La technologie SAW pour le filtrage RF en téléphonie mobile

Ondes de surface de type Rayleigh ou R

Les ondes de surface se propagent à la surface d’un milieu ou à l’interface entre deux milieux (onde d’interface). Elles existent dans les fluides, notamment dans l’eau (vague) et aussi dans les solides. La polarisation est elliptique. Le déplacement est lié à une variation de volume.
Il existe par ailleurs des pseudo-ondes de surface qui apparaissent dans certains cristaux. On peut concevoir ces ondes comme étant issues du couplage entre les ondes longitudinales et les ondes transverses. Une pseudo-onde de surface ne reste donc plus confinée proche du substrat. Elle présente de plus une atténuation non nulle lors de la propagation [Laude 2006].
Figure 1.6: Représentation des déplacements au cours de la propagation d’une onde élastique de surface de type Rayleigh (polarisation elliptique)

Ondes de Lamb

Lamb s’intéresse à la propagation d’ondes dans une plaque, correspondant à un milieu infini dans le plan, mais avec une épaisseur finie. En 1917, il publie une analyse théorique de ces ondes dites de Lamb [Lamb 1917].
On peut concevoir des modes de Lamb à partir de deux modes de Rayleigh qui se propagent chacun sur une des surfaces. La distance entre les deux surfaces étant de quelques longueurs d’ondes. On assiste à un couplage des ondes de surface donnant naissance à des ondes de Lamb [Gorisse 2011].

Propagation des ondes dans les milieux périodiques

Avant de nous pencher plus en avant sur la notion de CP, nous introduisons ici quelques notions très générales sur la propagation des ondes dans les milieux périodiques. À ce titre, nous opérons un bref retour sur quelques principes de base de la physique de la matière condensée, mais aussi sur l’idée fondatrice de la diffraction de Bragg.
Rayleigh Wave Wave

Loi de Bragg

A l’origine, la loi de Bragg concernait la diffraction des rayons X par les atomes d’un cristal, et plus généralement à la diffraction d’ondes planes dans un milieu périodique. Lorsque les rayons X frappent chaque atome avec une phase différente : il y a rémission d’ondes de même fréquence [Benchabane 2006]. La loi de Bragg s’énonce ainsi :
Où 𝑛 est un entier naturel, 𝜆 la longueur d’onde, 𝑑 la distance entre 2 plans, 𝜃 l’angle entre le faisceau incident et la surface du cristal.
Géométriquement la loi de Bragg considère la différence de chemin optique entre deux rayons incidents successifs. Lorsque cette différence est égale à un nombre entier de la longueur d’onde, alors les rayons peuvent se combiner pour donner des interférences constructives.
1.6.2 / Zone irréductible de Brillouin
En 1928 Bloch établit la théorie quantique de l’état solide en utilisant les ondes dites de Bloch pour décrire les états quantiques des électrons dans un milieu périodique. Ces ondes sont les solutions de l’équation de Schrödinger données sous la forme suivante :
Toutes les solutions recherchées se trouvent dans la première zone de Brillouin. Il est possible de diminuer encore la zone à étudier en utilisant les symétries des structures. Dans un premier temps les symétries de la structure permettent de se limiter à l’étude au quadrant 𝑘𝑥 et 𝑘𝑦 positifs. Mais si on utilise un matériau isotrope dans le plan, on peut réduire cette zone appelée zone irréductible de Brillouin qui est représentée sur la figure 1.9.

Les Cristaux phononiques

Les cristaux phononiques forment une branche nouvelle et dynamique du domaine des ondes acoustiques et élastiques qui présente un grand intérêt depuis 20 ans [Kushwaya, 1993]. Ce sont par définition des structures périodiques artificielles constituées d’au moins deux matériaux différents. Ils sont capables de prohiber la propagation des ondes acoustiques dans certaines directions et gammes de fréquences, par le biais de la réflexion de Bragg ou par le phénomène de la résonance locale.

Applications des cristaux phononiques à bandes interdites de Bragg

La première étude expérimentale du filtrage sonore par une structure périodique artificielle ou un cristal phononique a été réalisée en 1995 par Francisco Meseguer et ses collaborateurs [Sigalas 1995] sur une sculpture minimaliste d’Eusebio Sempere (1923-1958) qui se trouve dans un jardin de Madrid.
Cette sculpture est constituée d’un agencement périodique carré de tiges cylindriques en acier, ayant des hauteurs différentes, et déposées sur un support rotatif. Elle donne lieu à un beau effet visuel lorsque la lumière du soleil se réfléchit sur les barres métalliques voir figure 1.10.
En plaçant des haut-parleurs et microphones autour de la sculpture, et donc perpendiculairement aux axes des tiges métalliques, Martinez-Sala et al ont pu mesurer la transmission acoustique de la sculpture suivant la direction de propagation de l’onde acoustique par rapport à l’arrangement carré des tiges. Une forte atténuation de l’onde acoustique a été alors observée pour une fréquence de 1670 𝐻𝑧 suivant une direction de propagation bien déterminée. Une première mise en évidence expérimentale d’une bande interdite phononique a ainsi vu le jour.
En 2005, l’équipe de Wu [Wu 2005] a pu étudier la propagation élastique de surface dans un CP bidimensionnel, conçu à une échelle micrométrique (périodicité de 10𝜇𝑚) et constitué d’un arrangement carré de trous d’air dans un substrat de silicium. La fabrication de cette structure a été réalisée grâce à la technologie MEMS, et l’excitation ainsi que la détection de l’onde de surface ont été faites au moyen des transducteurs interdigités sur une couche mince pizoéléctrique en 𝑍𝑛𝑂 (figure 1.11). Avec des paramètres géométriques bien choisis. La bande interdite est prédite théoriquement entre 194,64 𝑀𝐻𝑧 et 223,53 𝑀𝐻𝑧. Ce dispositif est le premier filtre à base de CP, ce qui constitue une première voie pour des applications radio fréquence à base d’ondes acoustiques de surface.
En 2006, Sarrah Benchabane [Benchabane 2006] présente dans sa thèse des travaux sur les CP à l’échelle microscopique en utilisant les SAW. Afin de simplifier la structure elle réalise un CP directement dans un matériau piézoélectrique. Elle utilise un substrat de niobate de lithium (𝐿𝑖𝑁𝑏𝑂3) de coupe Y pour obtenir le meilleur couplage électromécanique, avec les pertes les plus faibles possibles. Elle perce des trous d’un diamètre de 9 𝜇𝑚, et ayant une profondeur d’environ de 10 𝜇𝑚 pour une gamme de fréquence entre située entre 203 et 226 MHz. Toutefois, aux plus hautes fréquences une retransmission n’est pas observée.
L’explication qui peut être donnée est la suivante : la gravure des trous dans le 𝐿𝑖𝑁𝑏𝑂3 est difficile et ne peut se faire que de manière conique. Cette conicité, alliée au fait que les trous ne soient profonds que d’une dizaine de micromètres, favorise le couplage entre les ondes de surface et des modes de volume. Cela provoque des pertes par rayonnement dans le substrat et, par conséquent, diminue la puissance transmise d’un transducteur à l’autre. La détection optique a par ailleurs montré qu’au-dessus de la bande interdite, les ondes acoustiques de surface peuvent être diffractées.
Afin de remédier aux problèmes de rayonnement des ondes de surfaces dans le volume, les plaques phononiques ont été introduites.
On peut citer les travaux de Marie Gorisse [Gorisse 2011]. En 2011 elle présente ses réalisations sur une membrane, en utilisant les ondes de Lamb. La membrane est constituée d’une matrice de trous percés dans le nitrure d’aluminium(𝐴𝐼𝑁). L’objectif étant d’obtenir des fréquences allant jusqu’à environ 1GHz. Elle montre que les principaux avantages par rapport aux SAW sont que l’énergie ne peut pas fuir dans le substrat, grâce à la lame d’air, et que les structures réalisées sont de taille réduite.
D’autres équipes présentent des études théoriques sur les SAW à base de CP sur membrane, notamment l’équipe de Georgia Tech représentée par Mohammadi [Mouhammadi 2008]. Il a présenté en 2008 une structure constituée de trous d’air réalisés dans une matrice de silicium, utilisant une excitation par l’oxyde de zinc (𝑍𝑛𝑂). Avec un paramètre de maille de 15 𝜇𝑚 il a obtenu une bande d’arrêt autour de 150 𝑀𝐻𝑧. La Figure (1.14) montre cette bande d’arrêt. On a ici la transmission mesurée électriquement à travers le CP en utilisant des peignes interdigités. On peut alors observer une bonne transmission en dehors de la bande d’arrêt, avec des pertes d’insertion faibles en-dessous de la bande d’arrêt (de quelques dB). On a ensuite une atténuation d’environ 35 dB dans la bande d’arrêt. Au-dessus de la bande d’arrêt on retrouve un signal plus brouillé, mais avec dans tous les cas une atténuation moins importante que dans la bande d’arrêt.

Bandes interdites à résonance locale

Nous avons vu jusqu’ici montré que les CP permettaient l’apparition de bandes d’arrêt. Mais avec l’avancée des recherches concernant les limitations des SAW à base de CP, les diagrammes de bandes sont modifiés de telle façon qu’il est possible, à certaines fréquences, d’obtenir des modes dont le facteur 𝑣𝑔.𝑘 est négatif, avec 𝑣𝑔 la vitesse de groupe de l’onde et 𝑘 son vecteur d’onde. Il est alors possible de réaliser un métamatériau présentant une réfraction négative pour les ondes acoustiques.
Contrairement au mécanisme de Bragg, la création d’une telle bande interdite phononique par le mécanisme de la résonance locale ne dépend que très peu de la périodicité et de la symétrie de la structure du CP [Du 2016]. Dans ce cas, la bande interdite peut être ouverte à une fréquence deux ordres de grandeur inférieure à celle permise par la diffusion de Bragg.
En 2000, Liu et al [Liu 2000] ont mis en oeuvre la première structure phononique aux propriétés dispersives qui sortent de l’ordinaire. En effet, grâce à leur structure périodique, ils ont montré qu’une bande interdite peut exister pour des ondes ayant une longueur d’onde largement supérieure à la périodicité du cristal, lequel comportement est dû au phénomène de résonance locale.
Dans le CP conçu par Liu et al, les éléments de périodicité sont constitués de résonateurs ayant des modes de résonance propres qui se situent à de très basses fréquences en raison de l’utilisation d’un matériau très mou. Chaque résonateur est constitué d’un coeur massif en plomb enrobé par un élastomère élastiquement très mou, comparé aux autres matériaux constituant le CP. Ces résonateurs sont arrangés périodiquement suivant une structure cubique simple dans une matrice en époxy (figure 1.15).
L’ensemble élastomère-plomb se comporte comme un système de ressort lié à une masse, formant ainsi un résonateur ayant des modes de résonance propres à de très basses fréquences. Le principe d’ouverture des bandes interdites dans ce type de structures repose sur Résonateur Cristal phononique avec le couplage entre les modes de résonance des résonateurs (modes localisés) et les modes de volume qui se propagent dans le CP. Lorsqu’une onde élastique se propage dans le milieu phononique avec une fréquence qui correspond à la fréquence de résonateurs, ces derniers entrent en interaction avec elle. Sous certaines conditions, ce couplage entraîne l’atténuation de l’onde. Ce mécanisme de résonance permet ainsi la création de bandes interdites localisées aux très basses fréquences, là où les longueurs d’ondes dans l’époxy (la matrice) dépassent de loin la périodicité du CP.
Oudich et al [Oudich 2010] ont mis en évidence l’existence d’une bande interdite pour les ondes de surface dans le régime hypersonique grâce au mécanisme de résonance locale. La structure est composée d’un substrat semi infinie en diamant sur lequel est déposé un arrangement périodique carré de cylindres d’aluminium. Ils ont démontré que les bandes plates ne prennent naissance qu’à partir d’une certaine hauteur de piliers, pour un rayon des piliers ainsi qu’une épaisseur des plaques maintenus fixes.
La génération et la détection des ondes de surface ont été réalisées grâce à des transducteurs à peignes interdigités en utilisant la piézoélectricité du substrat. Ils ont optés lors de cette étude pour des peignes à pas variable afin de caractériser les échantillons sur une large bande de fréquence allant de 70 MHz jusqu’à 150 MHz.

Conclusion

Les CP et métamatériaux acoustiques sont des matériaux artificiels qui présentent des bandes de fréquences fréquentielles interdites pour toute propagation d’ondes élastiques ou acoustiques. L’apparition des bandes interdites peut s’expliquer généralement par deux mécanismes qui sont la diffraction de Bragg (due à la périodicité), et les résonnances locales de chaque élément. La diffraction de Bragg donne naissance à des interférences destructives lorsque la longueur d’onde 𝜆0 est du même ordre de grandeur que la période 𝑎 des inclusions introduites dans le matériau, c’est-à-dire lorsque:
En revanche, le mécanisme de résonances locales est basé sur la possibilité d’obtenir des bandes interdites inférieures au seuil de la diffraction de Bragg sans pour autant augmenter la taille élémentaire du cristal.
Dans ce premier chapitre nous avons donné les fondements théoriques, avec la mise en évidence expérimentale des différents comportements remarquables de ces cristaux. Certaines propriétés sur la propagation des ondes élastiques de surface dans les structures périodiques dues à la résonnance locale ont été introduites.

Modélisation par la méthode des éléments finis (FEM)

Nous cherchons tout d’abord à localiser les bandes d’arrêt pour un CP composé de piliers cylindriques en nickel sur un substrat semi-infini en tantalate de lithium. Pour cela le plus simple est de tracer les diagrammes de bandes, partant de la méthode de calcul choisie. Nous décrivons la démarche à suivre pour obtenir ces diagrammes de bandes.
Il existe plusieurs méthodes de modélisation des CP, notamment la méthode des différences finies (FDTD, pour Finite Difference Time Domain), la méthode de développement par ondes planes (PWE, pour Plane Wave Expansion) et la méthode d’éléments finis (FEM, pour Finite Element Method).
Le logiciel de simulation adaptable à mon étude est celui par élément finis. Nous avons donc choisi de nous tourner vers ce type de modélisation. Toutes les simulations que nous montrerons par la suite sont réalisées avec Matlab sous environnement Comsol Multiphysics®.
La méthode par éléments finis utilise une interpolation polynômiale des champs acoustiques entre les différents noeuds du maillage. Elle permet d’obtenir aussi bien la structure de bandes que la transmission à travers un CP. Son principal défaut réside dans la durée des calculs, surtout quand il s’agit d’une structure complexe en transmission, pour laquelle les maillages peuvent rapidement atteindre plusieurs centaines de milliers de noeuds.

Calcul de la structure de bandes

Le logiciel de simulation par éléments finis que nous venons d’introduire permet la modélisation de systèmes complexes mettant en jeu différents phénomènes physiques. Dans notre cas, il nous faut pouvoir prendre en compte l’effet piézoélectrique, donc un couplage entre phénomènes électrique et mécaniques, ce qui est possible avec le module piézoélectrique du module acoustique du logiciel.
La structure que je souhaite modéliser est un substrat semi-infini en tantalate de lithium (𝐿𝑖𝑇𝑎𝑂3) sur lequel est déposé un arrangement périodique carré de cylindres de nickel (𝑁𝑖). La figure 2.1 présente la structure dans l’espace tridimensionnel où la direction 𝑍 est parallèle aux axes des cylindres. Le pas du réseau étant 𝑎, le rayon des cylindres est 𝑟, la hauteur des cylindres est ℎ𝑝 ,et ℎ l’épaisseur du substrat.
Pour obtenir la structure de bandes d’un CP, je vais chercher à obtenir les fréquences propres de la structure en fonction du vecteur d’onde. Pour cela, je conçois ma structure, ensuite j’applique des conditions aux limites fixes afin d’éliminer les modes de surface de la surface inférieur du substrat. Il est bien entendu qu’on s’intéresse uniquement aux modes se propageant à la surface supérieure contenant les résonateurs. Par ailleurs, puisqu’un système semi-infini présente un milieu de propagation à la fois pour les modes de surface et les modes de volume, j’ai utilisé le « Cône du son ».

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Table des matières

Introduction générale
Introduction
1.1 / La technologie SAW pour le filtrage RF en téléphonie mobile
1.2 / Le filtre RF dans un téléphone mobile : à quoi ça sert ?
1.2.1 / Architecture d’un système de réception et d’émission radio
1.3 / Histoire des dispositifs SAW
1.4 / Généralités sur les ondes élastiques et la piézoélectricité
1.4.1 / Contraintes
1.4.2 / Déformation
1.4.3 / Relation Contraintes Déformation : Loi de Hooke
1.4.4 / Pour les matériaux isotropes
1.4.5 / Pour les cristaux
1.4.6 / Couplage électrique mécanique : Milieu piézoélectrique
1.5 / Différents types d’ondes
1.5.1 / Ondes de volume
1.5.2 / Ondes de surface de type Rayleigh ou R
1.5.3 / Ondes de Lamb
1.6 / Propagation des ondes dans les milieux périodiques
1.6.1 / Loi de Bragg
1.6.2 / Zone irréductible de Brillouin
1.7 / Les Cristaux phononiques
1.7.1 / Applications des cristaux phononiques à bandes interdites de Bragg
1.7.2 / Bandes interdites à résonance locale
Conclusion
Introduction
2.1/ Modélisation par la méthode des éléments finis (FEM)
2.2/ Calcul de la structure de bandes
2.3/ Choix des matériaux
2.4/ Structures de bandes et de bandes interdites
2.5/ Influence de la symétrie du réseau
2.6/ Influence des paramètres géométriques
2.6.1/ Effet de l’épaisseur du pilier sur la bande interdite
2.6.2/ Effet du rayon du pilier sur la bande interdite
2.7/ Méthode de modélisation en transmission
2.8/ Résultats
2.9/ Design, fabrication et caractérisation des réseaux de piliers sur la surface de tantalate de lithium
2.9.1/ Réalisation des transducteurs à peignes interdigités
2.9.2/ Réalisation des piliers de nickel
2.10/ Caractérisation électrique
Conclusion
Conclusion générale et perspectives
Références

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