Soutenance mémoire
POURQUOI UNE ÉTUDE DES PROCESSUS DE PREUVE AU COURS MOYEN ?
Le développement des savoirs mathématiques au primaire nécessite l’appropriation par les élèves de critères de jugement de leurs propres productions. Or, jusqu’au cycle 3, plusieurs systèmes de validation coexistent, la critique des résultats et des procédures s’effectuant selon différents critères : la validation pratique par l’effectuation de la tâche (répartir des objets pour vérifier un partage par exemple), la vérification par la confrontation des résultats aux données et contraintes de l’énoncé, le recours à des raisonnements. Certains seulement de ces critères seront valorisés durant l’enseignement secondaire. Si les propositions soumises au débat, voire les jugements portés individuellement ou par petits groupes peuvent être écrits, la confrontation de ces critiques et de leurs justifications s’effectue lors de mises en commun. Or ces propositions et leurs critiques sont élaborées dans un cadre scientifique en constitution.
La production de preuves au Cours Moyen ne peut s’envisager que si elle contribue à créer un rapport plus adéquat de l’élève aux mathématiques, c’est-à-dire si les règles pour établir le vrai ou le faux apparaissent avec les spécificités propres à la discipline et non comme de simples contraintes ou conventions. Pour cela, il est nécessaire que les propositions soumises aux élèves présentent un enjeu suffisant pour qu’ils produisent des raisonnements et les mettent à l’épreuve ; si la proposition qu’il s’agit de prouver présente, dès l’origine, une évidence certaine, le travail de preuve ne permettra pas d’expliciter les conceptions erronées éventuelles ou de distinguer les critères de validation.
Le développement de preuves suppose la mise en œuvre de débats où elles puissent être formulées et critiquées au moyen d’argumentations produites par les élèves. Les interventions du maître sont encadrées par deux contraintes apparemment contradictoires : la dévolution de la preuve aux élèves et la garantie de la validité de propositions et arguments qui seront finalement retenus.
PROGRAMMES ET PRATIQUES
Dans la pratique, la mise en œuvre de situations de preuve peut être problématique pour des enseignants du primaire, tant au niveau de l’analyse des enjeux scientifiques ou des capacités des élèves que dans la conduite des séances. En particulier la gestion des phases de débats où l’activité de l’élève ne doit pas être réduite à la formulation des résultats ou à l’explicitation des méthodes, le maître se chargeant de porter un jugement. De plus, les dispositifs d’enseignement proposant des problèmes de preuve sont rares au primaire.
Pourtant les programmes de 2002 pour l’école primaire et ceux de 2004 pour la 6ème posent la question de la preuve, mais aussi du rôle de l’argumentation dans l’accès à des raisonnements mathématiques. L’importance des interactions langagières dans la construction des savoirs disciplinaires y est aussi mise en évidence. Le document d’application des programmes pour le cycle 3 précise : « La confrontation des résultats et des démarches dans des moments de débat, où la classe s’apparente à une petite «communauté mathématique», permet de développer les compétences dans le domaine de l’argumentation, oblige à considérer d’autres points de vue et donc contribue au développement de la socialisation, par l’écoute et le respect de l’autre, dans la mesure où la détermination du vrai et du faux y est plus facilement indépendante des préjugés et des idéologies. Ces situations d’argumentation offrent une première occasion de sensibiliser les élèves à la question du statut particulier de la preuve en mathématiques. Si dans certains cas, celle-ci relève d’une expérience, dans d’autres cas elle s’appuie sur des connaissances mathématiques. » (M.E.N. 2002) Au niveau du collège, les programmes indiquent : « La question de la preuve occupe une place centrale en mathématiques. La pratique de l’argumentation pour convaincre autrui de la validité d’une réponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un «phénomène » mathématique a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder les élèves à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. » (M.E.N. 2004) Ce même texte précise : « A cet égard, deux étapes doivent être distinguées : la recherche de la production d’une preuve, d’une part, la mise en forme de cette preuve, d’autre part. Le rôle essentiel de la première étape (production d’une preuve) ne doit pas être occulté par les exigences de la deuxième (mise en forme de la preuve) ». Le programme de 6e demandant d’ « habituer l’élève à justifier ses affirmations, à argumenter à propos de la validité d’une solution… ».
La production d’ingénieries didactiques sollicitant des problèmes de preuve
En premier, l’équipe de didactique des mathématiques à l’école élémentaire de l’INRP (équipe ERMEL) a produit, dans le cadre de plusieurs recherches successives, des ingénieries didactiques, pour chacun des niveaux depuis la Grande Section jusqu’au CM2 portant sur les apprentissages numériques et la résolution de problèmes. Les publications issues de ces recherches sont destinées aux enseignants de l’école primaire et sont constituées par une explicitation des enjeux des apprentissages, et une présentation de choix d’enseignement comprenant un ensemble complet de situations didactiques. Pour le Cours Moyen ces propositions sont publiées dans les ouvrages « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » pour le CM1 (ERMEL 1997) et pour le CM2 (ERMEL 1999 a). La conception de l’apprentissage que nous développons donne une place importante à la résolution de problèmes, ce qui suppose que les élèves puissent, face à des situations nouvelles, élaborer des procédures de résolution, mais aussi valider leurs productions. Or ces possibilités de validation évoluent au cours du cycle 3, des raisonnements s’appuyant sur des propriétés peuvent être élaborés et critiqués par les élèves.
Aussi, il a été nécessaire, dans le cadre de la recherche « Apprentissages mathématiques et argumentation au cycle 3 » menée entre 1994 et 1997, d’expliciter les compétences des élèves du Cycle 3 dans le domaine de la preuve et de l’argumentation en mathématiques en nous appuyant sur les travaux produits dans différents champs scientifiques. Nous avons aussi proposé des problèmes de preuve au Cours Moyen afin de connaître les potentialités des élèves et de mettre à l’épreuve des situations que les enseignants pourraient ensuite s’approprier. Les résultats de ce travail sont présentés dans une publication coordonnée par Christiane Hubert et moimême (« Vrai ? Faux ? … On en débat ! De l’argumentation vers la preuve au cycle 3 » (ERMEL 1999 b).
Une comparaison du rôle de l’argumentation entre les disciplines
Le rôle de l’argumentation dans l’acquisition des connaissances à l’école primaire et au début du collège a aussi été étudié dans le cadre de la recherche «Argumentation et démonstration dans les débats et les discussions en classe » . L’objet de cette recherche était d’analyser quelles modifications l’introduction d’un travail argumentatif entraîne dans les régimes de vérité propres à chaque discipline, à l’école ou au collège. En mathématiques, nous cherchions à préciser comment coexistent, au début du collège, les différents types de preuves déjà évoqués pour le primaire. Pour mener à bien cette comparaison entre les différentes disciplines, nous avons notamment analysé une vingtaine de débats menés dans cinq disciplines (français, mathématiques, SVT, physique, histoire-géographie) dans une même classe de 5ème , dans le collège situé dans la ZEP d’une des écoles élémentaires pour laquelle de nombreuses expérimentations effectuées en CM1 ou CM2 sont analysées dans cette présente étude. Les résultats de cette recherche pluridisciplinaire ont été publiés dans l’ouvrage « Argumentation et disciplines scolaires » (Douaire et al. 2004).
|
Table des matières
Introduction
Chapitre 1 : Construction d’un cadre théorique
1. Eléments d’analyse des preuves
1.1 La notion de preuve
1.2 Preuve et démonstration
1.3 Les processus de preuve au collège
1.4 Les preuves au Cours Moyen
2. Les raisonnements
3. L’argumentation et les processus de preuve
3.1 Les apports des théories de l’argumentation
3.2 L’argumentation dans des travaux de didactique des mathématiques
4. Les problèmes et les situations
4.1 La notion de problème
4.2 Les situations de preuve
5. Conclusions
Chapitre 2 : Analyse des situations de preuve proposées
1. Quels problèmes de preuve
1.1 Objet du chapitre
1.2 Types de problèmes
1.3 L’insertion de ces situations dans un ensemble
2 . Analyse des situations
2.1 Problèmes de recherche de toutes les possibilités
2.2 Problèmes à deux contraintes
2.3 Problèmes d’optimisation
2.4 Problèmes de dénombrement
3. Eléments de synthèse sur les problèmes proposés
3.1 L’enjeu de preuve
3.2 Relations entre le problème initial et le problème de preuve
3.3 Les procédures de preuve
3.4 Classification des situations
4. L’organisation didactique
5. Conclusions
Chapitre 3 Analyse des résultats expérimentaux
1. Objets et méthodes
1.1 Les questions abordées
1.2 Les outils d’analyse
1.3 Présentation du chapitre
2. Les données recueillies
2.1 Le contexte des séquences expérimentées
2.2 Les types de données recueillies
3. Première analyse des productions
3.1 Problème de recherche de tous les cas possibles
3.2 Les trois nombres qui se suivent
3.3 Somme et différence
3.4 Le plus grand produit
Une étude des processus de preuve
3.5 Cordes et somme des n premiers nombres
4. Elaboration d’une typologie des preuves
4.1 Proposition d’une classification
4.2 Intégration dans cette classification des preuves
5. Eléments de synthèse sur les preuves produites deux années successives
5.1 Objet et méthodologie de l’analyse
5.2 Résultats
6 Bilan des productions et questions sur les situations
6.1 Examen des preuves produites
6.2 Bilan sur le situations
7. Conclusions
Chapitre 4 : Mise au point d’une situation de validation
1. Objet et méthode
1.1 Les questions abordées
1.2 Le contexte de l’étude
1.3 Les données analysées
1.4 Méthode et outils d’analyse
2. Présentation de la structure des séquences
2.1 Rappel du problème
2.2 Présentation des séances
2.3 Comparaison des deux déroulements
3 Analyse des preuves élaborées
3.1 Emploi de plus de deux nombres
3.2 Le rôle du 1
3.3 La question de la précision
3.4 Décomposition des nombres
3.5 Combien de 2 ? Combien de 3 ?
4. Bilan sur ces expérimentations
4.1 Compétences développées dans le domaine de la preuve
4.2 Les compétences argumentatives
4.3 Conditions sur les situations
5. Conclusions
Chapitre 5 : Problèmes de preuve et gestion des mises en commun
1. Questions abordées
2. Analyse de la tâche
2.1 La diversité des objectifs et des critères
2.2 Les tâches de l’enseignant
2.3 La gestion de la mise en commun par des enseignants débutants
3. Analyse des échanges lors d’une mise en commun
3.1 Présentation de l’expérimentation
3.2 Insertion de cette observation dans une problématique de formation
3.3 Présentation de la séance
3.4 Analyse des mises en commun
3.5 Synthèses sur les échanges
3.6 Eléments d’analyse comparée
Conclusion
Télécharger le rapport complet
