Algorithmes de restauration bayésienne mono- et multi-objets dans des modèles markoviens

Le problème très général abordé dans cette thèse est le problème du filtrage statistique, qui consiste à estimer de façon récursive des données cachées, à partir de données observées. Les applications qui s’appuient sur cette problématique générale sont nombreuses et il convient d’en présenter une liste nécessairement non exhaustive :

– détection et poursuite d’objet(s) mobile(s) [62] [12] [23] [25] ;
– estimation de volatilité en finance [97] [19] ;
– détection de rupture en géologie ou en biologie [47] [21] ;
– détection de sources de signaux à bande étroite en communications numériques [10] ou extraction de signaux dans des canaux bruités [23] ;
– problème de cartographie et localisation simultanées en robotique [45] [87] ;
– problème de prévisions météorologiques [14].

Plus précisément, ces nombreuses applications reposent sur deux problèmes différents de filtrage statistique :
– dans le cadre du filtrage mono-objet, nous souhaitons estimer le vecteur d’état au cours du temps d’un unique état caché ; à chaque instant, nous observons une réalisation d’une v.a. reliée de façon probabiliste à l’état caché que l’on souhaite estimer ;
– dans le contexte du filtrage multi-objets, le problème est plus compliqué. D’une part, le nombre d’états cachés à estimer est inconnu (il peut être supérieur à 1) et évolue dans le temps (des objets apparaissent tandis que d’autres disparaissent) ; d’autre part, les réalisations de v.a. observées dont nous disposons à un instant donné ne sont pas nécessairement dues à la présence d’un état caché et, par ailleurs, certains états cachés peuvent n’être associés à aucune observation.

Filtrage statistique multi-objets

Problèmes et contraintes 

Contrairement à la section précédente, il ne s’agit plus ici d’estimer une séquence d’états d’un unique objet, mais d’estimer les séquences d’états d’objets dont le nombre est inconnu et évolue dans le temps : des objets peuvent apparaître (naissance) ou disparaître (mort) au cours du temps. D’autre part, contrairement au problème précédent, il se peut qu’un objet ne soit pas détecté, c’est à dire que nous n’ayons pas accès à une réalisation de la v.a. Yn associée à un état caché Xn. Enfin, les observations dont nous disposons ne sont pas nécessairement associées à un état caché : de telles observations seront appelées « fausses alarmes » ou « fouillis».

Les solutions les plus anciennes pour traiter ce problème reposent sur les techniques de filtrage monoobjet combinées à un mécanisme d’association objets observations visant à optimiser l’association entre un état caché et une observation ; ces solutions incluent les algorithmes JPDA [11] [106] et MHT [111] [16]. Ces solutions ne seront pas discutées dans ce travail puisque nous allons nous pencher sur une classe de solutions plus récentes basées sur la théorie des Ensembles Statistiques Finis (ou RFS) [56] [54] [80]. Ces solutions considèrent les objets cachés ainsi que les observations comme des RFS, c’est à dire des ensembles de variables aléatoires dont le cardinal est également aléatoire et varie dans le temps. Le paragraphe suivant formalise le problème de filtrage multi-objets sous l’angle de la théorie des RFS et décrit les solutions associées.

Formulation statistique du problème de filtrage multi-objets

Ensembles statistiques finis 

A l’instant n, nous modélisons les objets cachés ainsi que les observations par deux RFS,

Ξn = {X1,n, · · · , XN(n),n}, (1.2.1)

Ψn = {Z1,n, · · · , ZM(n),n}, (1.2.2)

où N(n) et M(n) représentent respectivement le nombre (aléatoire) d’objets et d’observations à l’instant n. Une réalisation du RFS Ξn est donc la réalisation du nombre d’objets de ce RFS, et conditionnellement à ce nombre, une réalisation des v.a. qui le composent. Nous la noterons Ξn = Xn = {x1,n, · · · , xm,n} (m représente ici une réalisation de N(n)). De même, une réalisation du RFS Ψn sera notée Zn. Il convient ici de justifier l’emploi d’une nouvelle notation Zi,n, pour modéliser la i-ème observation. Dans la section précédente, les observations étaient notées Yn ; mais, dans le problème de filtrage multi-objets, rappelons qu’une observation peut être associée à un état caché mais aussi être une mesure de fausse alarme. La notation Z sera donc utilisée lorsque nous ne présumerons pas de la nature de l’observation (fausse alarme ou détection), tandis que la notation Y fera toujours allusion à une observation aléatoire associée à un état caché X. La modélisation (1.2.1)-(1.2.2) a l’avantage de ramener le problème de filtrage multi-objets à une formulation très simple : estimer à chaque instant n le RFS Ξn (c’est à dire estimer le nombre d’éléments de ce RFS ainsi que les valeurs prises par les v.a. qui le composent) à partir de l’historique des réalisations de Ψn = Zn, noté Z0:n. Nous avons besoin, pour cela, de généraliser la notion de densité de probabilité et d’établir un lien entre les RFS Ξn et Ξn−1 puis entre Ξn et Ψn.

En pratique, bien que moins complexes que les équations (1.2.7)-(1.2.8), les équations (1.2.10)-(1.2.11) ne peuvent pas être calculées de façon exacte. En effet, même dans le cas où les intégrales sont calculables, vn(x) est un mélange qui croît exponentiellement, à cause de la somme P z∈Zn dans (1.2.11). Par conséquent, comme en filtrage mono-objet, et même si une formule récursive exacte est disponible (cf. (1.2.10)-(1.2.11)), l’utilisation de techniques d’approximation est indispensable pour pouvoir approcher le PHD vn(x) et donc estimer le nombre d’objets ainsi que leur état caché. Ces approximations peuvent également être divisées en deux classes. Nous distinguons dans un premier temps les approximations par mélange de gaussiennes [121] ; vn(x) est approché par un mélange gaussien dont les paramètres sont déduits du FK ou de l’EKF/UKF. D’autre part, les approximations basées sur l’utilisation de tirages MC peuvent également être adaptées au contexte multi-objets [122] [26]. Le PHD vn(x) est approché par une densité discrète dont le support est donné par des points {x i n} Ln i=1, pondérés par {w i n} Ln i=1 (dans ce contexte où le nombre d’objets évolue, la taille du support est amenée à évoluer avec le temps, d’où la notation Ln). La somme de ces poids, généralement différente de 1, fournit alors un estimateur MC du nombre d’objets. En revanche, l’approximation discrète rend plus difficile la recherche de maxima locaux et donc l’extraction des états cachés ; des techniques de clustering peuvent néanmoins être utilisées dans ce cas.

Remarque 1.2. Le problème général traité dans cette thèse est celui du filtrage multi-objets qu’il ne faut pas confondre avec le problème de pistage multi-objets. Dans le premier cas, nous nous focalisons sur l’estimation du nombre d’objets et de leur état caché, tandis que dans le second cas nous cherchons en plus à différencier l’historique des trajectoires de chaque objet. Ce problème sera brièvement abordé dans l’Annexe D.2 qui expliquera comment il est possible d’obtenir un algorithme de pistage à partir de la propagation du PHD.

Contributions de cette thèse

1. on commence par se donner un modèle statistique (soit (1.1.1), soit (1.1.8)) vérifié par chaque objet X et l’observation associée Y ;
2. pour le modèle choisi, le problème d’estimation du vecteur d’état de chaque objet caché, et éventuellement du nombre d’objets cachés, consiste essentiellement à propager, dans le cas mono-objet, la densité de probabilité de filtrage pn|n(x) (ou un moment suivant cette densité), et dans le cas multiobjets le PHD a posteriori vn(x). L’équation récursive propageant pn|n(x) ou vn(x) dépend du modèle considéré au point 1 ;
3. si la densité impliquée dans le problème d’estimation ne peut être calculée exactement, on se donne une méthode d’approximation. En particulier, les méthodes MC basées sur des tirages probabilistes peuvent être appliquées à des modèles très généraux et ont été validées théoriquement par des analyses asymptotiques [32] [24] [26] [64].

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Filtrage statistique mono-objet
1.1.1 Modèles de Markov cachés
1.1.2 Modèles de Markov cachés à sauts markoviens
1.2 Filtrage statistique multi-objets
1.2.1 Problèmes et contraintes
1.2.2 Formulation statistique du problème de filtrage multi-objets
1.2.3 Critère de performance
1.3 Contributions de cette thèse
1.4 Publications de l’auteur
1.4.1 Articles de revues internationales avec comité de lecture
1.4.2 Articles de conférences internationales avec actes et comité de lecture
2 Méthodes de Monte Carlo séquentielles
2.1 Le filtrage particulaire et le filtrage particulaire auxiliaire
2.1.1 Principe de l’échantillonnage d’importance
2.1.2 Considérations pratiques
2.1.3 Le filtrage particulaire auxiliaire
2.2 Algorithmes de filtrage particulaire direct, par prédiction et par lissage
2.2.1 Quelques mécanismes de simulations
2.2.2 Filtrage direct
2.2.3 Filtrage prédictif
2.2.4 Filtrage lissé
2.3 Implémentation pratique des algorithmes de filtrage particulaire
2.3.1 Simulations dans un modèle linéaire et gaussien
2.3.2 Le PS-APF
2.3.3 Discussion
2.3.4 Simulations dans le modèle de Kitagawa
2.3.5 Scénario de poursuite angle-distance
2.3.6 Modèle semi-linéaire
2.4 Comparaison théorique d’algorithmes de filtrage localement optimaux
2.4.1 Estimateurs MC et mélanges de lois de probabilité
2.4.2 Algorithmes localement optimaux SIS, SIR et FA
2.4.3 Comparaison de Θb SIR,N′ n et de Θb FA,N′ n
2.4.4 Comparaison de Θb SIR,N′ n et Θb SIS n
2.4.5 Comparaison de Θb SIS n et Θb FA,N′n
2.4.6 Simulations
2.5 Conclusion
3 Techniques de réduction de variance Rao-Blackwellisées pour les méthodes SMC
3.1 État de l’art
3.2 Filtres particulaires PHD marginalisés pour le filtrage multi-objets bayésien
3.2.1 Quelques rappels sur le filtre PHD
3.2.2 Le filtre M-PHD pour les modèles partiellement linéaires et gaussiens
3.2.3 Implémentation pratique du filtre M-PHD
3.2.4 D’autres applications du filtre M-PHD
3.2.5 Simulations
3.3 Méthodes Monte Carlo conditionnelles temporelles
3.3.1 Estimateurs CMC pour les modèles HMC
3.3.2 Estimateurs CMC pour des modèles à sauts (classe 2)
3.3.3 Estimateurs CMC pour des modèles à sauts (classe 1)
3.3.4 Estimateurs CMC pour le filtrage multi-objets
3.4 Conclusion
4 Modèles de Markov couple et triplet
4.1 Généralités sur les modèles de Markov couple et triplet
4.1.1 Les limitations des modèles HMC
4.1.2 Modèles de Markov couple
4.1.3 Filtrage dans les modèles de Markov couple
4.1.4 De l’importance des modèles couple
4.1.5 Modèles de Markov couple physiquement contraints
4.1.6 Modèles de Markov triplet
4.1.7 Filtrage dans les modèles de Markov triplet
4.2 Filtrage multi-objets pour les chaînes de Markov couple
4.2.1 Les limites de l’approche classique
4.2.2 Un filtre PHD pour les modèles PMC
4.2.3 Une implémentation par mélanges de gaussiennes du filtre PMC-PHD
4.2.4 Apport du PMC-PHD : simulations
4.3 Une classe d’algorithmes de filtrage exact rapide pour des modèles de Markov à sauts
4.3.1 Une classe particulière de modèles de Markov triplet
4.3.2 Une solution approchée du problème de filtrage
4.3.3 Discussion
4.3.4 Analyses de performances et simulations
4.4 Conclusion
Conclusion

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