Adaptabilité en espace d’un schéma volumes finis d’ordre élevé pour la CFD/CAA des turbomachines

Contexte et motivations

Au début du 20e siècle, la conception des aéronefs était basée sur des arguments théoriques, confrontés à de lourds efforts expérimentaux et des tentatives à hauts risques. Dès la fin des années 60, les aérodynamiciens multipliaient les essais en soufflerie et faisaient appel à la simulation numérique en tant que complément aux essais. Ces simulations étaient tout d’abord limitées à la résolution des écoulements potentiels [1, 2]. Par la suite, les effets visqueux sont introduits sous forme de conditions aux limites dans lesquelles sont calculées les couches limites en résolvant les équations de Prandtl. Cette approche présentait clairement des difficultés à capter les décollements de couche limite ainsi que les chocs. Les capacités de calcul des ordinateurs ne permettaient pas encore de simuler des géométries complexes par les équations d’Euler et encore moins de Navier-Stokes. Il a fallu attendre les années 80 pour que les méthodes de discrétisation de type différences finies et volumes finis, assorties aux techniques multigrilles d’accélération de convergence et aux solveurs itératifs, aboutissent à des codes Euler compressibles [3] et Navier Stokes tridimensionnels [4], avec cependant des schémas numériques limités à l’ordre un à deux en espace. Par la suite, le transfert technologique entre la recherche et l’industrie a ainsi donné naissance à des codes CFD commerciaux qui sont restés jusqu’à nos jours limités à l’ordre deux et semblent atteindre leurs limites technologiques.

A l’heure actuelle, le défi lancé aux acteurs de la recherche en simulation numérique est de transposer ces avancées dans l’industrie mais aussi de les rendre accessibles aux PME pour qui l’usage du calcul intensif est dorénavant à portée de main. Ainsi, les ingénieurs de bureaux d’étude ou entrepreneurs dans l’ingénierie qui ne sont pas experts en simulation devraient être en mesure d’utiliser des outils avancés dans un large panel de configuration, déléguant le choix du paramétrage à la machine. Aussi, les solveurs devraient avoir un haut niveau robustesse et de flexibilité avec des paramètres/méthodes intelligents tirant le meilleur des ressources informatiques disponibles pour atteindre une précision donnée exprimée par l’utilisateur en un temps minimal, en réduisant par ailleurs la facture énergétique. Ces travaux de recherche sont une contribution à la réalisation de cet objectif.

Contribution et réalisations

Analyse de sensibilité du schéma FV-MLS 

Dans le but de mener une analyse de sensibilité du schéma FV-MLS vis-à-vis des paramètres κ de la fonction kernel et de l’ordre, il a été nécessaire de définir des senseurs pertinents permettant de quantifier cette sensibilité. A partir de la matrice masse nous avons donc défini deux indicateurs de stabilité : son conditionnement et le rayon spectral de son écart à l’identité. Ces deux grandeurs matricielles se sont avérées être des critères pertinents de stabilité spatiale du schéma. En effet, une étude paramétrique exhaustive a été effectuée sur ces deux termes en fonction du paramètre de kernel κ, pour des ordres de reconstruction polynomiaux allant de 1 à 6 et cela pour cinq tailles différentes de stencil et six ordres distincts. Cette étude a révélé la présence d’une zone de κ-stabilité qui se déplace vers les κ grand lorsque le nombre de points dans le stencil augmente. Cette cuvette de stabilité est plus prononcée pour les ordres polynomiaux impairs ce qui est confirmé un comportement plus stable du schéma numérique.

Algorithme de détection/correction de stencils singuliers 

L’interpolation MLS est effectuée en un point donné, en considérant l’information disponible en un nombre nx de voisins. Cet ensemble de point forme ainsi le stencil. Le nombre minimal de point dans le stencil est déterminé par l’ordre d’interpolation MLS souhaité. Dans la pratique un nombre additionnel de points est nécessaire pour effectuer l’interpolation MLS. En effet, avant même la discrétisation du système d’équations physiques, certaines configurations géométriques du stencil posent des problèmes d’inversibilité de la matrice moment et donc de détermination du polynôme d’interpolation. On parlera alors de stencil singulier. Au cours de ces travaux, une étude théorique autour de stencil singulier a été développée. Cette étude a abouti à l’implémentation d’un algorithme de détection et de correction des stencils singuliers. D’un point de vue pratique cet algorithme permet à l’utilisateur de ne plus spécifier un nombre fixe de point dans le stencil, mais plutôt un seuil de singularité. Il laisse alors le choix à l’algorithme de définir la topologie et le nombre de point du stencil. Ainsi, l’algorithme ne rajoute des points que dans les régions les plus difficiles du maillage et réduit de cette manière le coût de calcul. Cette implémentation a permis une réduction de 30% du nombre de degrés de liberté, de la mémoire et du temps de calcul.

Algorithme de kernel adaptatif

Dans cette nouvelle implémentation, les stencils sont évolutifs sur le domaine de calcul. Les fonctions kernel doivent donc nécessairement s’adapter à ces stencils afin de ne pas dégrader la qualité de la reconstruction, voire de la compromettre. Afin d’adapter le kernel à la structure du stencil, les fonctions kernel ne sont plus définies à paramètre de forme κ constant. Nous choisissons plutôt un poids global de kernel pour l’ensemble des stencils et nous calculons le paramètre κ permettant d’atteindre ce poids via un algorithme à direction de descente. Cette méthodologie a été validée jusqu’à l’ordre de convergence spatial 6.

Optimisation du solveur temporel 

Ces travaux de recherches ont principalement concerné la partie spatiale du schéma FVMLS. Néanmoins, le solveur temporel explicite initialement disponible dans FVMLS, a été amélioré en implémentant une pseudo-inversion efficace de la matrice masse. Cette approche a permis de diviser d’un facteur 10 le coût en mémoire et temps de calcul.

Nouveau concept de reconstruction locale par PCA

Dans les configurations industrielles, on rencontre souvent des cellules à fort rapport d’aspect qui permettent de capter un phénomène fortement directionnel. Nous avons proposé une méthodologie innovante permettant de déployer efficacement le schéma numérique sur un maillage fortement anisotropique. Dans cette approche, une analyse des directions d’étirement est effectuée par une Analyse de Composante Principale. Ensuite, la recherche de stencil et la reconstruction d’ordre élevé sont effectuées sur cet espace déformé dans lequel les effets de l’anisotropie sont drastiquement réduits voire annulés.

Propagation acoustique dans une turbomachine

Dans le but de valider la technique de maillage glissant développé en amont de ces travaux, nous avons investigué le bruit provenant d’un ventilateur centrifuge. Ce ventilateur est typique de ceux rencontrés en automobile. Nous avons proposé de traiter cette propagation de champ proche en utilisant l’opérateur de propagation d’ondes LPCE. Ces développements ont montré qualitativement que les effets de confinement ne doivent pas être négligés dans ce type de configuration.

Schémas numériques d’ordres élevés en maillage nonstructuré pour les écoulements compressibles 

Les concepteurs CFD reconnaissent que les schémas numériques dont l’ordre de précision est égal à 3 ou plus sont qualifiés de méthodes d’ordre élevé. Du fait que la plupart des codes industriels sont précis au premier ou au deuxième ordre, tout schéma dont l’ordre est supérieur est considéré comme étant d’ordre élevé. Bien que les méthodes d’ordre élevé existent depuis quelques décennies, elles ont tardé à attirer l’attention, car l’objet des recherches était jusqu’ici de rendre les méthodes du premier et du second ordre plus robustes et efficaces en temps de calcul. Ayant atteint la limite de saturation dans leur développement, l’accent a alors été mis sur les méthodes d’ordre élevé. Ainsi, durant les deux dernières décennies, de nombreuses méthodes haute résolution ont été développées pour lever ce verrou technologique.

Intérêt / coût de la montée en ordre

La quasi-totalité des codes commerciaux existants ne dépassent pas le second ordre [7, 8]. Certes, ils sont capables de résoudre les équations de Navier-Stokes moyennées (RANS) sur machines massivement parallèles. Cependant, de nombreux phénomènes physiques demeurent hors de leur portée. En effet, les schémas classiques sont trop dissipatifs pour capter les phénomènes très instationnaires et à forte vorticité récurrents en aéroacoutique et au sein des turbomachines ou autres surfaces à fort chargement aérodynamique [9]. Les méthodes d’ordre élevé ont récemment démontré qu’elles sont plus à même de capter ce type de physique [10].

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Contexte et motivations
1.2 Contribution et réalisations
1.3 Équations de la dynamique des fluides
1.4 Schémas numériques d’ordres élevés en maillage non-structuré pour les écoulements compressibles
1.5 Composition du manuscrit
1.6 Références
2 Interpolation par Moindres Carrés Mobiles MLS
2.1 Origine de l’interpolation MLS
2.2 Principe de la reconstruction MLS
2.3 Fonction kernel
2.4 Calcul des gradients
2.5 Consistance de la reconstruction MLS
2.6 Proposition d’un schéma linéaire généralisé
2.7 Références
3 Volumes Finis d’ordre élevé par interpolation MLS
3.1 Discrétisation par volumes finis
3.2 Montée en ordre
3.3 Traitement des flux
3.4 Traitement des maillages glissants
3.5 Conditions aux limites
3.6 Avance temporelle
3.7 Nécessité de la matrice masse
3.8 Références
4 Développement d’un schéma FV-MLS adaptatif
4.1 Sensibilité aux paramètres κ – ordre
4.2 Propriété de dissipation/dispersion
4.3 Détection et correction des stencils singuliers
4.4 Traitement de l’anisotropie
4.5 Kernel adaptatif
4.6 Références
5 Validations et applications
5.1 Protocole de validation et calcul d’erreur
5.2 Validation de l’approche kernel adaptatif
5.3 Validation de l’approche stencil adaptatif
5.4 Propagation acoustique dans une turbomachine
5.5 Références
Conclusion

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