Action spectrale en géométrie non commutative et calcul pseudodifférentiel global

Cette thèse constitue un recueil des travaux de recherche que j’ai effectués ces trois dernières années en collaboration avec Driss Essouabri, Bruno Iochum et Andrzej Sitarz.

La géométrie non commutative est un vaste domaine des mathématiques dont l’objet est la généralisation de l’ensemble des concepts apparaissant en géométrie classique. Plus particulièrement, à l’aide d’un formalisme issu de l’analyse fonctionnelle, de la théorie des algèbres d’opérateurs, de la théorie spectrale et de la géométrie spinorielle, la géométrie non commutative généralise notamment les concepts d’espace topologique localement compact, de variété riemannienne orientée compacte à spin et les calculs différentiels et intégraux de la géométrie différentielle. Au-delà de l’intérêt purement mathématique de la géométrie non commutative, il existe des motivations physiques profondes qui poussent les physiciens théoriciens à utiliser ces concepts pour décrire les éléments fondamentaux de la physique (l’espace-temps et les champs). Plus spécifiquement, la géométrie non commutative apparaît comme un cadre mathématique particulièrement adapté à la formulation des concepts quantiques et des processus de quantification.

Il est possible de considérer que la géométrie non commutative (ou tout au moins sa composante topologique) est née lorsqu’a été établi le théorème suivant (premier théorème de Gelfand– Naimark) : toute C∗ -algèbre commutative unifère est isométriquement isomorphe à la C∗ -algèbre des fonctions continues sur un compact, à savoir l’espace des caractères sur l’algèbre. Étant donné que toute l’information topologique d’un espace est contenue dans l’ensemble des fonctions continues sur cet espace, on peut constater que la notion de C ∗ -algèbre unifère permet de généraliser la notion d’espace topologique compact. La généralisation non commutative nous fait donc changer de point de vue : ce n’est plus l’ensemble des points (l’espace topologique) qui est fondamental, mais plutôt l’ensemble des fonctions sur l’ensemble des points.

Ce théorème de Gelfand–Naimark a été le point de départ de la géométrie non commutative. À partir de ce résultat fondamental, il a été possible d’étendre la généralisation au-delà des concepts purement topologiques et de construire une véritable géométrie riemannienne non commutative avec ses propres versions non commutatives des notions classiques de calcul différentiel, de calcul intégral, de fibré vectoriel, de mesure, de variétés riemanniennes à spin, etc. Ce travail colossal a été réalisé principalement par Alain Connes [26–30].

Les deux aspects de la géométrie non commutative (non-commutativité et “perte” de la notion de point) ne sont pas sans rappeler la structure fondamentale de la physique quantique. En effet, en physique quantique, les observables ne commutent pas forcément et l’évaluation f(x) d’une observable f en un point x, n’est pas définie. En revanche, la notion d’observable existe toujours et x(f) a un sens, pourvu que x soit un état, c’est à dire l’équivalent non commutatif du caractère (du point) pouvant évaluer les observables f.

Cette ressemblance frappante entre la géométrie non commutative et la structure de la physique quantique n’est pas anodine et constitue même la source principale qui a motivé le développement de la géométrie non commutative et son application en physique. En particulier, la géométrie non commutative fournit les concepts permettant d’appliquer l’idée fondamentale de la non-commutativité des observables à l’espace-temps lui-même, donnant par là même une de ses motivations fondamentales à la physique.

Les deux théories des interactions fondamentales, à savoir la théorie quantique des champs (modèle standard) pour les interactions électrofaibles et fortes, et la relativité générale pour l’interaction gravitationnelle, n’utilisent pas le même formalisme (la première est quantique, la seconde est classique) et ne voient pas l’espace-temps de la même façon (celui-ci est fixe et minkowskien pour la première, et dynamique pour la seconde). Ces différences fondamentales ne sont pas gênantes pour l’étude des phénomènes favorisant l’interaction gravitationnelle devant les autres ou réciproquement, car ces théories ont chacune un grand succès expérimental dans leur domaine d’application. Cependant, pour l’étude des phénomènes mettant manifestement en jeu toutes les interactions (objets compacts, trous noirs, big-bang), il est nécessaire de rendre compatible ces deux théories, et de les réunir sous un même formalisme. L’idée généralement poursuivie par les théoriciens consiste à généraliser le formalisme de la théorie quantique des champs à la gravitation, autrement dit, réaliser une gravitation quantique. La poursuite de cet objectif s’est développée à travers plusieurs approches différentes, dont notamment la théorie des cordes, qui utilise une augmentation du nombre de dimensions, dont certaines sont compactifiées, et la théorie de la gravité quantique à boucle, qui utilise une structure en “spin foam” pour l’espace-temps sans utiliser de métrique spatio-temporelle en “background” comme le fait la théorie des cordes. Aucune de ces théories n’a reçu de confirmation expérimentale, les prédictions théoriques étant elles-mêmes difficiles.

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Table des matières

Introduction
1 Action spectrale sur les triplets spectraux
1.1 Introduction
1.2 Intégration non commutative sur un triplet spectral
1.2.1 Opérateurs pseudodifférentiels sur triplets spectraux
1.2.2 Fonctions zêta, intégrale non commutative et action spectrale
1.3 Résidus de ζDA pour un triplet spectral avec spectre de dimension simple
1.4 Intégrales non commutatives et tadpoles
2 Prolongements holomorphes et résidus de séries de fonctions zêta
2.1 Résidus de séries et intégrales
2.2 Holomorphie de certaines séries
2.2.1 Démonstration du Lemme 2.2.3 pour i = 1
2.2.2 Démonstration du Lemme 2.2.3 pour i = 0
2.2.3 Démonstration du point (i.2) du Théorème 2.2.2
2.2.4 Démonstration du point (iii) du Théorème 2.2.2
2.2.5 Commutation entre somme et résidu
2.3 Calculs de résidus de fonctions zêta
2.4 Prolongement méromorphe d’une classe de fonctions zêta
2.4.1 Une famille de polynômes
2.4.2 Résidus d’une classe de fonctions zêta
Conclusion

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