Analyse de stabilité linéaire globale d’écoulements compressibles

Le 4 octobre 1957, le premier satellite mit en orbite par l’homme resta 92 jours autour de notre planète. Depuis cette date, de nombreux satellites ont été mis en orbite afin de répondre aux différents besoins de télécommunications, de géolocalisations, mais également pour les secteurs de recherche et le domaine militaire. On compte aux alentours de 900 satellites actifs dans l’espace, et 3 fois plus de satellites non fonctionnels. L’utilisation d’un lanceur pour mettre en orbite plusieurs satellites a été un enjeu économique et technique pour les différentes agences spatiales. Depuis la création du projet ARIANE et son premier lancement en 1979, l’amélioration des lanceurs (figure (1.1)) a permis de multiplier par 5 la charge utile (masse totale des satellites embarquée dans la fusée) mise en orbite. Ces résultats ont pu être atteint grâce à l’amélioration des caractéristiques aérodynamiques des lanceurs et notamment des systèmes de propulsions.  Les tuyères des moteurs de fusée sont ainsi conçues avec un rapport de sections important pour permettre une forte détente des gaz. En ce qui concerne Ariane 5, le rapport de section du moteur de l’étage principal est passé de 45 pour le moteur Vulcain à 60 pour le moteur Vulcain 2 (figure (1.2)). En fonction de la pression régnante dans le milieu ambiant (Pa) et de celle en sortie de tuyère (Ps), on peut distinguer trois différents régimes de fonctionnement :
– Pa > Ps on parlera de régime de sur-détente
– Pa = Ps on parlera de régime adapté
– Pa < Ps on parlera de régime de sous-détente .

Lors du décollage de la fusée Ariane 5, ce sont les deux boosters latéraux qui sont en charge de la poussée, le moteur de l’étage principal ne participant qu’à 10% de cette dernière. En effet, le moteur Vulcain joue son rôle en altitude, autrement dit une fois qu’il fonctionne dans un régime adapté ou de sous-détente. Néanmoins, d’un point de vue de la sécurité et au vu de la difficulté de l’allumage du moteur Vulcain, ce dernier est allumé au sol. En contrepartie, lors de cette phase de décollage, la pression dans la chambre de combustion est inférieure à la pression ambiante, la tuyère fonctionne donc en régime de sur-détente. Une dynamique instationnaire complexe se met alors en place au sein de la tuyère, entraînant une perte de symétrie de l’écoulement qui donne naissance à des efforts mécaniques sur la tuyère elle-même. Ce genre de phénomène a également été rencontré en URSS et aux USA lors de la mise au point du moteur du second étage du lanceur ENERGIA et du moteur principal du lanceur ATLAS. Ces efforts, appelés charges latérales, sont préjudiciables pour la structure de la tuyère et par conséquent pour le moteur. Aujourd’hui, l’ajout de raidisseurs au niveau de la tuyère permet une maîtrise de ces charges latérales, afin d’assurer le succès des différents lancements. Néanmoins, la cause exacte de la perte de symétrie et des phénomènes physiques associés aux instationnarités restent mal connus.

C’est dans cette problématique que s’inscrit le groupe ATAC (Aérodynamique des Tuyères et Arrière Corps) dirigé par le CNES (Centre National d’Études Spatiales). Sa mission première est d’étudier la phénoménologie liée à l’apparition de ces charges latérales. Lors du démarrage du moteur, la tuyère étant non adaptée, l’écoulement au sein de la tuyère n’est pas totalement supersonique. Il s’ensuit l’apparition d’un choc de recompression à l’intérieur de la tuyère qui en venant interagir avec la couche limite va causer son décollement. Deux configurations sont alors possible. La couche limite décolle sans recoller, on parlera de décollement libre (ou FSS : Free Shock Separation), ou la couche limite décolle puis recolle, on parlera de décollement restreint (ou RSS Restricted shock Separation). Bien que l’écoulement au sein de cette dernière soit bien plus complexe, avec notamment des effets thermodynamiques, il semblerait que l’écoulement généré par l’interaction entre une onde de choc et une couche limite turbulente soit à l’origine de ces instationnarités. En particulier, on peut observer un battement basse fréquence se distinguer des échelles turbulentes de la couche limite. L’intérêt industriel pour ce type d’écoulement a suscité de nombreuses études expérimentales et numériques depuis plus d’un demi-siècle. En effet, ce type de configuration se retrouve dans de nombreux domaines de l’aéronautique tels que :
– des prises d’air de turboréacteur (figure 1.3(a))
– l’écoulement en bout de pales de compresseur (figure 1.3(b))
– l’écoulement transsonique au niveau de l’extrado d’un profil d’aile (figure 1.3(c))
– l’écoulement au sein d’une tuyère sur-détendue (figure 1.3(d))

L’ensemble de ces recherches ont eu pour objectif d’analyser et de comprendre les mécanismes mis en jeu dans ce type de configurations afin de prédire ou de contrôler ces écoulements. Les études expérimentales et numériques réalisées jusqu’à présent ont permis de mettre en évidence nombre de phénomènes liés à ces écoulements. Malheureusement, bien que la dynamique basse fréquence fut observable lors de ces différentes études, son origine reste encore mal comprise.

À la recherche de l’origine du phénomène basse fréquence

L’interaction onde de choc / couche limite

L’origine de la dynamique basse fréquence, dans les différentes configurations d’écoulements énumérées précédemment, reste un enjeu important. En effet, le phénomène de battement basse fréquence du choc coïncide avec une perte de performance aérodynamique des différents systèmes. Afin de comprendre et d’identifier son origine, de multiples configurations expérimentales ont vu le jour, dans le but de reproduire les écoulements en soufflerie. Parmis les configurations d’interactions onde de choc/couche limite les plus étudiées à ce jour, nous retrouvons :
– “la réflexion de choc”
– “la rampe de compression”
– “l’interaction avec un choc droit”
Les résultats des études expérimentales et numériques de ces différentes configurations permettent de mettre en évidence le phénomène basse fréquence de ce type d’écoulement. Bien que de nombreuses hypothèses aient vu le jour pour expliquer la phénoménologie du battement, aucune n’a encore été réellement validée.

L’interaction par réflexion de choc

Lorsque un choc oblique d’origine extérieur pénètre dans une couche limite (figure (1.4(b))), il se produit un épaississement de cette dernière, suite au gradient de pression adverse imposé par le choc. Suivant l’intensité du choc incident, il est possible que la couche limite décolle, on observe alors une zone de recirculation au niveau de l’impact. Cet épaississement, ou ce décollement, impose en amont du choc une déviation de l’écoulement. Cette dernière est alors à l’origine d’une zone de  compression entraînant la formation d’un second choc en amont, on pourra parler de “choc de décollement” ou de “choc réfléchi”. En aval du choc incident, l’épaisseur de la couche limite diminue au travers d’une détente qui est associée au recollement de la couche limite. Expérimentalement, l’onde de choc oblique incidente est imposée par un générateur de choc. Ce dernier peut être modélisé comme sur la figure ??, où l’on peut observer la présence d’une plaque biseautée imposant une déflexion de l’écoulement amont. L’intensité du choc oblique va ainsi dépendre de l’angle de déflexion imposé par la plaque.

Les expérimentations misent en place dans la soufflerie de l’IUSTI (Institut Universitaire des Systèmes Thermiques Industriels, Aix-Marseille), sur l’interaction par réflexion de choc avec une couche limite amont turbulente, montrent bien un caractère instationnaire basse fréquence (Dupont et al. [49]). L’observation des fluctuations de pression à la paroi ainsi que des vitesses dans la couche limite amont, illustre les différentes gammes de fréquence dans un tel écoulement. La figure (1.5), montre la répartition de l’énergie des fluctuations de pression pariétale en fonction de la fréquence, le long de l’interaction. On observe que la couche limite amont possède son énergie dans une gamme de fréquences comprise entre 10⁴ et 10⁵ Hz, alors qu’au voisinage du choc (X∗ = 0), la gamme de fréquences est inférieure de deux décades, entre 10² et 10³ Hz. L’équipe de L’IUSTI a notamment réalisé cette étude pour différents angles de déflexions :
– 5°5 correspondant à un décollement naissant, figure 1.6(a)
– de 7°0 à 9°5 correspondant à des états décollés, figure 1.6(b)
Afin de comparer les interactions ayant des angles de déflexions différents, Dupont et al. [49] utilise une fréquence adimensionnée, basée sur la longueur d’interaction L, qui représente la distance entre les points d’impacts théoriques des chocs incident et réfléchi sur la plaque plane, et la vitesse, U1, de l’écoulement en aval du choc incident (figure (1.8)).

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Table des matières

1 Introduction
Avant–propos
1.1 Contexte
1.2 À la recherche de l’origine du phénomène basse fréquence
1.2.1 L’interaction onde de choc / couche limite
1.2.1.1 L’interaction par réflexion de choc
1.2.1.2 L’interaction par rampe de compression
1.2.1.3 L’interaction avec un choc droit
1.2.2 Instabilité due au choc
1.2.3 Instabilité de couche limite décollée
1.2.3.1 Écoulements subsoniques
1.2.3.2 Écoulements transsonique/supersonique
1.2.4 Résumé et conclusion de l’état de l’art
1.2.5 Organisation du mémoire
2 Étude de stabilité linéaire globale : aspect théorique et numérique
2.1 Dynamique linéaire : état d’équilibre, comportement résonateur et amplificateur
2.1.1 Les écoulements oscillateurs
2.1.2 Les écoulements amplificateurs sélectif de bruit
2.1.3 Compétition ente les mécanismes amplificateurs et résonateurs
2.2 Méthode de résolution du problème au valeurs propres
2.2.1 Méthode d’Arnoldi
2.2.2 Différentes approches pour construire le problème aux valeurs propres
2.3 Présentation du code PHOENIX
2.3.1 Discrétisation des équations
2.3.1.1 Discrétisation spatiale
2.3.1.2 Discrétisation temporelle
2.3.1.3 Les conditions aux limites
2.3.1.4 Les modèles de turbulence
2.3.2 Stratégie d’obtention du champ de base
2.4 Présentation du code PHOENIX linéarisé
2.4.1 La linéarisation du code PHOENIX
2.4.1.1 les schémas numériques
2.4.1.2 Les conditions aux limites linéarisées
2.4.1.3 Validité d’un modèle linéarisé pour capter les larges structures en turbulence
2.4.1.4 Les modèles de turbulence linéarisés
2.4.1.5 Validation du code PHOENIX linéarisé
2.5 Validation
2.5.1 Écoulement autour d’un cylindre
2.5.1.1 Configuration de l’écoulement
2.5.1.2 Analyse de stabilité
2.5.2 Couche limite supersonique
2.5.2.1 Configuration
2.5.2.2 Champ de base
2.5.2.3 Analyse de stabilité
2.5.3 Conclusion
3 Interaction onde de choc oblique
3.1 Introduction
3.2 Simulation setup and governing equations
3.2.1 Flow configuration
3.2.2 Governing equations
3.2.3 Compressible global stability analysis
3.3 Numerical strategy
3.3.1 Navier-Stokes solver and boundary conditions
3.3.2 Linearization of discrete Navier-Stokes equations
3.3.3 Stability algorithm
3.4 Laminar OSWBLI cases
3.4.1 Base flows
3.4.2 Global mode analysis and linear dynamics
3.4.2.1 Linear impulse response
3.4.2.2 Features of the global spectrum
3.4.2.3 Scaling analysis
3.4.3 Linear regime : noise amplifier dynamics and receptivity
3.4.4 Influence of nonlinearities
3.5 Discussion and conclusion
3.6 Numerical validations
3.6.1 Eigenspectrum
3.6.2 Global resolvent
4 Interaction onde de choc oblique / couche limite turbulente : cas IUSTI
4.1 Présentation de l’interaction
4.1.1 Organisation de l’écoulement
4.1.2 Principaux résultats connus
4.2 Analyse de stabilité
4.2.1 Champ de base
4.2.2 Résultats de l’analyse de stabilité
4.3 Conclusion
5 Interaction onde de choc couche limite pour des écoulements transsoniques
5.1 le tremblement transsonique autour d’un profil
5.1.1 Caractéristiques de l’écoulement
5.1.2 Analyse de stabilité
5.1.3 Conclusion et remarques
5.2 Analyse de stabilité globale d’un écoulement dans une tuyère plane surdétendue
5.2.1 Description et analyse des expériences de Sajben et al
5.2.1.1 Étude d’un écoulement non forcé
5.2.1.2 Étude d’un écoulement forcé
5.2.2 Calculs numériques relatifs aux expériences de Sajben
5.2.3 Caractéristiques de l’écoulement étudié
5.2.3.1 Calcul du champ de base
5.2.4 Analyse de stabilité
5.2.5 Étude de stabilité pour différentes longueurs de tuyère
5.2.6 Conclusion
Conclusion

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