dimension (géométrique) D, alors nous découperons celui-ci en λD cases, soit en λ intervalles le long d’une dimension d’espace. On dit alors que l’on considère la fractale à la résolutionλ . La résolution maximale est notée8, c’est celle qui définit le côté d’un pixel. On définit l’ échelle, qui est inversement proportionnelle à la résolution : la résolution à l’échelle ln est λ L . Ainsi, la résolution la ln plus grossière, où tout l’espace est considéré comme un seul bloc (soit λ =1), correspond à l’échelle la plus large (de valeur l = L pixels), tandis que la résolution la plus fine (soit λ =L), correspond à l’échelle la plus réduite – soit un pixel (l = 1).
On peut alors définir la dimension fractale D f d’un ensemble A, en accord avec la définition box-counting, via l’égalité suivante : ∀λ, CardA3∝ λDf . (Eq.3.5).
Cette dimension caractérise bien une invariance d’échelle puisque l’équation ci-dessus caractérise l’objet à toutes les résolutions.
Dans certains cas, et notamment pour un ensemble déduit de données expérimentales représentatives d’un processus physique quelconque, l’échelle maximale disponible par l’observation, L, n’est pas égale à l’échelle maximale du processus. Nous parlerons dans ce cas d’ « échelle externe », et nous utiliserons la notation lext. Il en résulte une multiplication par une constante dans la loi (Eq. 3.5), qui ne change bien entendu ni la loi d’échelle ni la dimension fractale.

Notion de co-dimension fractale

Les considérations précédentes s’étendent facilement aux objets fractals aléatoires. La notion de dimension fractale D f se définit en effet de façon statistique : ∀λ, CardA3≈ λDf . (Eq. 3.6).
Ici et dans la suite, le symbole≈ désigne une égalité à des facteurs à variations lentes près.
Ci-dessus et dans toute la suite les crochets  correspondent à une moyenne statistique.
La définition ci-dessus présente un inconvénient dans le cas d’objets ou de processus aléatoires : certains objets fractals aléatoires présentent en effet une intermittence si extrême que l’objet intersecte en moyenne moins de un pixel quelque soit la résolution. Dans ce cas la dimension fractale sera négative (dimension latente). C’est pourquoi dans le contexte des fractals aléatoires, on préfère utiliser la notionde co-dimension.
Comme le nombre de cases total à la résolution λ est de λD , on peut en déduire la probabilité qu’une case aléatoire à cette résolution soit dansla représentation géométrique de la fractale à la résolutionλ : Pr(case ∈A ) CardAλ ≈ λD f  λ−C f , (Eq. 3.7) où C f = D − D f désigne la co-dimension fractale de l’ensemble A. Par construction, la co-dimension est toujours positive et elle est la plupart du temps inférieure à D, sauf dans le cas précédemment évoqué des « dimensions latentes ». Cecas peut tout à fait avoir un sens physique dans un formalisme probabiliste : par exemple les événements extrêmes d’un processus géophysique pourront être localisés surnuensemble fractal qui n’est « visible » que sur un nombre très restreint de réalisations de ceprocessus.

Cascades continues en échelle – universalité

Nécessité d’une approche universelle

Dans le cas général, la fonction d’échelle des moments K(q) n’est contrainte que par sa convexité et ses valeurs particulières en 0 et en 1et peut prendre n’importe quelle forme respectant ces conditions. Ceci semble constituer un inconvénient pour l’utilisation et l’interprétation de ces modèles, qui ne devraient être caractérisés par une infinité de paramètres (par exemple les statistiques pour tout ordre réel positif). Ceci traduit la généralité de l’approche des cascades qui impose a priori peu de contraintes (essentiellement la conservativité) sur les lois des incréments multiplicatifs. Au contraire, nous souhaiterions disposer de modèles « universels » paramétrés par nu nombre réduit de paramètres ayant une signification physique précise. En fait, il est possible de faire apparaître ces propriétés pour les cascades à échelles continues. La raison en est que la continuité des échelles contraint fortement le choix des générateurs aléatoires, comme nous allons le voir maintenant.

Cascades log – infiniment divisibles

SoitΦλλ≥1 une cascade multiplicative multifractale supposée tout d’abord à échelles discrètes. On peut exprimer une réalisation de la ascade sur un pixel de résolutionλλ’ à partir de la valeur du pixel de résolution plus grossièreλ ‘ qui l’englobe en multipliant cette dernière par N tirages de la variable aléatoireµϕ (où λ = λ1n ) : Φλλ ‘ Bλλ ‘ =∏µϕi × Φλ ‘ N  Bλ ‘ (Eq. 3.22).
Si maintenant nous supposons queΦλλ≥1 est en fait continue en échelle, il y aura entre les deux échelles 4’ et 44’ fixées une différence non plus deN mais une infinité d’incréments multiplicatifs élémentaires, chacun associé à un rapport d’échelle élémentaire tendant vers 1 (cf. Fig. 3.8 ci-dessus). ∞  Bλ ‘ (Eq. 3.23).
Nous pouvons alors définir un « incrément multiplicatif continu » µψ , dépendant du rapport d’échelle: Φλλ ‘Bλλ ‘ = µψ (λ) × Φλ ‘Bλ ‘ (Eq. 3.24).
Or, si µψ (λ) peut être écrit comme le produit d’une infinité devariables aléatoires, cela signifie que logµψ (λ) admet la même distribution que la somme d’une infinité de variables aléatoires. d ∞ ∀λ ∃ X ii≥1 t.q. logµψ (λ) X i (Eq. 3.25).
L’équation (Eq. 3.25) exprime en fait que logµψ (λ) est une variable aléatoire de distribution infiniment divisible. µψ (λ) suit donc une loi log – infiniment divisible Il en est de même pourΦλ qui admet les mêmes moments que ceux deµψ λ( ).
L’infinie divisibilité est une propriété caractérisant une classe plus restreinte de variables aléatoires et de lois de probabilité. Parmi cellesci,- on trouve la loi normale, les lois stables (qui sont généralisent le cas des lois normales, etdont les propriétés sont décrites dans l’Annexe A), la loi de Poisson, la loi de Poisson composée, la loi exponentielle et la loi Gamma. Dans la littérature géophysique, les lois postulées le plus fréquemment pour logµψ (λ) sont la loi de Poisson et les lois stables (incluant le cas gaussien), ce qui conduit aux cascades log-Poisson, et log- stables décrites ci-dessous. Potentiellement, n’importe laquelle de ces lois pourrait être utilisée mais lecas log-stable est peut-être le plus vraisemblable vu qu’il correspond au résultat d’une sorte de « théorème limite centrale multiplicatif ». Pour une discussion sur les degrés d’universalité respectifs présentés par de tels modèles, on pourra se référer à (Schertzer & Lovejoy, 1997 ; Gupta & Waymire, 1997).

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Table des matières

1 INTRODUCTION
1.1 CONTEXTE GENERAL : LA VARIABILITE DES PRECIPITATIONS
1.2 CADRE DE L’ETUDE
1.3 BUT DE LA THESE
1.4 PLAN DE LA THESE
2 APPLICABILITE DES MODELES FRACTALS AUX PRECIPITATIONS: JUSTIFICATION ET ETAT DE L’ART
2.1 SYMETRIES D’ECHELLES DANS L’ATMOSPHERE
2.1.1 L’atmosphère comme système complexe
2.1.2 Conséquences sur la modélisation numérique
2.1.3 Lois d’échelle de la turbulence et des écoulements atmosphériques
2.1.4 Lois d’échelle pour les scalaires passifs
2.1.5 La pluie suit-elle des lois de type KOC?
2.1.6 Interprétation en termes de fractals et de multifractals
2.2 PREUVES EMPIRIQUES DES PROPRIETES DE « SCALING » DE LA PLUIE
2.2.1 Des fractals aux multifractals
2.2.2 Multifractalité de la pluie : résultats empiriques
2.2.3 La multifractalité « universelle »
2.3MULTIFRACTALITE ET PLUIE : PROBLEMATIQUES A RESOUDRE
2.4 CONCLUSION
3 FRACTALS ET MULTIFRACTALS : FONDEMENTS THEORIQUES
3.1 INTRODUCTION
3.2 LES OBJETS FRACTALS
3.2.1 Introduction et premiers exemples
3.2.2 Notion de dimension fractale
3.2.3 Vocabulaire : échelles et résolutions
3.2.4 Notion de co-dimension fractale
3.2.5 Exemple : dimension fractale de l’ensemble de Cantor
3.3 PROCESSUS ET CASCADES MULTIFRACTALS
3.3.1 Introduction
3.3.2 Les multifractals comme limites de cascades aléatoires
3.3.3 Propriétés mathématiques générales des cascades multifractales
3.3.4 Exemples de cascades multiplicatives discrètes
3.4 CASCADES CONTINUES EN ECHELLE – UNIVERSALITE
3.4.1 Nécessité d’une approche universelle
3.4.2 Cascades log – infiniment divisibles
3.4.3 Illustration : le modèle log-Poisson
3.5MULTIFRACTALES UNIVERSELLES (LOG-STABLES)
3.5.1 Cascades non intégrées
3.5.2 Cascades intégrées
3.6 LIMITATIONS D’ECHANTILLON ET DIVERGENCE DES MOMENTS
3.6.1 Divergence de certains moments des quantités intégrées
3.6.2 Contraintes liées à la taille d’échantillon
3.6.3 Conséquences pour l’observation des valeurs extrêmes
3.7 CONCLUSION
4 PROCEDURES DE SIMULATION ET D’ANALYSE DE MULTIFRACTALS UNIVERSELS 
4.1 INTRODUCTION
4.2 SIMULATION DES MULTIFRACTALS UNIVERSELS
4.2.1 Principe général
4.2.2 Génération des variables stables
4.2.3 Implémentation des convolutions
4.2.4 Exemple de simulation
4.3 ANALYSE MULTIFRACTALE DE DONNEES
4.3.1 Aperçu d’ensemble
4.3.2 Analyse spectrale et fonction de structure du premier ordre
4.3.3 Estimation des moments empiriques
4.3.4 La technique du « Double Trace Moment » (DTM)
4.4 CONCLUSION
5 ANALYSE MULTIFRACTALE DE DONNEES DE PRECIPITATIONS A HAUTE RESOLUTION SPATIALE ET TEMPORELLE
5.1 INTRODUCTION
5.2 PARAMETRES UNIVERSELS POUR LA PLUIE DANS LA LITTERATURE : ETAT DE L’ART
5.3 DONNEES
5.4 ANALYSE MULTIFRACTALE DES DONNEES DE PRECIPITATIONS
5.4.1 Les régimes d’invariance d’échelle
5.4.2 Sélection de sous-ensembles excluant les zéros de la pluie
5.4.3 Que vaut l’exposant H dans les zones de pluie ?
5.4.4 Résultats de l’analyse multifractale avec et sans zéros (cas spatial)
5.4.5 Résultats de l’analyse multifractale avec et sans zéros (cas temporel)
5.4.6 Correction empirique de l’effet des zéros par analyse pondérée
5.5 BILAN SUR L’EFFET DES ZEROS DE LA PLUIE ET INTERPRETATION DES PARAMETRES ET C1 « CORRIGES »
5.6 INTERPRETATION EN LIEN AVEC LES SCALAIRES PASSIFS
5.6.1 Introduction
5.6.2 Proposition d’une approche basée sur KOC pour la variabilité spatiale des précipitations
5.7 CONCLUSION
6 MODELISATION ET CORRECTION DES EFFETS D’UN SUPPORT FRACTAL
6.1 INTRODUCTION
6.2 INCLUSION DES ZEROS DANS DES SIMULATIONS MULTIFRACTALES
6.3 SIMULATION DE L’EFFET DES ZEROS PRODUITS PAR UN MODELE A SEUIL
6.4 PROPRIETES SCALANTES DU SUPPORT DE LA PLUIE
6.5MODELISATION MATHEMATIQUE DE L’EFFET DES ZEROS
6.5.1 Rupture de scaling pour les multifractals seuillés
6.5.2 Estimation théorique des biais liés aux zéros sur les paramètres multifractals
6.5.3 Validation des formules exprimant le biais sur les paramètres multifractals
6.6 CONCLUSION
7 APPLICATIONS : DOWNSCALING ET MODELISATION DES EXTREMES
7.1 INTRODUCTION
7.2MULTIFRACTALS ET DISTRIBUTION DES TAUX PRECIPITANTS EXTREMES
7.2.1 Principe
7.2.2 La distribution de probabilité de la série DBS
7.2.3 Comparaison des valeurs théoriques et empiriques de D q
7.3MULTIFRACTALS ET ALGORITHMES DE DOWNSCALING
7.3.1 Introduction
7.3.2 Cascades multifractales et downscaling
7.3.3 Limitations des algorithmes existants
7.3.4 Algorithme de « downscaling multifractal universel »
7.4 CONCLUSION
8 CONCLUSION ET PERSPECTIVES
ANNEXES
A – RAPPELS SUR LES LOIS STABLES
A.1 Définition
A.2 Fonctions caractéristiques des variables stables
A.3 Moments et fonction génératrice des moments
A.4 Autres propriétés des variables stables
B – CONSTRUCTION MATHEMATIQUE DE CHAMPS MULTIFRACTALS « UNIVERSELS »
B.1 Principe
B.2 Fonction de pondération
B.3 Détermination de l’amplitude du bruit stable
RÉFÉRENCES

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